|
|
Zeile 121: |
Zeile 121: |
|
| |
|
| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
| | | <math>\left\{ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right\}</math> |
| : |(1.42)|RawN=.}} | | : |(1.42)|RawN=.}} |
|
| |
|
|
| |
|
| Es gilt weiterhin <font color="#FFFF00">(AUFGABE)</FONT>, beachte | | Es gilt weiterhin <font color="#FFFF00">(AUFGABE)</FONT>, beachte <math>\underline{p}=\frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\underline{\nabla }</math> und <math>\underline{A}=\underline{A}\left( \underline{x},t \right)</math> |
| | |
| <math>\underline{p}=\frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\underline{\nabla }</math> | |
| | |
| und <math>\underline{A}=\underline{A}\left( \underline{x},t \right)</math> | |
|
| |
|
| {{NumBlk|:| <math>\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)\times \left( \underline{p}-e\underline{A} \right)=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{\left( \underline{\nabla }\times \underline{A} \right)}_{\text{Magnetfeld}}=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{{\underline{B}}}_{\text{Magnetfeld}}</math> |(1.43)|RawN=.}} | | {{NumBlk|:| <math>\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)\times \left( \underline{p}-e\underline{A} \right)=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{\left( \underline{\nabla }\times \underline{A} \right)}_{\text{Magnetfeld}}=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{{\underline{B}}}_{\text{Magnetfeld}}</math> |(1.43)|RawN=.}} |
Zeile 135: |
Zeile 131: |
| Mit (1.43) folgt aus (1.41) die Kopplung von Spin und Magnetfeld | | Mit (1.43) folgt aus (1.41) die Kopplung von Spin und Magnetfeld |
|
| |
|
| {{NumBlk|:|Pauli-Gleichung{{FB|Pauli-Gleichung}} <math>i{{\partial }_{t}}\varphi =\left[ \frac{1}{2m}{{\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)}^{2}}-\underbrace{\frac{e\hbar }{2m}\underline{\sigma }.\underline{B}}_{\text{Pauli-Term}}+e\phi \right]\varphi </math> | | {{NumBlk|:|{{FB|Pauli-Gleichung}} <math>i{{\partial }_{t}}\varphi =\left[ \frac{1}{2m}{{\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)}^{2}}-\underbrace{\frac{e\hbar }{2m}\underline{\sigma }.\underline{B}}_{\text{Pauli-Term}}+e\phi \right]\varphi </math> |
|
| |
|
| |(1.44)|RawN=.}} | | |(1.44)|RawN=.}} |
Version vom 5. September 2010, 23:57 Uhr
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes
Mit (Vektor) Potential haben wir die Dirac-Gleichung als
|
|
|
(1.37)
|
Jetzt erfolgt die Zerlegung , mit den 2er Spinoren
Damit folgt dann
|
|
|
(1.38)
|
Beachte das jetzt überall gilt
Jetzt: Näherung/Annahme das kinetische und potentielle Energie viel kleiner als Ruhemasse ist
|
|
|
(1.39)
|
einsetzen in die Gleichung (1.38) liefert
|
|
|
(1.40)
|
Jetzt folgendes „Theorem“ benutzen
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle \begin{align} & \left( \underline{\sigma }\underline{A} \right)\left( \underline{\sigma }\underline{B} \right)=\underline{A}\underline{B}\underline{\underline{1}}+\mathfrak{i} \underline{\sigma }\left( \underline{A}\times \underline{B} \right) \\ & \text{mit \underline{A}=}\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}} \right)\text{,\underline{B}=}\left( {{B}_{1}},{{B}_{2}},{{B}_{3}} \right),\underline{A},\underline{B}\text{ vektorwertiger Operator und} \\ & \underline{\sigma }\text{=}\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{1}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{2}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{3}} \right)\text{ Vektor der Pauli-Matrizen} \\ \end{align}}
|
|
|
(1.41)
|
Beweis von (1.41) mittels (Anti) Kommutator-Eigenschaften
(AUFGABE)
|
|
|
(1.42)
|
Es gilt weiterhin (AUFGABE), beachte und
|
|
|
(1.43)
|
Mit (1.43) folgt aus (1.41) die Kopplung von Spin und Magnetfeld
Pauli-Gleichung
|
|
|
(1.44)
|
mit dem 2-Komponentigen Spinor
Literatur
LITERATUR: GREINER