Kontinuitätsgleichung

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Kontinuitätsgleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 1) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Kontinuitätsgleichung	Stationäre Ströme und Magnetfeld	Elektrodynamik Schöll
	Kontinuitätsgleichung Magnetische Induktion Magnetostatische Feldgleichungen Magnetische Multipole	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Bewegte Ladungen entsprechen elektrischem Strom I

Experimentelle Erfahrung: Die Ladung bleibt erhalten:

$Q(t)=\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\rho ({\bar {r}},t)$

Damit folgt ein globaler Erhaltungssatz:

${\frac {d}{dt}}Q(t)={\frac {d}{dt}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\rho ({\bar {r}},t)=-\oint \limits _{\partial V}{}\delta I$

$\delta I={\frac {\rho dV}{dt}}={\frac {\rho \left|v\right|dt\left|df\right|\cos \alpha }{dt}}=\rho {\bar {v}}d{\bar {f}}$

Also gerade die Ladung, die durch $d{\bar {f}}$pro zeit aus V herausströmt

Als eine lokale Größe findet man die elektrische Stromdichte: ${\bar {j}}({\bar {r}},t):=\rho ({\bar {r}},t){\bar {v}}({\bar {r}},t)$

$\Rightarrow {\frac {d}{dt}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\rho ({\bar {r}},t)=-\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}{\bar {j}}({\bar {r}},t)=-\int _{V}^{}{{{d}^{3}}r}\nabla \cdot {\bar {j}}({\bar {r}},t)$

(Gauß!) für alle Volumina V (einfach zusammenhängend)

Somit folgt die Kontinuitätsgleichung als lokaler Erhaltungssatz:

$\Rightarrow {\frac {\partial }{\partial t}}\rho ({\bar {r}},t)+\nabla \cdot {\bar {j}}({\bar {r}},t)=0$

Speziell bei stationären Ladungsverteilungen gilt die Divergenzfreiheit des Stroms:

$\nabla \cdot {\bar {j}}({\bar {r}},t)=0$

Aber: natürlich muss deswegen nicht ${\bar {j}}({\bar {r}},t)=0$ gelten. Der Strom muss räumlich lediglich stationär sein!