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| <math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \underline{\alpha }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)+\beta m+e\phi \right)\Psi ,\quad \hbar =c=1</math> | | :<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \underline{\alpha }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)+\beta m+e\phi \right)\Psi ,\quad \hbar =c=1</math> |
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| : |(1.37)|RawN=.}} | | : |(1.37)|RawN=.}} |
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| \end{align} \right){{e}^{\frac{-\mathfrak{i} m{{c}^{2}}t}{\hbar }}}</math>, mit den 2er Spinoren | | \end{align} \right){{e}^{\frac{-\mathfrak{i} m{{c}^{2}}t}{\hbar }}}</math>, mit den 2er Spinoren |
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| <math>\varphi =\left( \begin{align} | | :<math>\varphi =\left( \begin{align} |
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| & {{\varphi }_{1}} \\ | | & {{\varphi }_{1}} \\ |
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| <math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\left( \begin{align} | | :<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\left( \begin{align} |
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| & \varphi \\ | | & \varphi \\ |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & mc{{\chi }^{2}}\gg \left| i\hbar {{\partial }_{t}}\chi \right|,\quad mc{{\chi }^{2}}\gg \left| e\phi \varphi \right| \\ | | & mc{{\chi }^{2}}\gg \left| i\hbar {{\partial }_{t}}\chi \right|,\quad mc{{\chi }^{2}}\gg \left| e\phi \varphi \right| \\ |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| \left( \underline{\sigma }\underline{A} \right)\left( \underline{\sigma }\underline{B} \right)=\underline{A}\underline{B}\underline{\underline{1}}+\mathfrak{i} \underline{\sigma }\left( \underline{A}\times \underline{B} \right) \\ | | \left( \underline{\sigma }\underline{A} \right)\left( \underline{\sigma }\underline{B} \right)=\underline{A}\underline{B}\underline{\underline{1}}+\mathfrak{i} \underline{\sigma }\left( \underline{A}\times \underline{B} \right) \\ |
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| : |(1.41)|RawN=.}} | | : |(1.41)|RawN=.}} |
| mit | | mit |
| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
| \underline{A}=\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}} \right),\underline{B}=\left( {{B}_{1}},{{B}_{2}},{{B}_{3}} \right),\underline{A},\underline{B} | | \underline{A}=\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}} \right),\underline{B}=\left( {{B}_{1}},{{B}_{2}},{{B}_{3}} \right),\underline{A},\underline{B} |
| \text{ vektorwertiger Operator und} \\ | | \text{ vektorwertiger Operator und} \\ |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & \left\{ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right\}:={{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}+{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\underline{\underline{1}} \\ | | & \left\{ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right\}:={{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}+{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\underline{\underline{1}} \\ |
Version vom 12. September 2010, 16:37 Uhr
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes
Mit (Vektor) Potential haben wir die Dirac-Gleichung als
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(1.37)
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Jetzt erfolgt die Zerlegung , mit den 2er Spinoren
Damit folgt dann
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(1.38)
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Beachte das jetzt überall gilt
Jetzt: Näherung/Annahme das kinetische und potentielle Energie viel kleiner als Ruhemasse ist
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(1.39)
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einsetzen in die Gleichung (1.38) liefert
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(1.40)
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Jetzt folgendes „Theorem“ benutzen
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(1.41)
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mit
Beweis von (1.41) mittels (Anti) Kommutator-Eigenschaften
(AUFGABE)
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(1.42)
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Es gilt weiterhin (AUFGABE), beachte und
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(1.43)
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Mit (1.43) folgt aus (1.41) die Kopplung von Spin und Magnetfeld
Pauli-Gleichung
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(1.44)
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mit dem 2-Komponentigen Spinor
Literatur
LITERATUR: GREINER