Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung	Näherungsmethoden
	Zeitabhängige Störungsrechnung Induzierte Emission und Absorption von Lichtquanten in Atomen Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung Zeitunabhängige Störungsrechnung bei Entartung Stark Effekt im H- Atom Homöopolare chemische Bindung des Wasserstoffmoleküls Variationsverfahren	Schrödingsche Wellenmechanik Formalisierung der Quantenmechanik Drehimpuls Spin und Systeme identischer Teilchen Näherungsmethoden Streutheorie Relativistische Quntenmechanik

(Schrödinger)

Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:

${\hat {H}}\left|\Psi \right\rangle =E\left|\Psi \right\rangle$

muss berechnet werden, wobei

${\hat {H}}={{\hat {H}}_{0}}+{{\hat {H}}^{1}}$

durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.

Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters $\varepsilon$

linear entwickelt werden kann:

${{\hat {H}}_{1}}=\varepsilon {\hat {V}}$

(dabei soll die Störung zeitunabhängig sein!)

Das ungestörte Problem schreibt sich:

${{\hat {H}}_{0}}\left|n\right\rangle ={{E}_{n}}^{(0)}\left|n\right\rangle$

Für kleine $\varepsilon$

sollten sich Eigenwerte und Eigenzustände von ${\hat {H}}$

entwickeln lassen:

${\begin{aligned}&{{E}_{k}}={{E}_{k}}^{(0)}+\varepsilon {{E}_{k}}^{(1)}+{{\varepsilon }^{2}}{{E}_{k}}^{(2)}+...\\&\left|{{\Psi }_{k}}\right\rangle =\left|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle +\varepsilon \left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle +{{\varepsilon }^{2}}\left|{{\Psi }_{k}}^{(2)}\right\rangle +...\\\end{aligned}}$

Merke: Die Eigenzustände und die Energieeigenwerte sollten sich entwickeln lassen!

Also:

$\left({{\hat {H}}_{0}}+\varepsilon {\hat {V}}\right)\left(\left|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle +\varepsilon \left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle +{{\varepsilon }^{2}}\left|{{\Psi }_{k}}^{(2)}\right\rangle +..\right)=\left({{E}_{k}}^{(0)}+\varepsilon {{E}_{k}}^{(1)}+{{\varepsilon }^{2}}{{E}_{k}}^{(2)}+..\right)\left(\left|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle +\varepsilon \left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle +..\right)$

Die Koeffizienten lassen sich dann in der Ordnung ${{\varepsilon }^{f}}$

vergleichen:

f=0

${{\hat {H}}_{0}}\left|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle ={{E}_{k}}^{(0)}\left|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle$

ungestörtes Problem

f=1

$\left({{\hat {H}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)}\right)\left(\left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle \right)=\left({{E}_{k}}^{(1)}-{\hat {V}}\right)\left|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle$

1. Näherung

f=2

$\left({{\hat {H}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)}\right)\left|{{\Psi }_{k}}^{(2)}\right\rangle =\left({{E}_{k}}^{(1)}-{\hat {V}}\right)\left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle +{{E}_{k}}^{(2)}\left|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle$

... → Rekursionsformeln

Die Bestimmung der Energieeigenwerte und Eigenzustände kann erfolgen....

Aus f=0: $\left|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle =\left|k\right\rangle$

Aus f=1: Störungsrechnung erster Ordnung möglich:

Wir entwickeln nach der ungestörten Basis $\left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle =\sum \limits _{n}{}\left|n\right\rangle \left\langle n|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle$

und setzen dies in $\left({{\hat {H}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)}\right)\left(\left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle \right)=\left({{E}_{k}}^{(1)}-{\hat {V}}\right)\left|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle$

ein:

${\begin{aligned}&\sum \limits _{n}{}\left({{\hat {H}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)}\right)\left|n\right\rangle \left\langle n|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle =\left({{E}_{k}}^{(1)}-{\hat {V}}\right)\left|k\right\rangle \\&\left({{\hat {H}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)}\right)\left|n\right\rangle =\left({{E}_{n}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)}\right)\left|n\right\rangle \\\end{aligned}}$

Skalarprodukt mit $\left\langle l\right|\to \left\langle l|n\right\rangle ={{\delta }_{\ln }}$

"projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand (seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes) heraus:

$\left({{E}_{l}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)}\right)\left\langle l|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle =\left({{E}_{k}}^{(1)}-{\hat {V}}\right){{\delta }_{lk}}-\left\langle l\right|{\hat {V}}\left|k\right\rangle$

Somit haben wir für l=k

die erste Korrektur zum Energieeigenwert gefunden:

${{E}_{k}}^{(1)}=\left\langle k\right|{\hat {V}}\left|k\right\rangle$

und für $l\neq k$

ergibt sich die 1. Korrektur zum Eigenvektor:

$\left\langle l|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle ={\frac {\left\langle l\right|{\hat {V}}\left|k\right\rangle }{{{E}_{k}}^{(0)}-{{E}_{l}}^{(0)}}}$

$\left\langle k|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle$

wird durch Normierung festgelegt:

${\begin{aligned}&1=!=\left\langle {{\Psi }_{k}}|{{\Psi }_{k}}\right\rangle =\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)}|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle +\varepsilon \left(\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)}|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle +\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)}|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle \right)+{{\varepsilon }^{2}}(....\\&\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)}|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle =1\\\end{aligned}}$

Da die Summe rechts aber für beliebige Epsilon Null werden muss folgt:

${\begin{aligned}&\left(\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)}|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle +\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)}|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle \right)=0\\&(....=0\\\end{aligned}}$

usw.. für jede Klammer nach einer bestimmten, festen Ordnung von $\varepsilon$

Also für die erste Ordnung:

${\begin{aligned}&\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)}|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle =-\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)}|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle \\&\left\langle k|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle =-\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)}|k\right\rangle \equiv -\left\langle k\right|{{\left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle }^{*}}\\\end{aligned}}$

Fazit:

$\left\langle k|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle =i\gamma$

mit $\gamma \in R$

Wegen

${{e}^{i\varepsilon \gamma }}\approx 1+i\varepsilon \gamma +O({{\varepsilon }^{2}})$

ändert der Term ${\tilde {\ }}\gamma$

die Phase von $\left|{{\Psi }_{k}}\right\rangle$

relativ zu $\left|k\right\rangle$

in der Entwicklung $\left|{{\Psi }_{k}}\right\rangle =\left|k\right\rangle \left(1+i\varepsilon \gamma \right)+\varepsilon \sum \limits _{n\neq k}{}\left|n\right\rangle \left\langle n|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle +O({{\varepsilon }^{2}})$ .

Die Festlegung erfolgt durch die Forderung :

${\begin{aligned}&\left\langle k|{{\Psi }_{k}}\right\rangle =1\\&\Rightarrow \gamma =0\\\end{aligned}}$

Im entartungsfreien Fall (keine Entartung) folgt dann:

$\left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle =\sum \limits _{n\neq k}{}\left|n\right\rangle {\frac {\left\langle n\right|{\hat {V}}\left|k\right\rangle }{{{E}_{k}}^{(0)}-{{E}_{n}}^{(0)}}}$

Voraussetzung: ${{E}_{k}}^{(0)}\neq {{E}_{n}}^{(0)}$

(keine Entartung)