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| & \left( \underline{\sigma }\underline{A} \right)\left( \underline{\sigma }\underline{B} \right)=\underline{A}\underline{B}\underline{\underline{1}}+\mathfrak{i} \underline{\sigma }\left( \underline{A}\times \underline{B} \right) \\ | | & \left( \underline{\sigma }\underline{A} \right)\left( \underline{\sigma }\underline{B} \right)=\underline{A}\underline{B}\underline{\underline{1}}+\mathfrak{i} \underline{\sigma }\left( \underline{A}\times \underline{B} \right) \\ |
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| & \text{mit \underline{A}=}\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}} \right)\text{,\underline{B}=}\left( {{B}_{1}},{{B}_{2}},{{B}_{3}} \right),\underline{A},\underline{B}\text{ vektorwertiger Operator und} \\ | | & \text{mit} \underline{A}=\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}} \right)\text{,\underline{B}=}\left( {{B}_{1}},{{B}_{2}},{{B}_{3}} \right),\underline{A},\underline{B}\text{ vektorwertiger Operator und} \\ |
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| & \underline{\sigma }\text{=}\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{1}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{2}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{3}} \right)\text{ Vektor der Pauli-Matrizen} \\ | | & \underline{\sigma }\text{=}\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{1}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{2}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{3}} \right)\text{ Vektor der Pauli-Matrizen} \\ |
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| & \left[ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right]:={{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}-{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}=2\mathfrak{i} {{\varepsilon }_{ijk}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{k}} \\ | | & \left[ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right]:={{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}-{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}=2\mathfrak{i} {{\varepsilon }_{ijk}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{k}} \\ |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math>|(1.42)|RawN=.}} |
| <math>\left\{ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right\}</math>
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| : |(1.42)|RawN=.}}
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Version vom 5. September 2010, 23:59 Uhr
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes
Mit (Vektor) Potential haben wir die Dirac-Gleichung als
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(1.37)
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Jetzt erfolgt die Zerlegung , mit den 2er Spinoren
Damit folgt dann
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(1.38)
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Beachte das jetzt überall gilt
Jetzt: Näherung/Annahme das kinetische und potentielle Energie viel kleiner als Ruhemasse ist
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(1.39)
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einsetzen in die Gleichung (1.38) liefert
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(1.40)
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Jetzt folgendes „Theorem“ benutzen
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle \begin{align} & \left( \underline{\sigma }\underline{A} \right)\left( \underline{\sigma }\underline{B} \right)=\underline{A}\underline{B}\underline{\underline{1}}+\mathfrak{i} \underline{\sigma }\left( \underline{A}\times \underline{B} \right) \\ & \text{mit} \underline{A}=\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}} \right)\text{,\underline{B}=}\left( {{B}_{1}},{{B}_{2}},{{B}_{3}} \right),\underline{A},\underline{B}\text{ vektorwertiger Operator und} \\ & \underline{\sigma }\text{=}\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{1}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{2}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{3}} \right)\text{ Vektor der Pauli-Matrizen} \\ \end{align}}
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(1.41)
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Beweis von (1.41) mittels (Anti) Kommutator-Eigenschaften
(AUFGABE)
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(1.42)
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Es gilt weiterhin (AUFGABE), beachte und
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(1.43)
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Mit (1.43) folgt aus (1.41) die Kopplung von Spin und Magnetfeld
Pauli-Gleichung
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(1.44)
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mit dem 2-Komponentigen Spinor
Literatur
LITERATUR: GREINER