Poisson- Klammern

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Poisson- Klammern basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 6) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Poisson- Klammern	Der Hamiltonsche kanonische Formalismus
	Legendre- Transformation und Hamiltonfunktion Die Hamiltonschen Gleichungen Kanonische Transformationen Symplektische Struktur des Phasenraums Der Satz von Liouville Poisson- Klammern	Das Hamiltonsche Prinzip Das d'Alembertsche Prinzip Symmetrien und Erhaltungsgrößen Der Hamiltonsche kanonische Formalismus Die Hamilton-Jacobi-Theorie Mechanik des starren Körpers Dynamische Systeme und deterministisches Chaos

Jede Observable läßt sich in der klassischen Mechanik als Funktion von Ort, Impuls und Zeit darstellen:

$Observable=g({\bar {q}},{\bar {p}},t)$

Die zeitliche Änderung längs der Bahn

${\bar {q}}(t),{\bar {p}}(t)$

im Phasenraum

$\Gamma$

${\frac {dg({\bar {q}},{\bar {p}},t)}{dt}}=\sum \limits _{i=1}^{f}{\left({\frac {\partial g}{\partial {{q}_{i}}}}{{\dot {q}}_{i}}+{\frac {\partial g}{\partial {{p}_{i}}}}{{\dot {p}}_{i}}\right)}+{\frac {\partial g}{\partial t}}=\sum \limits _{i=1}^{f}{\left({\frac {\partial g}{\partial {{q}_{i}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{i}}}}-{\frac {\partial g}{\partial {{p}_{i}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{i}}}}\right)}+{\frac {\partial g}{\partial t}}=:\left\{g,H\right\}+{\frac {\partial g}{\partial t}}$

Definition:

Für zwei beliebige Observablen

$g({\bar {q}},{\bar {p}},t)$ und $f({\bar {q}},{\bar {p}},t)$

heißt

$\sum \limits _{i=1}^{f}{\left({\frac {\partial g}{\partial {{q}_{i}}}}{\frac {\partial f}{\partial {{p}_{i}}}}-{\frac {\partial g}{\partial {{p}_{i}}}}{\frac {\partial f}{\partial {{q}_{i}}}}\right)}=:\left\{g,f\right\}$

Poisson- Klammer

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Bezug zur Quantenmechanik

Ein Übergang zur Quantenmechanik ist möglich:

Von der klassischen Variablen

$g({\bar {q}},{\bar {p}},t)$

zum qm. Operator:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle g:H→H}

mit dem Hilbertraum H

Von der Poissonklammer:

$\left\{f,g\right\}\to {\frac {1}{i\hbar }}\left[f,g\right]$

zum Kommutator

Aus den fundamentalen Poisson- Klammern folgen die kanonischen Vertauschiungsrelationen:

${\begin{aligned}&\left\{{{q}_{k}},{{q}_{j}}\right\}=0\quad \to \left[{{q}_{k}},{{q}_{j}}\right]=0\\&\left\{{{p}_{k}},{{p}_{j}}\right\}=0\quad \to \left[{{p}_{k}},{{p}_{j}}\right]=0\\&\left\{{{q}_{k}},{{p}_{j}}\right\}={{\delta }_{kj}}\quad \to \left[{{q}_{k}},{{p}_{j}}\right]=i\hbar {{\delta }_{kj}}\\\end{aligned}}$

Die Hamiltonfunktion H(q,p,t) geht über zum Hamilton- Operator

Die Bewegungsgleichungen:

${\begin{aligned}&{\frac {dg({\bar {q}},{\bar {p}},t)}{dt}}=\sum \limits _{i=1}^{f}{\left({\frac {\partial g}{\partial {{q}_{i}}}}{{\dot {q}}_{i}}+{\frac {\partial g}{\partial {{p}_{i}}}}{{\dot {p}}_{i}}\right)}+{\frac {\partial g}{\partial t}}=\sum \limits _{i=1}^{f}{\left({\frac {\partial g}{\partial {{q}_{i}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{i}}}}-{\frac {\partial g}{\partial {{p}_{i}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{i}}}}\right)}+{\frac {\partial g}{\partial t}}=:\left\{g,H\right\}+{\frac {\partial g}{\partial t}}\\&\to {\frac {dg}{dt}}={\frac {1}{i\hbar }}\left[g,H\right]+{\frac {\partial g}{\partial t}}\\\end{aligned}}$

Wobei auch nur der Zusammenhang zwischen Poisson- Klammer und Kommutator recycled wurde.

Da in diesem Bild die Operatoren zeitabhängig sind haben wir es mit der Heisenbergschen bewegungsgleichung zu tun. Im Schrödingerbild ist der Operator zeitunabhängig und die Schrödingergleichung gibt eine Bewegungsgleichung für die Zustände an.