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| durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird. | | durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird. |
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| Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters <math>\varepsilon </math> | | Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters <math>\varepsilon </math> linear entwickelt werden kann: |
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| linear entwickelt werden kann: | |
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| :<math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math> | | :<math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math> |
| | | (dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein!) |
| ( dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein !) | |
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| Die ''Eigenzustände'' und ''Eigenwerte'' von H<sub>0</sub> seien bekannt: | | Die ''Eigenzustände'' und ''Eigenwerte'' von H<sub>0</sub> seien bekannt: |
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| :<math>{{\hat{H}}_{0}}\left| n \right\rangle ={{E}_{n}}\left| n \right\rangle </math> (ungestörtes Problem) | | :<math>{{\hat{H}}_{0}}\left| n \right\rangle ={{E}_{n}}\left| n \right\rangle </math> (ungestörtes Problem) |
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| Dabei gilt natürlich weiterhin die Orthonormierung und Vollständigkeit des Basissystems: | | Dabei gilt natürlich weiterhin die ''Orthonormierung'' und ''Vollständigkeit'' des Basissystems: |
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| :<math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| <u>Annahme</u>: diskretes Spektrum | | <u>Annahme</u>: diskretes Spektrum |
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| Die Entwicklung von <math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math> | | Die Entwicklung von <math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math> nach den Eigenzuständen des ungestörten Systems liefert: |
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| nach den Eigenzuständen des ungestörten Systems liefert: | |
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| :<math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Die Anfangsbedingung sei ein noch ungestörter Zustand | | Die Anfangsbedingung sei ein noch ungestörter Zustand <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>: |
| :<math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
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| <math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t=0}}=\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math> | | :<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t=0}}=\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math> |
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| Damit: | | Damit: |
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| :<math>\left\langle n \right|\left| {{n}_{0}} \right\rangle :={{c}_{n}}(0)={{\delta }_{n{{n}_{0}}}}</math> | | :<math>\left\langle n \right|\left| {{n}_{0}} \right\rangle :={{c}_{n}}(0)={{\delta }_{n{{n}_{0}}}}</math> |
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| Die Zeitentwicklung unter dem Einfluss der Störung lautet ( Einsetzen von<math>\begin{align} | | Die Zeitentwicklung unter dem Einfluss der Störung lautet (Einsetzen von |
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| :& \sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left| n \right\rangle \\ | | :<math>\begin{align} |
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| | & \sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left| n \right\rangle \\ |
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| & \left\langle n \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}:={{c}_{n}}(t) \\ | | & \left\langle n \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}:={{c}_{n}}(t) \\ |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| in die Schrödingergleichung: : | | in die Schrödingergleichung: |
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| :<math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| Charakteristisch für diese entwickelten Probleme ist das Auftreten der Summe, wie hier zu sehen. Diese kann man beseitigen, indem von links mit einem zweiten Zustand "herausprojiziert" wird): | | Charakteristisch für diese entwickelten Probleme ist das Auftreten der Summe, wie hier zu sehen. Diese kann man beseitigen, indem von links mit einem zweiten Zustand "herausprojiziert" wird): |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & i\hbar \sum\limits_{n}{{}}\frac{d}{dt}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right|\left| n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right|\left( {{{\hat{H}}}_{0}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left| n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right|\left( {{E}_{n}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left| n \right\rangle \\ | | & i\hbar \sum\limits_{n}{{}}\frac{d}{dt}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right|\left| n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right|\left( {{{\hat{H}}}_{0}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left| n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right|\left( {{E}_{n}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left| n \right\rangle \\ |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Hilfreich ist die Definition eines | | Hilfreich ist die Definition eines <math>{{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}{{g}_{n}}(t)</math> mit Hilfe der Eigenwerte des Zeitentwicklungsoperators für die ungestörten Zustände: |
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| <math>{{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}{{g}_{n}}(t)</math>
| | :<math>{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}</math> |
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| mit Hilfe der Eigenwerte des Zeitentwicklungsoperators für die ungestörten Zustände:
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| <math>{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}</math> | |
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| Man schreibt also eine Zeitentwicklung für die Entwicklungskoeffizienten auf ! | | Man schreibt also eine Zeitentwicklung für die Entwicklungskoeffizienten auf ! |
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| Somit kann die Differenzialgleichung für die Entwicklungskoeffizienten umgeschrieben werden: | | Somit kann die Differenzialgleichung für die Entwicklungskoeffizienten umgeschrieben werden: |
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| <math>i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle </math> | | :<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle </math> |
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| mit
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| <math>i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{m}}t}{\hbar } \right)}}i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)</math> | | mit <math>i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{m}}t}{\hbar } \right)}}i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)</math> |
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| Setzt man dies ein, so folgt: | | Setzt man dies ein, so folgt: |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & {{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{m}}t}{\hbar } \right)}}i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle \\ | | & {{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{m}}t}{\hbar } \right)}}i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle \\ |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| und wegen | | und wegen <math>{{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}{{g}_{n}}(t)</math> also: |
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| <math>{{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}{{g}_{n}}(t)</math> | |
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| also: | |
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| <math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle {{g}_{n}}(t)</math> | | :<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle {{g}_{n}}(t)</math> |
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| Die eigentliche Störungsrechnung kommt erst jetzt: | | Die eigentliche Störungsrechnung kommt erst jetzt: |
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Zeitabhängige Störungsrechnung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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(Dirac)
Es soll die zeitliche Entwicklung eines Zustandes aus der Schrödingergleichung
berechnet werden, wobei
durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.
Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters linear entwickelt werden kann:
(dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein!)
Die Eigenzustände und Eigenwerte von H0 seien bekannt:
- (ungestörtes Problem)
Dabei gilt natürlich weiterhin die Orthonormierung und Vollständigkeit des Basissystems:
Annahme: diskretes Spektrum
Die Entwicklung von nach den Eigenzuständen des ungestörten Systems liefert:
Die Anfangsbedingung sei ein noch ungestörter Zustand :
Damit:
Die Zeitentwicklung unter dem Einfluss der Störung lautet (Einsetzen von
in die Schrödingergleichung:
Charakteristisch für diese entwickelten Probleme ist das Auftreten der Summe, wie hier zu sehen. Diese kann man beseitigen, indem von links mit einem zweiten Zustand "herausprojiziert" wird):
Hilfreich ist die Definition eines mit Hilfe der Eigenwerte des Zeitentwicklungsoperators für die ungestörten Zustände:
Man schreibt also eine Zeitentwicklung für die Entwicklungskoeffizienten auf !
Somit kann die Differenzialgleichung für die Entwicklungskoeffizienten umgeschrieben werden:
mit
Setzt man dies ein, so folgt:
und wegen also:
Die eigentliche Störungsrechnung kommt erst jetzt:
Wir machen eine Sörungsentwicklung für kleines :
( dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein !)
Man motiviert dass bei kleinen Potenzialstörungen höhere Ordnungen von
polynomial in
fallen, was für die Entwicklungskoeffizienten bedeutet:
Merke: Der entscheidende Schritt der zeitabhängigen Störungsrechnung ist hier: die Taylorentwicklung der Entwicklungskoeffizienten, in denen der Zustand entwickelt wurde.
Dabei gilt:
Da aber die Differenzialgleichung für unsere
ebenso beidseitig entwickelt werden kann:
und dies für beliebige
gilt, kann an der Gleichung ein Koeffizientenvergleich in der Ordnung
durchgeführt werden und es folgt: :
Exakte Lösung für
Für k=1
Dabei wurde
bereits beidseitig gekürzt.
Beim Vergleich der Ordnungen von
muss man aufpassen.
Links ist die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten gleich der Ordnung von
. Rechts dagegen hat man eine Ordnung von
, die noch um eines größer ist als die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten, da ja noch
. Also hat man formal in erster Ordnung von
Wir wissen:
Somit:
also:
und mit der Anfangsbedingung
kann formal integriert werden:
Übergangswahrscheinlichkeit
Per Definition die Wahrscheinlichkeit, zur Zeit t den Zustand
zu finden, wenn zu t=0 der Zustand
vorliegt.
Als Näherung wird nur die niedrigste, nichtverschwindende Ordnung betrachtet:
für n=n0
und
für
Zeitunabhängige Störung:
Die Größe
heißt Übergangsfrequenz. Und bezieht sich auf den Übergang von
auf
Für die Darstellung der Übergangswahrscheinlichkeit um die optimale Energie gilt ( grafisch):
Also:
Grafisch
Für
Energieerhaltung:
Für
hat
die Breite
Damit folgt die Energie- Zeit Unschärferelation:
Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ( von
auf
):
Mit dem Übergangsmatrixelement
und einer quadratischen Sinc- Funktion,
( siehe obige Definitionen) die die Übergangswahrscheinlichkeit auf absorbierte Quanten mit einer Energie
beschränkt, so lange deren Abweichung von
noch der Unschärfe genügt ( Die Wahrscheinliochkeit sinkt dann entlang einer Sinc²- Funktion um
ab, für Quantenenergien, die von
verschieden sind. Diese "Distribution" wird für unendlich lange Lebensdauern zur Delta- Funktion !
Dies ist Fermis Goldene Regel, abgeleitet aus der Störungstheorie 1. Ordnung.
Dabei gilt:
Harmonische zeitabhängige Störung
hermitesch !
Es folgt:
Somit folgt für die Übergangswahrscheinlichkeit von
auf
Weiter gilt
Für
sind diese Terme jedoch rein oszillierend. Für
sind diese jedoch vernachlässigbar gegen Terme
Somit folgt für
Für Zeit gegen unendlich kann man dann leicht die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen
und
pro Zeiteinheit, durch Ableitung nach der Zeit erhalten:
Die Terme lassen sich identifizieren:
steht für die Absorption eines Quants der Energie
bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von
auf
, was einem Energiesprung von
entspricht.
Das Quant wird also von Niveau
auf
gehievt
steht für die Emission eines Quants der Energie
bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von
auf
, was einer Energieabgabe von
entspricht.
Das Quant fällt dabei vom diesmal höheren Niveau
auf das Niveau
herunter.
Zusammenhang mit dem Wechselwirkungsbild
Für t=0 stimmen Schrödinger- und Wechselwirkungsbild überein ( Siehe oben, S. 63)
Im Wechselwirkungsbild gilt:
Im Wechselwirkungsbild wird die Zeitentwicklung der Operatoren mit
gewonnen, während die Zustände mit
evolutionieren:
Die formale Integration führt auf eine Integralgleichung:
Für kleine
liefert eine Iteration:
Mit
und
Zeitentwicklungsoperator im Schrödingerbild
Übergangsamplitude im Schrödinger- Bild:
In Übereinstimmung mit unserem Ergebnis von Seite 113 !