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| <noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|3}}</noinclude> | | <noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|3}}</noinclude> |
| ( Schrödinger) | | (Schrödinger) |
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| Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung: | | Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung: |
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| :<math>{{\hat{H}}_{1}}=\varepsilon \hat{V}</math> | | :<math>{{\hat{H}}_{1}}=\varepsilon \hat{V}</math> |
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| ( dabei soll die Störung zeitunabhängig sein !) | | (dabei soll die Störung zeitunabhängig sein!) |
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| Das ungestörte Problem schreibt sich: | | Das ungestörte Problem schreibt sich: |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Merke: Die Eigenzustände und die Energieeigenwerte sollten sich entwickeln lassen ! | | Merke: Die Eigenzustände und die Energieeigenwerte sollten sich entwickeln lassen! |
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| Also: | | Also: |
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| Skalarprodukt mit <math>\left\langle l \right|\to \left\langle l | n \right\rangle ={{\delta }_{\ln }}</math> | | Skalarprodukt mit <math>\left\langle l \right|\to \left\langle l | n \right\rangle ={{\delta }_{\ln }}</math> |
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| "projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand ( seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes ) heraus: | | "projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand (seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes) heraus: |
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| :<math>\left( {{E}_{l}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\langle l | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right){{\delta }_{lk}}-\left\langle l \right|\hat{V}\left| k \right\rangle </math> | | :<math>\left( {{E}_{l}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\langle l | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right){{\delta }_{lk}}-\left\langle l \right|\hat{V}\left| k \right\rangle </math> |
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| in der Entwicklung <math>\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left| k \right\rangle \left( 1+i\varepsilon \gamma \right)+\varepsilon \sum\limits_{n\ne k}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +O({{\varepsilon }^{2}})</math> | | in der Entwicklung <math>\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left| k \right\rangle \left( 1+i\varepsilon \gamma \right)+\varepsilon \sum\limits_{n\ne k}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +O({{\varepsilon }^{2}})</math> |
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| Die Festlegung erfolgt durch die Forderung : | | Die Festlegung erfolgt durch die Forderung : |
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
(Schrödinger)
Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:
muss berechnet werden, wobei
durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.
Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters
linear entwickelt werden kann:
(dabei soll die Störung zeitunabhängig sein!)
Das ungestörte Problem schreibt sich:
Für kleine
sollten sich Eigenwerte und Eigenzustände von
entwickeln lassen:
Merke: Die Eigenzustände und die Energieeigenwerte sollten sich entwickeln lassen!
Also:
Die Koeffizienten lassen sich dann in der Ordnung
vergleichen:
f=0
ungestörtes Problem
f=1
1. Näherung
f=2
... → Rekursionsformeln
Die Bestimmung der Energieeigenwerte und Eigenzustände kann erfolgen....
Aus f=0:
Aus f=1: Störungsrechnung erster Ordnung möglich:
Wir entwickeln nach der ungestörten Basis
und setzen dies in
ein:
Skalarprodukt mit
"projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand (seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes) heraus:
Somit haben wir für l=k
die erste Korrektur zum Energieeigenwert gefunden:
und für
ergibt sich die 1. Korrektur zum Eigenvektor:
wird durch Normierung festgelegt:
Da die Summe rechts aber für beliebige Epsilon Null werden muss folgt:
usw.. für jede Klammer nach einer bestimmten, festen Ordnung von
Also für die erste Ordnung:
Fazit:
mit
Wegen
ändert der Term
die Phase von
relativ zu
in der Entwicklung
.
Die Festlegung erfolgt durch die Forderung :
Im entartungsfreien Fall (keine Entartung) folgt dann:
Voraussetzung:
(keine Entartung)