Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 1) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie	Relativistische Formulierung der Elektrodynamik	Elektrodynamik Schöll
	Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie Transformationsverhalten der Ströme und Felder Relativistisches Hamiltonprinzip Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum Eichinvarianz und Ladungserhaltung	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:

Kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet ! ( Einstein, 1904). Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich !

• Kugelwellen sind
• -> Lorentz- Invariant, also:
• ${{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=r{{\acute {\ }}^{2}}-{{c}^{2}}t{{\acute {\ }}^{2}}$

Für Lorentz- Transformationen !

Formalisierung: Der Raumzeitliche Abstand als

${{\left(ds\right)}^{2}}:={{\left(cdt\right)}^{2}}-{{\left(d{\bar {r}}\right)}^{2}}$

Zwischen 2 Ereignissen bleibt der raumzeitliche Abstand invariant bei Lorentz- Transformationen ! zwischen den Inertialsystemen : $\Sigma \leftrightarrow \Sigma {\acute {\ }}$

Ziel: Um dies sofort zu sehen führt man Vierervektoren ein. Dann schreibt man ${{\left(ds\right)}^{2}}$ als Skalarprodukt von Vierervektoren im Minkowski- Raum V und man benutze den Formalismus der linearen orthogonalen Transformation , unter denen das Skalarprodukt invariant bleibt:

In der ko / kontravarianten Schreibweise tritt jeder Vierervektor in 2 möglichen Versionen auf:

kontravariante Komponenten:

${\begin{aligned}&{{x}^{i}}\\&{{x}^{1}}:=ct\\&{{x}^{1}},{{x}^{2}},{{x}^{3}}\\\end{aligned}}$

als Komponenten des Ortsvektors ${\bar {r}}$

kovariante Komponenten

${\begin{aligned}&{{x}_{i}}:\\&{{x}_{0}}:=ct\\&{{x}_{\alpha }}=-{{x}^{\alpha }},\alpha =1,2,3\\\end{aligned}}$

kovarianter Vektor $\in {\tilde {V}}$ , dualer Vektorraum zu V ! Merke: Die Räume der kovarianten Vektoren ist dual zur menge der kontravarianten -> $\in {\tilde {V}}$ als Raum der linearen Funktionale l: $V\to R$

Damit werden dann die Skalarprodukte gebildet !

Schreibe

${{\left(ds\right)}^{2}}=d{{x}^{0}}d{{x}_{0}}+d{{x}^{1}}d{{x}_{1}}+d{{x}^{2}}d{{x}_{2}}+d{{x}^{3}}d{{x}_{3}}=d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}$

Mit: Summenkonvention ! über je einen ko- und einen kontravarianten Index ( hier i =0,1,2,3) wird summiert !

Physikalische Anwendung

Lorentz- Invarianten lassen sich als Skalarprodukt ${{a}^{i}}{{a}_{i}}$ schreiben !

Beispiel: dÁlemebert- Operator:

$\#=\Delta -{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}=-{\frac {\partial }{\partial {{x}^{i}}}}{\frac {\partial }{\partial {{x}_{i}}}}=-{{\partial }_{i}}{{\partial }^{i}}$

Vierergeschwindigkeit

${\begin{aligned}&{{u}^{i}}:={\frac {d{{x}^{i}}}{ds}}\Rightarrow {{u}^{i}}{{u}_{i}}={\frac {d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}}{{\left(ds\right)}^{2}}}=1\\&mit\\&ds={{\left(d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}\right)}^{\frac {1}{2}}}=c{{\left(1-{{\beta }^{2}}\right)}^{{\frac {1}{2}}dt}}={\frac {c}{\gamma }}dt\\&\Rightarrow {{u}^{0}}=\gamma \\&{{u}^{\alpha }}={\frac {\gamma }{c}}{{v}^{\alpha }}\\&{{v}^{\alpha }}:={\frac {d{{x}^{\alpha }}}{dt}}\\&\beta :={\frac {v}{c}}\\&\gamma :={\frac {1}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}\\\end{aligned}}$

Physikalische Interpretation

${\begin{aligned}&{{u}^{\alpha }}={\frac {1}{c}}{\frac {d{{x}^{\alpha }}}{d\tau }}\\&d\tau ={\frac {dt}{\gamma }}\\\end{aligned}}$

Viererimpuls

${{p}^{i}}:={{m}_{0}}c{{u}^{i}}$ mit der Ruhemasse m0

Also:

${\begin{aligned}&{{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}{{u}^{i}}{{u}_{i}}\\&{{u}^{i}}{{u}_{i}}=1\\&\Rightarrow {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}\\&{{p}^{0}}={{m}_{0}}\gamma c=m(v)c={\frac {E}{c}}\\&{{p}^{\alpha }}={{m}_{0}}\gamma {{v}^{\alpha }}=m(v){{v}^{\alpha }}\\&{{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}{{u}^{i}}{{u}_{i}}\Leftrightarrow {{E}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{\bar {p}}^{2}}\\\end{aligned}}$

Mit der Energie

$E=m(v){{c}^{2}}$

Analoge Definition von Tensoren 2. Stufe:

${\begin{aligned}&{{A}^{ik}},{{A}^{i}}_{k},{{A}_{i}}^{k},{{A}_{ik}}\\&{{A}^{00}}={{A}^{0}}_{0}={{A}_{0}}^{0}={{A}_{00}}\\&{{A}^{10}}={{A}^{1}}_{0}=-{{A}_{1}}^{0}=-{{A}_{10}}\\&{{A}^{11}}=-{{A}^{1}}_{1}=-{{A}_{1}}^{1}={{A}_{11}}\\\end{aligned}}$

Der metrische Tensor

${{g}^{ik}}:={{\delta }^{ik}}=\left.\left\{{\begin{matrix}{{\delta }^{i}}_{k}\quad k=0\\-{{\delta }^{i}}_{k}\quad k=1,2,3\\\end{matrix}}\right.\right\}={{g}_{ik}}$

${{g}^{ik}}={{g}_{ik}}=\left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{matrix}}\right)$

Mittels der Metrik werden Indices gehoben bzw. gesenkt:

${{g}^{ik}}{{a}_{k}}={{a}^{i}}$

Wichtig fürs Skalarprodukt:

$d{{s}^{2}}={{g}^{ik}}d{{x}_{i}}d{{x}_{k}}={{g}_{ik}}d{{x}^{i}}d{{x}^{k}}$

Lorentz- Trafo

zwischen Bezugssystemen: Lineare / homogene Trafo

die Lorentz- Transformation für

${\begin{aligned}&\left({{x}^{0}}{\begin{matrix},&{{x}^{1}},&{{x}^{2}},&{{x}^{3}}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}ct,&x,&y,&z\\\end{matrix}}\right)\\&d{{s}^{2}}={{c}^{2}}d{{t}^{2}}-d{{x}^{2}}-d{{y}^{2}}-d{{z}^{2}}\\\end{aligned}}$

Nämlich:

${\begin{aligned}&\left({\begin{matrix}{{x}_{0}}{\acute {\ }}\\{{x}_{1}}{\acute {\ }}\\{{x}_{2}}{\acute {\ }}\\{{x}_{3}}{\acute {\ }}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{\frac {1}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}&{\frac {-\beta }{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}&0&0\\{\frac {-\beta }{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}&{\frac {1}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{{x}_{0}}\\{{x}_{1}}\\{{x}_{2}}\\{{x}_{3}}\\\end{matrix}}\right)\\&x{{\acute {\ }}^{i}}={{U}^{i}}_{k}{{x}^{k}}\\\end{aligned}}$

Mit ${{U}^{i}}_{k}=\left({\begin{matrix}{\frac {1}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}&{\frac {-\beta }{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}&0&0\\{\frac {-\beta }{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}&{\frac {1}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)$

für $v||{{x}_{1}}$

Wesentliche Eigenschaft ( die Viererschreibweise ist so konstruiert worden):

U ist orthogonale Trafo:

${\begin{aligned}&{{U}^{i}}_{k}{{U}_{i}}^{l}=\delta _{k}^{l}\\&\Rightarrow a{{\acute {\ }}^{i}}b{{\acute {\ }}_{i}}={{U}^{i}}_{k}{{U}_{i}}^{l}{{a}^{k}}{{b}_{l}}={{a}^{k}}{{b}_{k}}\\\end{aligned}}$

Das Skalarprodukt ist invariant, falls U eine orthogonale Trafo ist Bzw. Forderung: Skalarprodukt invariant -> U muss orthogonale Trafo sein !

Umkehr- Transformation:

${{x}^{i}}={{U}_{k}}^{i}x{{\acute {\ }}^{k}}$