Legendre- Transformation und Hamiltonfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
*>SchuBot Einrückungen Mathematik |
*>SchuBot Einrückungen Mathematik |
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Ausgehend von einer Funktion | Ausgehend von einer Funktion | ||
<math>y=f(x)</math> wobei <math>f(x)\cong L,x\cong {{\dot{q}}_{k}}</math> | :<math>y=f(x)</math> wobei <math>f(x)\cong L,x\cong {{\dot{q}}_{k}}</math> | ||
Soll statt x die Variable | Soll statt x die Variable | ||
<math>u=\frac{d}{dx}f(x)</math> | :<math>u=\frac{d}{dx}f(x)</math> | ||
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<math>u=\frac{d}{dx}f(x)\Rightarrow x=\phi (u)</math> | :<math>u=\frac{d}{dx}f(x)\Rightarrow x=\phi (u)</math> | ||
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<math>\frac{{{d}^{2}}}{d{{x}^{2}}}f(x)\ne 0</math> | :<math>\frac{{{d}^{2}}}{d{{x}^{2}}}f(x)\ne 0</math> | ||
Ansonsten: | Ansonsten: | ||
<math>u=\frac{d}{dx}f(x)=const.</math> | :<math>u=\frac{d}{dx}f(x)=const.</math> | ||
und damit nicht umkehrbar. | und damit nicht umkehrbar. | ||
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<math>y=f(x)=f(\phi (u)):=F(u)</math> | :<math>y=f(x)=f(\phi (u)):=F(u)</math> | ||
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<math>y=F(u)</math> ist <math>y=f(x)</math> | :<math>y=F(u)</math> ist <math>y=f(x)</math> | ||
nicht mehr eindeutig rekonstruierbar, weil alle Funktionen | nicht mehr eindeutig rekonstruierbar, weil alle Funktionen | ||
<math>y=f(x)+a</math> | :<math>y=f(x)+a</math> | ||
mit beliebigem, konstanten a wegen | mit beliebigem, konstanten a wegen | ||
<math>u=\frac{d}{dx}y=\frac{d}{dx}(f(x)+a)=\frac{df}{dx}</math> | :<math>u=\frac{d}{dx}y=\frac{d}{dx}(f(x)+a)=\frac{df}{dx}</math> | ||
dann auf die selbe Funktion | dann auf die selbe Funktion | ||
<math>y=F(u)</math> | :<math>y=F(u)</math> | ||
führen: | führen: | ||
Alle Funktionen, die die gleiche Steigung u bei x haben, führen auf das selbe F(u). | Alle Funktionen, die die gleiche Steigung u bei x haben, führen auf das selbe F(u). | ||
<math>y=F(u)</math> | :<math>y=F(u)</math> | ||
ist also nicht umkehrbar. | ist also nicht umkehrbar. | ||
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<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& x\to u \\ | & x\to u \\ | ||
& y\to z=xu-f(x)=\phi (u)u-f(\phi (u))=g(u) \\ | & y\to z=xu-f(x)=\phi (u)u-f(\phi (u))=g(u) \\ | ||
Zeile 73: | Zeile 73: | ||
<math>y=f(\phi (u))</math> | :<math>y=f(\phi (u))</math> | ||
Zeile 79: | Zeile 79: | ||
<math>y(x)\to g(u)</math> | :<math>y(x)\to g(u)</math> | ||
heißt LEGENDRE- TRANSFORMATION | heißt LEGENDRE- TRANSFORMATION | ||
Graphische Veranschaulichung von | Graphische Veranschaulichung von | ||
<math>g(u)=x\frac{df}{dx}-f(x)</math> | :<math>g(u)=x\frac{df}{dx}-f(x)</math> | ||
: | : | ||
Zeile 97: | Zeile 97: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& y\cong L \\ | & y\cong L \\ | ||
& x\cong \dot{q} \\ | & x\cong \dot{q} \\ | ||
Zeile 112: | Zeile 112: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}},t) \\ | & L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}},t) \\ | ||
& {{p}_{k}}:=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}} \\ | & {{p}_{k}}:=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}} \\ | ||
Zeile 122: | Zeile 122: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}},t)\in {{C}^{2}} \\ | & L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}},t)\in {{C}^{2}} \\ | ||
& \det \frac{{{\partial }^{2}}L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\ne 0 \\ | & \det \frac{{{\partial }^{2}}L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\ne 0 \\ | ||
\end{align}</math> damit <math>{{p}_{k=}}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}</math> nach <math>{{\dot{q}}_{k}}</math> | \end{align}</math> damit <math>{{p}_{k=}}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}</math> nach <math>{{\dot{q}}_{k}}</math> | ||
auflösbar | auflösbar |
Version vom 12. September 2010, 17:27 Uhr
Der Artikel Legendre- Transformation und Hamiltonfunktion basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 1) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
Legendre- Transformation und Hamiltonfunktion | Der Hamiltonsche kanonische Formalismus | |
---|---|---|
Mathematisches Problem:
Ausgehend von einer Funktion
- wobei
Soll statt x die Variable
verwendet werden.
Also die Steigung von f(x) am Punkt x.
Das bedeutet, wir wollen eine Funktion, die nicht von bestimmten Koordinaten x abhängt sondern nur von der Steigung der Funktion selbst, die sie in Abhängigkeit von x an diesen Stellen hätte.
Mit der Voraussetzung
Ansonsten:
und damit nicht umkehrbar.
Die Substitution in f führt dann auf:
Bei dieser Trafo geht jedoch Information verloren.
Das heißt: Aus
- ist
nicht mehr eindeutig rekonstruierbar, weil alle Funktionen
mit beliebigem, konstanten a wegen
dann auf die selbe Funktion
führen:
Alle Funktionen, die die gleiche Steigung u bei x haben, führen auf das selbe F(u).
ist also nicht umkehrbar.
Auf das selbe F(u) führt jeweils die gesamte lineare Kurvenschar aller Funktionen f(x) zzgl. eines konstanten Parameters.
deshalb wird die Legendre- Transformation, eine andere, umkehrbare, Transformation, eingeführt:
Statt der gerade genannten einfachen Variante
Die Trafo
heißt LEGENDRE- TRANSFORMATION
Graphische Veranschaulichung von
Das bedeutet: Die ursprüngliche Funktion y=f(x) wird nach der Trafo x-> u durch die Steigung u von f(x) und den (negativen) Achsenabschnitt charakterisiert.
Da der Achsenabschnitt mit berücksichtigt ist, wird nicht mehr die gesamte Kurvenschar auf die gleiche g(u) abgebildet. Die Abbildung ist bijektiv und damit eindeutig.
Die Werte (u,-z) bestimmen die Schar der Einhüllenden von y=f(x):
Man spricht deshalb von einer Legendre - oder auch Berührungstransformation.
Anwendung auf die Lagrangefunktion
Die Legendretransformierte H(q,p,t) heißt Hamiltonfunktion.
Die Variablen q und t werden nicht geändert.
Wichtig ist jedoch bei mehreren Variablen q1,...,qf:
Die mathematischen Voraussetzungen für diese Prozedur sind:
- damit nach
auflösbar