Poisson- Klammern

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Poisson- Klammern basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 6) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Poisson- Klammern	Der Hamiltonsche kanonische Formalismus
	Legendre- Transformation und Hamiltonfunktion Die Hamiltonschen Gleichungen Kanonische Transformationen Symplektische Struktur des Phasenraums Der Satz von Liouville Poisson- Klammern	Das d'Alembertsche Prinzip Das Hamiltonsche Prinzip Symmetrien und Erhaltungsgrößen Der Hamiltonsche kanonische Formalismus Die Hamilton-Jacobi-Theorie Mechanik des starren Körpers Dynamische Systeme und deterministisches Chaos

Jede Observable läßt sich in der klassischen Mechanik als Funktion von Ort, Impuls und Zeit darstellen:

$Observable=g({\bar {q}},{\bar {p}},t)$

Die zeitliche Änderung längs der Bahn

${\bar {q}}(t),{\bar {p}}(t)$

im Phasenraum

$\Gamma$

${\frac {dg({\bar {q}},{\bar {p}},t)}{dt}}=\sum \limits _{i=1}^{f}{\left({\frac {\partial g}{\partial {{q}_{i}}}}{{\dot {q}}_{i}}+{\frac {\partial g}{\partial {{p}_{i}}}}{{\dot {p}}_{i}}\right)}+{\frac {\partial g}{\partial t}}=\sum \limits _{i=1}^{f}{\left({\frac {\partial g}{\partial {{q}_{i}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{i}}}}-{\frac {\partial g}{\partial {{p}_{i}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{i}}}}\right)}+{\frac {\partial g}{\partial t}}=:\left\{g,H\right\}+{\frac {\partial g}{\partial t}}$

Definition:

Für zwei beliebige Observablen

$g({\bar {q}},{\bar {p}},t)$ und $f({\bar {q}},{\bar {p}},t)$

heißt

$\sum \limits _{i=1}^{f}{\left({\frac {\partial g}{\partial {{q}_{i}}}}{\frac {\partial f}{\partial {{p}_{i}}}}-{\frac {\partial g}{\partial {{p}_{i}}}}{\frac {\partial f}{\partial {{q}_{i}}}}\right)}=:\left\{g,f\right\}$

Poisson- Klammer

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