Kanonische Transformationen

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Kanonische Transformationen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Kanonische Transformationen	Der Hamiltonsche kanonische Formalismus
	Legendre- Transformation und Hamiltonfunktion Die Hamiltonschen Gleichungen Kanonische Transformationen Symplektische Struktur des Phasenraums Der Satz von Liouville Poisson- Klammern	Das d'Alembertsche Prinzip Das Hamiltonsche Prinzip Symmetrien und Erhaltungsgrößen Der Hamiltonsche kanonische Formalismus Die Hamilton-Jacobi-Theorie Mechanik des starren Körpers Dynamische Systeme und deterministisches Chaos

Wir wissen bereits, dass die Wahl der verallgemeinerten Koordinaten nicht eindeutig ist ( Kapitel 2.4: Forminvarianz der Lagrangegleichungen).

Dabei haben wir gesehen, dass die Lagrangegleichungen 2. Art forminvariant bleiben unter beliebigen diffeomorphen Transformationen der Koordinaten:

${\bar {q}}=({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})\to {\bar {Q}}=({{Q}_{1}},...,{{Q}_{f}})$

Dabei gilt dann:

${\bar {L}}({\bar {Q}},{\dot {\bar {Q}}},t)=L({\bar {q}}({\bar {Q}},t),{\dot {\bar {q}}}({\bar {Q}},{\dot {\bar {Q}}},t),t)$

Nun kann man sich fragen, unter welchen Transformationen $({\bar {q}},{\bar {p}})\to \left({\bar {Q}},{\bar {P}}\right)$

die Hamiltonfunktionen forminvariant sind, also:

mit ${\begin{aligned}&{{\dot {p}}_{k}}=-{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}\\&{{\dot {q}}_{k}}={\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}\\\end{aligned}}$ soll auch ${\begin{aligned}&{{\dot {P}}_{k}}=-{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\\&{{\dot {Q}}_{k}}={\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial {{P}_{k}}}}\\\end{aligned}}$

gelten !

Nebenbemerkungen:

• die Klasse der erlaubten Transformationen muss größer sein als beim Lagrangeformalismus, da jetzt die pk neben den qk als UNABHÄNGIGE Variablen betrachtet werden, die ebenfalls und vor allem völlig unabhängig transformiert werden können.
• Die neuen Qk und Pk haben unter Umständen gar nicht mehr den Charakter von Orts- und Impulsvariablen.

In den Lagrangegleichungen der 2. Art heißt qj zyklisch, wenn:

${\frac {\partial L}{\partial {{q}_{j}}}}=0\Rightarrow {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}={\frac {d}{dt}}{{p}_{j}}=0\Rightarrow {{p}_{j}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}=const$

Allerdings ist damit keine Aussage über ${{\dot {q}}_{j}}$ gemacht. Diese muss natürlich weiter als Variable behandelt werden.

Hamilton-Gleichungen:

In $H({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{p}_{1}},...,{{p}_{f}},t)$ heißt ${{q}_{j}}$ zyklisch, wenn

${\frac {\partial H}{\partial {{q}_{j}}}}=0\Rightarrow -{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{j}}}}={\frac {d}{dt}}{{p}_{j}}=0\Rightarrow {{p}_{j}}:={{\alpha }_{j}}=const$

Das bedeutet nun, dass ${{q}_{j}}$ in H gar nicht auftritt. ${{p}_{j}}$ kann dagegen durch die Bewegungskonstante

${{\alpha }_{j}}$ ersetzt werden:

$H({{q}_{1}},...,{{q}_{j-1}},{{q}_{j+1}},...,{{q}_{f}},{{p}_{1}},...,{{p}_{j-1}},{{\alpha }_{j}},{{p}_{j+1}},...,{{p}_{f}},t)$

Damit jedoch hat das kanonische System nur noch f-1 Freiheitsgrade.

Idee ist es nun, die Hamiltongleichungen zu lösen, indem man Schritt für Schritt zyklische Variablen durch geeignete Trafos der $({\bar {q}},{\bar {p}})\to \left({\bar {Q}},{\bar {P}}\right)$

einführt, bis alle 

${\bar {Q}}$ zyklisch sind:

$H=H({{P}_{1}},...,{{P}_{f}},t)$ mit ${{P}_{k}}={{\alpha }_{k}}=const.$

${\begin{aligned}&{{\dot {Q}}_{k}}={\frac {\partial H}{\partial {{P}_{k}}}}=:{{v}_{k}}(t)\\&\Rightarrow {{Q}_{k}}=\int \limits _{{t}_{0}}^{t}{{{v}_{k}}(t{\acute {\ }})dt{\acute {\ }}}+{{\beta }_{k}}\\\end{aligned}}$

Insgesamt finden sich 2f Konstanten der Bewegung:

${{\alpha }_{k}},{{\beta }_{k}}$ k=1,...,f

Als Beispiel ( Vergl. Kapitel 3.5) betrachten wir das reduzierte 2-Körper-Problem in der Ebene senkrecht zum Drehimpuls l:

${\begin{aligned}&T={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}^{2}}+{{\dot {y}}^{2}}+{{\dot {z}}^{2}}\right)={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot {\phi }}^{2}}\right)\\&V=V(r)\\&L=L(r,{\dot {r}},\phi ,{\dot {\phi }},)={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot {\phi }}^{2}}\right)-V\\\end{aligned}}$

$\phi$ ist zyklisch: ${\frac {\partial L}{\partial \phi }}=0\Rightarrow {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=m{{r}^{2}}{\dot {\phi }}=l=cons$

Die Hamiltonschen Gleichungen lauten:

${\begin{aligned}&{{\dot {p}}_{k}}=-{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}\\&{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}={{\dot {q}}_{k}}\quad k=1,...,f\\&{{p}_{r}}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}=m{\dot {r}}\Rightarrow {\dot {r}}={\frac {\partial H}{\partial {{p}_{r}}}}={\frac {{p}_{r}}{m}}\\&{{p}_{\phi }}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=m{{r}^{2}}{\dot {\phi }}\Rightarrow {\dot {\phi }}={\frac {\partial H}{\partial {{p}_{\phi }}}}={\frac {{p}_{\phi }}{m{{r}^{2}}}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&H={{p}_{r}}{\dot {r}}+{{p}_{\phi }}{\dot {\phi }}-L=m{{\dot {r}}^{2}}+m{{r}^{2}}{{\dot {\phi }}^{2}}-L={\frac {m}{2}}\left({{\dot {r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot {\phi }}^{2}}\right)+V(r)\\&H={\frac {{{p}_{r}}^{2}}{2m}}+{\frac {{{p}_{\phi }}^{2}}{2m{{r}^{2}}}}+V(r)\\\end{aligned}}$

${\frac {\partial H}{\partial \phi }}=0\Rightarrow {{p}_{\phi }}={{\alpha }_{\phi }}=l=cons$

Somit läßt sich die Hamiltonfunktion von f=2 auf f=1 Freiheitsgrade reduzieren:

$H={\frac {{{p}_{r}}^{2}}{2m}}+{\frac {{l}^{2}}{2m{{r}^{2}}}}+V(r)$

Definition der kanonischen Transformationen

Kanonische Transformationen sind diffeomorphe Transformationen (umkehrbar eindeutig und zweimal stetig diffbar): $({\bar {q}},{\bar {p}})\to \left({\bar {Q}},{\bar {P}}\right)$

$H({\bar {q}},{\bar {p}},t)\to {\bar {H}}\left({\bar {Q}},{\bar {P}},t\right)$ , die die Hamilton- Gleichungen forminvariant lassen.

Bedingung für eine kanonische Transformation:

Die Hamiltonschen Gleichungen folgen aus dem Hamiltonschen Prinzip:

${\begin{aligned}&\delta W=0\\&\delta W=\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}L=\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}\left\{\sum \limits _{k=1}^{f}{}{{p}_{k}}{{\dot {q}}_{k}}(t)-H({\bar {q}},{\bar {p}},t)\right\}\\\end{aligned}}$ (Legendre Trafo)

Ganz entsprechend muss für das System $\left({\bar {Q}},{\bar {P}},{\bar {H}}\right)$ gelten:

${\begin{aligned}&\delta W=0\\&\delta W=\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}L=\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}\left\{\sum \limits _{k=1}^{f}{}{{P}_{k}}{{\dot {Q}}_{k}}(t)-{\bar {H}}\left({\bar {Q}},{\bar {P}},t\right)\right\}=0\\\end{aligned}}$

Man kann sich leicht überzeugen, dass diese beiden Forderungen äquivalent sind, falls:

$\sum \limits _{k=1}^{f}{}{{p}_{k}}{{\dot {q}}_{k}}(t)-H({\bar {q}},{\bar {p}},t)=\sum \limits _{k=1}^{f}{}{{P}_{k}}{{\dot {Q}}_{k}}(t)-{\bar {H}}\left({\bar {Q}},{\bar {P}},t\right)+{\frac {d}{dt}}{{M}_{1}}$

Mit einer beliebigen Funktion

${{M}_{1}}({\bar {q}},{\bar {Q}},t)$ , die "Erzeugende der kanonischen Trafo" genannt wird.

M1 ist dabei eine Verallgemeinerung der Eichfunktion $M({\bar {q}},t)$ aus dem Kapitel Eichtrafo der Lagrangefunktion (2.3)

Beweis:

${\frac {d}{dt}}{{M}_{1}}=\sum \limits _{k=1}^{f}{}\left({\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}(t)+{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}}}{{\dot {Q}}_{k}}(t)\right)+{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial t}}$

Es folgt dann aus

$\sum \limits _{k=1}^{f}{}{{p}_{k}}{{\dot {q}}_{k}}(t)-H({\bar {q}},{\bar {p}},t)=\sum \limits _{k=1}^{f}{}{{P}_{k}}{{\dot {Q}}_{k}}(t)-{\bar {H}}\left({\bar {Q}},{\bar {P}},t\right)+{\frac {d}{dt}}{{M}_{1}}$ , dass

$\sum \limits _{k=1}^{f}{}\left({{p}_{k}}-{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}}}\right){{\dot {q}}_{k}}(t)=\sum \limits _{k=1}^{f}{}\left({{P}_{k}}+{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right){{\dot {Q}}_{k}}(t)+H({\bar {q}},{\bar {p}},t)-{\bar {H}}\left({\bar {Q}},{\bar {P}},t\right)+{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial t}}$

Da aber ${\bar {q}}$ und ${\bar {Q}}$ unabhängige Variablen sind kann obige Gleichung nur für alle denkbaren unabhängigen Variablen erfüllt werden, falls

${\begin{aligned}&{{p}_{k}}={\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}}}\\&{{P}_{k}}=-{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\\&{\bar {H}}\left({\bar {Q}},{\bar {P}},t\right)=H({\bar {q}},{\bar {p}},t)+{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial t}}\\\end{aligned}}$

Das bedeutet jedoch, dass die kanonische Transformation durch ${{M}_{1}}({\bar {q}},{\bar {Q}},t)$ eindeutig bestimmt ist:

${\begin{aligned}&{{p}_{k}}={\frac {\partial {{M}_{1}}({\bar {q}},{\bar {Q}},t)}{\partial {{q}_{k}}}}\Rightarrow {{Q}_{j}}({\bar {q}},{\bar {p}},t)\\&Bedingung:\det \left({\frac {{{\partial }^{2}}{{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}\partial {{Q}_{j}}}}\right)\neq 0\\&{{P}_{k}}=-{\frac {\partial {{M}_{1}}({\bar {q}},{\bar {Q}},t)}{\partial {{Q}_{k}}}}=-{\frac {\partial {{M}_{1}}({\bar {q}},{\bar {Q}}({\bar {q}},{\bar {p}},t),t)}{\partial {{Q}_{k}}}}={{P}_{k}}({\bar {q}},{\bar {p}},t)\\\end{aligned}}$

Somit kann der Impuls durch die alten Koordinaten Ort,Impuls und zeit ausgedrückt werden und die Abhängigkeit von zeitabhängigkeiten verschwindet. ( Der Ausdruck von Q durch q, p und t ist als Umkehrung der Bestimmung von p zu sehen).

Für die gesamte Umkehrtrafo gilt: ${{P}_{j}}=-{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}}\ in\ {{p}_{k}}={\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}}}$ liefert

${\begin{aligned}&{{q}_{k}}\left({\bar {Q}},{\bar {P}},t\right)\ aus\ {{P}_{j}}=-{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}}\\&und\\&{{p}_{j}}\left({\bar {Q}},{\bar {P}},t\right)\ aus\ {{p}_{k}}={\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}}}\\\end{aligned}}$

Äquivalenzrelation:

$\delta W=\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}L=\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}\left\{\sum \limits _{k=1}^{f}{}{{p}_{k}}{{\dot {q}}_{k}}(t)-H({\bar {q}},{\bar {p}},t)\right\}=0$ (Legendre Trafo)

$\Leftrightarrow \delta W=\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}L=\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}\left\{\sum \limits _{k=1}^{f}{}{{P}_{k}}{{\dot {Q}}_{k}}(t)-{\bar {H}}\left({\bar {Q}},{\bar {P}},t\right)\right\}=0$

Beweis:

${\begin{aligned}&\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}\left\{\sum \limits _{k=1}^{f}{}{{p}_{k}}{{\dot {q}}_{k}}(t)-H({\bar {Q}},{\bar {P}},t)\right\}=0\\&\Leftrightarrow \delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}\left\{\sum \limits _{k=1}^{f}{}{{P}_{k}}{{\dot {Q}}_{k}}(t)-{\bar {H}}({\bar {Q}},{\bar {P}},t)+{\frac {d}{dt}}{{M}_{1}}\right\}=0\\&=\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}\left\{\sum \limits _{k=1}^{f}{}{{P}_{k}}{{\dot {Q}}_{k}}(t)-{\bar {H}}({\bar {Q}},{\bar {P}},t)\right\}+\delta \left\{{{M}_{1}}(q({{t}_{2}}),Q({{t}_{2}}),{{t}_{2}})-{{M}_{1}}(q({{t}_{1}}),Q({{t}_{1}}),{{t}_{1}})\right\}\\\end{aligned}}$

Dabei gelten die Relationen:

$\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}\left\{\sum \limits _{k=1}^{f}{}{{P}_{k}}{{\dot {Q}}_{k}}(t)-{\bar {H}}({\bar {Q}},{\bar {P}},t)\right\}=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}\left\{\sum \limits _{k=1}^{f}{\delta }{{P}_{k}}{{\dot {Q}}_{k}}(t)+{{P}_{k}}\delta {{\dot {Q}}_{k}}(t)-{\frac {\partial {\bar {H}}({\bar {Q}},{\bar {P}},t)}{\partial {{Q}_{k}}}}\delta {{Q}_{k}}-{\frac {\partial {\bar {H}}({\bar {Q}},{\bar {P}},t)}{\partial {{P}_{k}}}}\delta {{P}_{k}}\right\}$

${\begin{aligned}&\delta \left\{{{M}_{1}}(q({{t}_{2}}),Q({{t}_{2}}),{{t}_{2}})-{{M}_{1}}(q({{t}_{1}}),Q({{t}_{1}}),{{t}_{1}})\right\}=\sum \limits _{k}{\left(\left.{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}}}\delta {{q}_{k}}\right|_{{t}_{1}}^{{t}_{2}}+\left.{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\delta {{Q}_{k}}\right|_{{t}_{1}}^{{t}_{2}}\right)}\\&mit\left.\quad {\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}}}\delta {{q}_{k}}\right|_{{t}_{1}}^{{t}_{2}}=0\quad und\quad \left.{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\delta {{Q}_{k}}\right|_{{t}_{1}}^{{t}_{2}}\neq 0\\\end{aligned}}$

Außerdem:

$\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt{{P}_{k}}\delta {{\dot {Q}}_{k}}(t)}=\left.{{P}_{k}}\delta {{Q}_{k}}\right|_{{t}_{1}}^{{t}_{2}}-\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt{{\dot {P}}_{k}}\delta {{Q}_{k}}}$

Nebenbemerkung: Für die Variation gilt bekanntlich: $\delta {\bar {q}}({{t}_{1}})=\delta {\bar {q}}({{t}_{2}})=0$ . Jedoch sind p(t1) und p(t2) beliebig. Dadurch können sich nun insbesondere die Randbedingungen für $Q({\bar {q}},{\bar {p}},t)$ ändern.

Unter Beachtung der obigen relationen gilt nun:

$0=\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dtL}=\sum \limits _{k=1}^{f}{}\left.\left({{P}_{k}}+{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)\delta {{Q}_{k}}\right|_{{t}_{1}}^{{t}_{2}}+\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}\sum \limits _{k=1}^{f}{}\left\{\left({{\dot {Q}}_{k}}(t)-{\frac {\partial {\bar {H}}({\bar {Q}},{\bar {P}},t)}{\partial {{P}_{k}}}}\right)\delta {{P}_{k}}-\left({{\dot {P}}_{k}}(t)+{\frac {\partial {\bar {H}}({\bar {Q}},{\bar {P}},t)}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)\delta {{Q}_{k}}\right\}$

Aus den obigen Relationen ist bekannt:

$\left({{P}_{k}}+{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)=0$

Gleichzeitig sind jedoch Pi und Qi unabhängig und können demnach unabhängig variiert werden. Das bedeutet, dass $\delta {{P}_{k}}\quad und\quad \delta {{Q}_{k}}$ unabhängig sind.

Somit muss jeweils für sich gelten:

${\begin{aligned}&0=\left({{\dot {Q}}_{k}}(t)-{\frac {\partial {\bar {H}}({\bar {Q}},{\bar {P}},t)}{\partial {{P}_{k}}}}\right)\\&0=\left({{\dot {P}}_{k}}(t)+{\frac {\partial {\bar {H}}({\bar {Q}},{\bar {P}},t)}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)\\\end{aligned}}$

und es sind die Hamiltonschen Gleichungen äquivalent in den neuen Koordinaten, was zu beweisen war.

Äquivalente Formen der erzeugenden Funktion

Eine Legendre- Transformation von M1 liefert:

Aus dem vorigen Beweis ist bekannt:

$\sum \limits _{k=1}^{f}{}\left({{p}_{k}}{{\dot {q}}_{k}}-{{P}_{k}}{{\dot {Q}}_{k}}\right)-\left(H-{\bar {H}}\right)={\frac {d}{dt}}{{M}_{1}}$

Außerdem gilt:

${\frac {d}{dt}}{{M}_{1}}={\frac {d}{dt}}\left({{M}_{2}}({\bar {q}}(t),{\bar {P}}(t),t)-\sum \limits _{k}{{{P}_{k}}{{Q}_{k}}}\right)=\sum \limits _{k=1}^{f}{}\left({\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial {{q}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial {{P}_{k}}}}{{\dot {P}}_{k}}-{{\dot {P}}_{k}}{{Q}_{k}}-{{P}_{k}}{{\dot {Q}}_{k}}\right)+{\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial t}}$

So dass folgt:

$\sum \limits _{k=1}^{f}{}\left({{p}_{k}}-{\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial {{q}_{k}}}}\right){{\dot {q}}_{k}}+\left({{Q}_{k}}-{\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial {{P}_{k}}}}\right){{\dot {P}}_{k}}+({{P}_{k}}-{{P}_{k}}){{\dot {Q}}_{k}}=\left(H-{\bar {H}}\right)+{\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial t}}$

Da dies für beliebige ${{\dot {q}}_{k}},{{\dot {P}}_{k}}$ gilt, kann die Summe nur allgemein identisch sein, wenn gilt:

${\begin{aligned}&\left({{p}_{k}}-{\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial {{q}_{k}}}}\right)=0\Rightarrow {{p}_{k}}={\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial {{q}_{k}}}}\\&{{Q}_{k}}={\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial {{P}_{k}}}}\\&{\bar {H}}=H+{\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial t}}\\\end{aligned}}$

Analog kann gezeigt werden, dass für

${{M}_{3}}({\bar {p}},{\bar {Q}},t)={{M}_{1}}({\bar {q}},{\bar {Q}},t)-\sum \limits _{k=1}^{f}{}{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}}}{{q}_{k}}$

Hier folgt ( Übungsaufgabe):

${\begin{aligned}&\left({{q}_{k}}+{\frac {\partial {{M}_{3}}}{\partial {{p}_{k}}}}\right)=0\Rightarrow {{q}_{k}}=-{\frac {\partial {{M}_{3}}}{\partial {{p}_{k}}}}\\&{{P}_{k}}=-{\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\\\end{aligned}}$

oder

${{M}_{4}}({\bar {p}},{\bar {P}},t)={{M}_{1}}({\bar {q}},{\bar {Q}},t)-\sum \limits _{k=1}^{f}{}\left({\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}}}{{q}_{k}}+{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}}}{{Q}_{k}}\right)$

${\begin{aligned}&\Rightarrow \left({{q}_{k}}+{\frac {\partial {{M}_{4}}}{\partial {{p}_{k}}}}\right)=0\Rightarrow {{q}_{k}}=-{\frac {\partial {{M}_{4}}}{\partial {{p}_{k}}}}\\&{{Q}_{k}}=-{\frac {\partial {{M}_{4}}}{\partial {{P}_{k}}}}\\\end{aligned}}$

Beispiele für kanonische Transformationen

Erzeugende sei:

${\begin{aligned}&{{M}_{1}}({\bar {q}},{\bar {Q}},t)=\sum \limits _{j=1}^{f}{}{{q}_{j}}{{Q}_{j}}\\&\Rightarrow {{p}_{j}}={\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{j}}}}=-{{Q}_{j}}\\&{{P}_{j}}=-{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}}={{q}_{j}}\\&\left({\bar {q}},{\bar {p}}\right)\to \left({\bar {P}},-{\bar {Q}}\right)\\\end{aligned}}$

Bei dieser Trafo werden also Ort und Impuls vertauscht.

Beispiel 2:

${\begin{aligned}&{{M}_{2}}({\bar {q}},{\bar {P}},t)=\sum \limits _{j=1}^{f}{}{{q}_{j}}{{P}_{j}}\\&\Rightarrow {{p}_{j}}={\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial {{q}_{j}}}}={{P}_{j}}\\&{{Q}_{j}}={\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial {{P}_{j}}}}={{q}_{j}}\\&\left({\bar {q}},{\bar {p}}\right)\to \left({\bar {Q}},{\bar {P}}\right)\\\end{aligned}}$

Dies ist also die identische Transformation

Beispiel: Harmonischer Oszillator:

${\begin{aligned}&H={\frac {{p}^{2}}{2m}}+{\frac {m{{\omega }^{2}}}{2}}{{q}^{2}}\\&{{M}_{1}}(q,Q)={\frac {m\omega }{2}}{{q}^{2}}\cot Q\\&\Rightarrow p={\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial q}}=m\omega q\cot Q\\&P=-{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial Q}}={\frac {m\omega }{2}}{\frac {{q}^{2}}{{{\sin }^{2}}Q}}\\&q={{\left({\frac {2}{m\omega }}P\right)}^{\frac {1}{2}}}\sin Q\\&p={{\left(2m\omega P\right)}^{\frac {1}{2}}}\cos Q\\&\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&H={\bar {H}}\quad \left({\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial t}}\right)=0\\&H={\frac {2m\omega P{{\cos }^{2}}Q}{2m}}+{\frac {m{{\omega }^{2}}2P}{2m\omega }}{{\sin }^{2}}Q=\omega P\\\end{aligned}}$

Die Variable Q ist also zyklisch.

${\begin{aligned}&{\dot {P}}=-{\frac {\partial H}{\partial Q}}=0\Rightarrow P=\alpha =const\\&{\dot {Q}}={\frac {\partial H}{\partial P}}=\omega \Rightarrow Q=\omega t+\beta \\\end{aligned}}$

Somit kann q(t) durch Integration ( 2 Integrationskonstanten !!) gefunden werden:

$q(t)={{\left({\frac {2\alpha }{m\omega }}\right)}^{\frac {1}{2}}}\sin \left(\omega t+\beta \right)$

Dabei beschreibt $\alpha$ die Amplitude und $\beta$ die Phase.