Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Anwendung des Prinzips der vorurteilsfreien Schätzung auf ein klassisch- mechanisches System von N Teilchen (z.B. Moleküle eines Gases, 3N Freiheitsgrade)
Voraussetzung
gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit der Mirkozustände .
Dabei bezeichnet den Phasenraum der kanonisch konjugierten Orte und Impulse
Begründung
Liouville- Theorem - notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung!
Hamiltonfunktion
Hamiltonsche Gleichungen:
Lösung:
als Trajektorie im Phasneraum (bei euklidischer Metrik) gegeben durch das 6N-dimensionale Vektorfeld
Es gilt:
Interpretiert man als Dichte der Phasenpunkte im Phasenraum für ein Ensemble äquivalenter Systeme, so gilt der Erhaltungssatz (Kontinuitätsgleichung):
Interpretation:
- Dichte des Phasenflusses
- Geschwindigkeit des Phasenflusses
- Stromdichte des Phasenflusses
Die Änderung der Dichte in dem mit dem Fluss mitbewegten lokalen Koordinatensystem ist:
Wegen
folgt aus der Kontinuitätsgleichung
Satz:
Theorem von Liouville:
Die Dichte der Phasenraumpunkte ändert sich nicht im bewegten System!
Phasenfluss → inkompressible Flüssigkeit
Phasenvolumina im
- Raum sind invariant!
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Aber: Verformung ist natürlich zulässig!!
Ergänzung
Die Metrik in kann so gewählt werden, dass gleiche Phasenvolumina gleiche a-priori Wahrscheinlichkeiten haben und für alle Zeiten behalten.
Nebenbemerkung: Gilt nur für kanonische Variablen p,q
Konstruktion der Gleichgewichtsverteilung
Der thermodynamische Zustand sei gegeben durch Mittelwerte von Phasenraumfunktionen:
bei m unabhängigen Observablen!
Ensemble-Mittelwerte! sind gegeben als Info über den Zustand!
Das Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung ergibt:
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Beispiele
Annahme: unterscheidbare Teilchen. Ansonsten kommt noch ein Faktor rein!
1. Kanonische Verteilung
m=1:
Hamiltonfunktion als eine Art " Zufallsfunktion"
thermodynamisch konjugierter intensiver Parameter
innere Energie <- enthält nicht die makroskopische Bewegung des Systems als Ganzes!
kanonische Zustandssumme (Partition function)
als Dichteverteilung
- in der QM: statistischer Operator!
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2. Großkanonische Verteilung
m=2:
Variable Teilchenzahl als Zufallsgröße
Konvention
mittlere Teilchenzahl
grokanonische Zustandssumme
Phasenraum:
Mittelwertfindung:
Mittlere Teilchenzahl:
Als Wahrscheinlichkeit dafür, dass n Teilchen vorhanden sind!
= Marginalverteilung von
bezüglich N
Also:
Normierung:
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Beispiel
Klassisches ideales Gas (ohne Wechselwirkung):
sind übungshalber zu berechnen!
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