Relativistisches Hamiltonprinzip

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Relativistisches Hamiltonprinzip basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 3) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Relativistisches Hamiltonprinzip	Relativistische Formulierung der Elektrodynamik	Elektrodynamik Schöll
	Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie Transformationsverhalten der Ströme und Felder Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum Relativistisches Hamiltonprinzip Eichinvarianz und Ladungserhaltung	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Ziel: Formulierung der Elektrodynamik als Lagrange- Feldtheorie

Die rel. Dynamik eines Massepunktes kann aus dem Extremalprinzip abgeleitet werden, wenn man Die Punkt 1 und 2 als Anfangs- und Endereignis im 4- Raum sieht und wenn man die Ränder bei Variation festhält:

${\begin{aligned}&\delta W=0\\&W=\int _{1}^{2}{}ds\\\end{aligned}}$

letzteres: Wirkungsintegral Wichtig: ${{\left.\delta {{x}^{i}}\right|}_{1,2}}=0$

Newtonsche Mechanik ist Grenzfall:

$W=-{{m}_{0}}c\int _{1}^{2}{}ds$

Wechselwirkung eines Massepunktes mit einem 4- Vektor- Feld

${\begin{aligned}&\left({{\phi }^{i}}\right)({{x}^{j}})\\&\Rightarrow \\\end{aligned}}$

$W=\int _{1}^{2}{}\left\{-{{m}_{0}}cds-{{\phi }^{i}}d{{x}_{i}}\right\}$

mit den Lorentz- Invarianten

${{m}_{0}}cds$

und

${{\phi }^{i}}d{{x}_{i}}$

Variation:

$\delta W=\int _{1}^{2}{}\left\{-{{m}_{0}}c\delta \left(ds\right)-\delta \left({{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}\right)\right\}$

Nun:

${\begin{aligned}&\delta \left(ds\right)=\delta {{\left(d{{x}^{\mu }}d{{x}_{\mu }}\right)}^{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {\left(d\delta {{x}^{\mu }}\right)d{{x}_{\mu }}+d{{x}^{\mu }}\left(d\delta {{x}_{\mu }}\right)}{ds}}\\&\left(d\delta {{x}^{\mu }}\right)d{{x}_{\mu }}=d{{x}^{\mu }}\left(d\delta {{x}_{\mu }}\right)\\&={\frac {d{{x}^{\mu }}}{ds}}\left(d\delta {{x}_{\mu }}\right)={{u}^{\mu }}\left(d\delta {{x}_{\mu }}\right)\\\end{aligned}}$

Außerdem:

$\delta \left({{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}\right)=\delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}+{{\phi }^{\mu }}d\left(\delta {{x}_{\mu }}\right)$

Somit:

$\delta W=\int _{1}^{2}{}\left\{-{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\left(d\delta {{x}_{\mu }}\right)-\delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}-{{\phi }^{\mu }}d\left(\delta {{x}_{\mu }}\right)\right\}$

Weiter mit partieller Integration:

${\begin{aligned}&\int _{1}^{2}{}-{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}d\left(\delta {{x}_{\mu }}\right)=\left[-{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\left(\delta {{x}_{\mu }}\right)\right]_{1}^{2}+\int _{1}^{2}{}{{m}_{0}}cd{{u}^{\mu }}\left(\delta {{x}_{\mu }}\right)\\&\left[-{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\left(\delta {{x}_{\mu }}\right)\right]_{1}^{2}=0,weil\delta {{x}_{\mu }}_{1}^{2}=0\\&\Rightarrow \int _{1}^{2}{}-{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}d\left(\delta {{x}_{\mu }}\right)=\int _{1}^{2}{}{{m}_{0}}cd{{u}^{\mu }}\left(\delta {{x}_{\mu }}\right)=\int _{1}^{2}{}{{m}_{0}}c{\frac {d{{u}^{\mu }}}{ds}}\left(\delta {{x}_{\mu }}\right)ds\\\end{aligned}}$

Weiter:

$\int _{1}^{2}{}-{{\phi }^{\mu }}d\left(\delta {{x}_{\mu }}\right)=-\left[{{\phi }^{\mu }}\delta {{x}_{\mu }}\right]_{1}^{2}+\int _{1}^{2}{}d{{\phi }^{\mu }}\left(\delta {{x}_{\mu }}\right)$

Mit

${\begin{aligned}&d{{\phi }^{\mu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\nu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}{{u}_{\nu }}ds\\&\delta {{\phi }^{\mu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}\delta {{x}_{\nu }}\\&\delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}\delta {{x}_{\nu }}d{{x}_{\mu }}=i<->k={{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}\delta {{x}_{\mu }}d{{x}_{\nu }}={{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}{{u}_{\nu }}\delta {{x}_{\mu }}ds\\\end{aligned}}$

Einsetzen in

$\delta W=\int _{1}^{2}{}\left\{-{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\left(d\delta {{x}_{\mu }}\right)-\delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}-{{\phi }^{\mu }}d\left(\delta {{x}_{\mu }}\right)\right\}$

liefert:

$\delta W=\int _{1}^{2}{}\left\{{{m}_{0}}c{\frac {d{{u}^{\mu }}}{ds}}-\left({{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}\right){{u}_{\nu }}\right\}\delta {{x}_{\mu }}$

Wegen

${\begin{aligned}&\delta W=\int _{1}^{2}{}\left\{{{m}_{0}}c{\frac {d{{u}^{\mu }}}{ds}}-\left({{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}\right){{u}_{\nu }}\right\}\delta {{x}_{\mu }}=0\\&{{m}_{0}}c{\frac {d{{u}^{\mu }}}{ds}}=\left({{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}\right){{u}_{\nu }}:={{f}^{\mu \nu }}{{u}_{\nu }}\\&{{f}^{\mu \nu }}=\left({{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}\right)\\\end{aligned}}$

Dies ist dann die aus dem hamiltonschen Prinzip abgeleitete Bewegungsgleichung eines Massepunktes der Ruhemasse m0 und der Ladung q unter dem Einfluss der Lorentz- Kraft.

Man setze:

${\begin{aligned}&{{p}^{\mu }}={{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\\&{{f}^{\mu \nu }}={\frac {q}{c}}{{F}^{\mu \nu }}=\left({{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}\right)\\&{{\phi }^{\mu }}={\frac {q}{c}}{{\Phi }^{\mu }}\\&{\frac {d}{ds}}{{p}^{\mu }}={\frac {q}{c}}{{F}^{\mu \nu }}{{u}_{\nu }}\Leftrightarrow \delta W=\delta \int _{1}^{2}{}\left\{-{{m}_{0}}cds-{\frac {q}{c}}{{\Phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}\right\}=0\\\end{aligned}}$

Man bestimmt die Ortskomponenten $\alpha =1,2,3$ über

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\bar {p}}=q\left({\bar {E}}+{\bar {v}}\times {\bar {B}}\right)\\&\\\end{aligned}}$

überein, denn mit

${\begin{aligned}&{{u}^{0}}=\gamma \\&{{u}^{\alpha }}={\frac {\gamma }{c}}{{v}^{\alpha }}=-{{u}_{\alpha }}\\\end{aligned}}$

folgt dann:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{{p}^{1}}=q\left({{E}^{1}}+{{v}^{2}}{{B}^{3}}-{{v}^{3}}{{B}^{2}}\right)\\&=q\left({{F}^{10}}+{{F}^{21}}{\frac {1}{c}}{{v}^{2}}-{{F}^{13}}{\frac {1}{c}}{{v}^{3}}\right)\\&={\frac {q}{\gamma }}\left({{F}^{10}}\gamma +{{F}^{21}}{\frac {\gamma }{c}}{{v}^{2}}-{{F}^{13}}{\frac {\gamma }{c}}{{v}^{3}}\right)={\frac {q}{\gamma }}{{F}^{1\mu }}{{u}_{\mu }}\\\end{aligned}}$

mit

$ds={\frac {c}{\gamma }}dt$

${\frac {d}{ds}}{{p}^{1}}={\frac {q}{c}}{{F}^{1\mu }}{{u}_{\mu }}$

Die zeitartige Komponente $\mu =0$ gibt wegen ${{p}^{0}}={\frac {E}{c}}$

${\begin{aligned}&{\frac {d}{ds}}{\frac {E}{c}}={\frac {\gamma }{{c}^{2}}}{\frac {dE}{dt}}={\frac {q}{c}}\left({{F}^{01}}{{u}_{1}}+{{F}^{02}}{{u}_{2}}+{{F}^{03}}{{u}_{3}}\right)=\\&={\frac {q\gamma }{{c}^{2}}}\left(-{{E}^{1}}{{v}_{1}}-{{E}^{2}}{{v}_{2}}-{{E}^{3}}{{v}_{3}}\right)={\frac {q\gamma }{{c}^{2}}}\left({{E}^{1}}{{v}^{1}}+{{E}^{2}}{{v}^{2}}+{{E}^{3}}{{v}^{3}}\right)\\&{\frac {dE}{dt}}=q{\bar {E}}\cdot {\bar {v}}\\\end{aligned}}$

Dies ist die Leistungsbilanz: Die Änderung der inneren Energie ist gleich der reingesteckten Arbeit