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| Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich ! | | Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich ! |
| * Kugelwellen sind | | * Kugelwellen sind |
| * -> Lorentz- Invariant, also: | | * → Lorentz- Invariant, also: |
| * <math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=r{{\acute{\ }}^{2}}-{{c}^{2}}t{{\acute{\ }}^{2}}</math> | | * <math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=r{{\acute{\ }}^{2}}-{{c}^{2}}t{{\acute{\ }}^{2}}</math> |
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| , dualer Vektorraum zu V ! | | , dualer Vektorraum zu V ! |
| Merke: Die Räume der kovarianten Vektoren ist dual zur menge der kontravarianten | | Merke: Die Räume der kovarianten Vektoren ist dual zur menge der kontravarianten |
| ->
| | → |
| :<math>\in \tilde{V}</math> | | :<math>\in \tilde{V}</math> |
| als Raum der linearen Funktionale l: | | als Raum der linearen Funktionale l: |
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| Das Skalarprodukt ist invariant, falls U eine orthogonale Trafo ist | | Das Skalarprodukt ist invariant, falls U eine orthogonale Trafo ist |
| Bzw. | | Bzw. |
| Forderung: Skalarprodukt invariant -> U muss orthogonale Trafo sein ! | | Forderung: Skalarprodukt invariant → U muss orthogonale Trafo sein ! |
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| Umkehr- Transformation: | | Umkehr- Transformation: |
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| :<math>{{x}^{i}}={{U}_{k}}^{i}x{{\acute{\ }}^{k}}</math> | | :<math>{{x}^{i}}={{U}_{k}}^{i}x{{\acute{\ }}^{k}}</math> |
Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:
Kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet ! ( Einstein, 1904).
Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich !
- Kugelwellen sind
- → Lorentz- Invariant, also:
Für Lorentz- Transformationen !
Formalisierung:
Der Raumzeitliche Abstand als
Zwischen 2 Ereignissen bleibt der raumzeitliche Abstand invariant bei Lorentz- Transformationen ! zwischen den Inertialsystemen :
Ziel: Um dies sofort zu sehen führt man Vierervektoren ein.
Dann schreibt man
als Skalarprodukt von Vierervektoren im Minkowski- Raum V und man benutze den Formalismus der linearen orthogonalen Transformation , unter denen das Skalarprodukt invariant bleibt:
In der ko / kontravarianten Schreibweise tritt jeder Vierervektor in 2 möglichen Versionen auf:
kontravariante Komponenten:
als Komponenten des Ortsvektors
kovariante Komponenten
kovarianter Vektor
, dualer Vektorraum zu V !
Merke: Die Räume der kovarianten Vektoren ist dual zur menge der kontravarianten
→
als Raum der linearen Funktionale l:
Damit werden dann die Skalarprodukte gebildet !
Schreibe
Mit: Summenkonvention !
über je einen ko- und einen kontravarianten Index ( hier i =0,1,2,3) wird summiert !
Physikalische Anwendung
Lorentz- Invarianten lassen sich als Skalarprodukt
schreiben !
Beispiel: dÁlemebert- Operator:
Vierergeschwindigkeit
Physikalische Interpretation
Viererimpuls
mit der Ruhemasse m0
Also:
Mit der Energie
Analoge Definition von Tensoren 2. Stufe:
Der metrische Tensor
Mittels der Metrik werden Indices gehoben bzw. gesenkt:
Wichtig fürs Skalarprodukt:
Lorentz- Trafo
zwischen Bezugssystemen: Lineare / homogene Trafo
die Lorentz- Transformation für
Nämlich:
Mit
für
Wesentliche Eigenschaft ( die Viererschreibweise ist so konstruiert worden):
U ist orthogonale Trafo:
Das Skalarprodukt ist invariant, falls U eine orthogonale Trafo ist
Bzw.
Forderung: Skalarprodukt invariant → U muss orthogonale Trafo sein !
Umkehr- Transformation: