Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 3) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum	Relativistische Formulierung der Elektrodynamik	Elektrodynamik Schöll
	Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie Transformationsverhalten der Ströme und Felder Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum Relativistisches Hamiltonprinzip Eichinvarianz und Ladungserhaltung	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

( Erregungsgleichungen)

${\begin{aligned}&{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {\bar {E}}=\rho \\&\Leftrightarrow {{\partial }_{1}}{{E}^{1}}+{{\partial }_{2}}{{E}^{2}}+{{\partial }_{3}}{{E}^{3}}={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}c\rho \\&\Leftrightarrow {{\partial }_{1}}{{F}^{10}}+{{\partial }_{2}}{{F}^{20}}+{{\partial }_{3}}{{F}^{30}}={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}{{j}^{0}}\\&\Leftrightarrow {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\nu 0}}={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}{{j}^{0}}\\&wegen{{\partial }_{0}}{{F}^{00}}=0\\&auch{{\partial }_{i}}{{F}^{i0}}={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}{{j}^{0}}\\\end{aligned}}$

2. $\nabla \times {\bar {B}}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {E}}={{\mu }_{0}}\left(\nabla \times {\bar {H}}-{{\varepsilon }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {E}}\right)={{\mu }_{0}}{\bar {j}}$

1. Komponente

${\begin{aligned}&{{\partial }_{2}}{{B}^{3}}-{{\partial }_{3}}{{B}^{2}}={{\mu }_{0}}{{j}^{1}}+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}{{E}^{1}}\\&{{\mu }_{0}}c={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}\\&\Leftrightarrow {{\partial }_{2}}{{F}^{21}}-.{{\partial }_{3}}{{F}^{13}}={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}{{j}^{1}}+.{{\partial }_{0}}{{F}^{10}}\\&{{\partial }_{2}}{{F}^{21}}+{{\partial }_{3}}{{F}^{31}}+{{\partial }_{0}}{{F}^{01}}={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}{{j}^{1}}\\&\Leftrightarrow {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\nu 1}}={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}{{j}^{1}}\\&wegen{{\partial }_{1}}{{F}^{11}}=0\\\end{aligned}}$

Dies kann analog für die zweite und dritte Komponente durchgeixt werden. Aus der Nullten Komponente hatten wir die Nullte des Stroms ( Erregungsgleichung des elektrischen Feldes), so dass insgesamt folgt:

${\begin{aligned}&{{\partial }_{\nu }}{{F}^{\mu \nu }}=-{\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}{{j}^{\mu }}\\&{{\partial }_{\nu }}{{F}^{\nu \mu }}={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}{{j}^{\mu }}\\\end{aligned}}$

Die Viererdivergenz des elektrischen Feldstärketensors !

Bemerkungen

1. die homogenen Maxwellgleichungen sind durch den Potenzialansatz

$\left\{{{F}_{\mu \nu }}\right\}=\left\{{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }}\right\}=\left({\begin{matrix}0&{\frac {1}{c}}{{E}_{x}}&{\frac {1}{c}}{{E}_{y}}&{\frac {1}{c}}{{E}_{z}}\\-{\frac {1}{c}}{{E}_{x}}&0&-{{B}_{z}}&{{B}_{y}}\\-{\frac {1}{c}}{{E}_{y}}&{{B}_{z}}&0&-{{B}_{x}}\\-{\frac {1}{c}}{{E}_{z}}&-{{B}_{y}}&{{B}_{x}}&0\\\end{matrix}}\right)$

automatisch erfüllt:

${\begin{aligned}&{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{F}_{\mu \nu }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }}\\&{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}=0,\\&da:{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}\quad symmetrisch\\&{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}\quad antisymmetrisch\\&{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }}=0\\\end{aligned}}$

Aus den inhomogenen Maxwell- Gleichungen

${{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\beta }}={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}{{j}^{\nu }}$

folgt mit Lorentz- Eichung

${{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0$

${\begin{aligned}&{{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\beta }}={{\partial }^{\nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\Phi }^{\beta }}=0\\&also:\\\end{aligned}}$

${{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}{{j}^{\nu }}$

als inhomogene Wellengleichung

Die Maxwellgleichungen

${\begin{aligned}&{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{F}_{\mu \nu }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }}=0\\&{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}{{j}^{\nu }}\\\end{aligned}}$

sind ihrerseits nun Lorentz- kovariant, da sie durch 4 Pseudovektoren ausgedrückt sind. Merke: Pseudo - 4- Vektor stört nicht, da rechte Seite gleich Null !!

Gauß- System:

${{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={\frac {4\pi }{c}}{{j}^{\nu }}$