Klein Gordon im (Vektor)Potential, Eichinvarianz: Unterschied zwischen den Versionen
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===Klein Gordon im (Vektor)Potential, Eichinvarianz=== | ===Klein Gordon im (Vektor)Potential, Eichinvarianz=== | ||
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\text{Magnetfeld}\quad \underline{B}&=\underline{\nabla }\times \underline{A} \\ | |||
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* Klassische Mechanik: <u>E</u> und <u>B</u> in {{FB|Hamiltonfunktion|elektrisches Feld}} eines Teilchens mit Masse ''m'', Ladung ''e'' „einbauen“ durch | |||
* Klassische Mechanik: <u>E</u> und <u>B</u> in | |||
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aus den | :aus den {{FB|Hamilton-Gleichungen|klassische Mechanik}} <math>\underline{\dot{r}}={{\partial }_{{\underline{p}}}}H\quad \underline{\dot{p}}=-{{\partial }_{{\underline{r}}}}H</math> folgt <font color="#3399FF">'''''(AUFGABE)'''''</FONT> | ||
: <math>m\ddot{\underline{r}}=e\left( \dot{\underline{r}}\times \underline{B}+\underline{E}\, \right)</math> | : <math>m\ddot{\underline{r}}=e\left( \dot{\underline{r}}\times \underline{B}+\underline{E}\, \right)</math> | ||
d.h. die Newton‘schen Bewegungsgleichungen mit der Lorentzkraft sind ‚manifest invariant‘, da nur <u>E</u> und <u>B</u> in ihr auftreten, d.h. die Bahn <math>\left( \dot{\underline{r}},\underline{r} \right)</math>im Phasenraum nicht von <math>\chi </math> vgl. (1.17) abhängt. | :d.h. die Newton‘schen Bewegungsgleichungen mit der Lorentzkraft sind ‚manifest invariant‘, da nur <u>E</u> und <u>B</u> in ihr auftreten, d.h. die Bahn <math>\left( \dot{\underline{r}},\underline{r} \right)</math>im Phasenraum nicht von <math>\chi </math> vgl. (1.17) abhängt. | ||
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* | *** Schritt 1: Starte von freier Schrödingergleichung <math>\mathfrak{i} \hbar {{\partial }_{t}}\Psi =\frac{{{p}^{2}}}{2m}\Psi </math> | ||
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* | :::Erwartungswerte sind invariant unter globalen Eichtransformationen | ||
Erwartungswerte sind invariant unter globalen Eichtransformationen | {{NumBlk|:| | ||
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<math>\int{{{\Psi }^{*}}\left( \underline{x},t \right)\hat{O}\left( \underline{x},\underline{\nabla },{{\partial }_{t}} \right)\Psi \left( \underline{x},t \right){{d}^{d}}x}= | <math>\int{{{\Psi }^{*}}\left( \underline{x},t \right)\hat{O}\left( \underline{x},\underline{\nabla },{{\partial }_{t}} \right)\Psi \left( \underline{x},t \right){{d}^{d}}x}=\text{invariant}</math> | ||
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nichts an der Phase ändern, dass heißt mit Ψ ist auch <math>\Psi {{e}^{i\varphi \left( \underline{x},t \right)}}</math> eine Lösung der Schrödingergleichung und ergibt dieselben Eigenwerte. | nichts an der Phase ändern, dass heißt mit Ψ ist auch <math>\Psi {{e}^{i\varphi \left( \underline{x},t \right)}}</math> eine Lösung der Schrödingergleichung und ergibt dieselben Eigenwerte. | ||
===Lösung=== | |||
Lösung: In (1.20) machen <math>\underline{\nabla }</math> und <math>{{\partial }_{t}}</math>in | Lösung: In (1.20) machen <math>\underline{\nabla }</math> und <math>{{\partial }_{t}}</math>in | ||
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was man bräuchte, um die Phase in (1.20) zu eliminieren. | was man bräuchte, um die Phase in (1.20) zu eliminieren. | ||
Idee: ersetze Ableitung <math>\underline{\nabla }</math>durch | Idee: ersetze Ableitung <math>\underline{\nabla }</math>durch „{{FB|kovariante Ableitung}}“ D<ref><math>\underline{D}\Psi </math> für Wellenfunktion ohne extra Phase <math>{{e}^{\mathfrak{i} \varphi }}</math>,<math>{{\underline{D}}_{\varphi }}\Psi {{e}^{\mathfrak{i} \varphi }}</math>für Wellenfunktion mit extra Phase</ref>, so dass | ||
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als <u>Eichfelder.</u> | als <u>Eichfelder.</u> | ||
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. Statt | |||
<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\frac{1}{2m}{{\left( \frac{{\underline{\nabla }}}{\mathfrak{i} } \right)}^{2}}\Psi \to \text{nun }\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi +\alpha \phi \Psi =\frac{1}{2m}{{\left( \frac{{\underline{\nabla }}}{\mathfrak{i} }+\alpha \underline{A} \right)}^{2}}\Psi </math> | :<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\frac{1}{2m}{{\left( \frac{{\underline{\nabla }}}{\mathfrak{i} } \right)}^{2}}\Psi \to \text{nun }\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi +\alpha \phi \Psi =\frac{1}{2m}{{\left( \frac{{\underline{\nabla }}}{\mathfrak{i} }+\alpha \underline{A} \right)}^{2}}\Psi </math> | ||
Die Umbenennung von <math>\alpha \to -e</math>liefert | Die Umbenennung von <math>\alpha \to -e</math>liefert | ||
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* Die „Vorschrift“ <math>\underline{p}\to \underline{p}-e\underline{A}</math> heißt | * Die „Vorschrift“ <math>\underline{p}\to \underline{p}-e\underline{A}</math> heißt {{FB|minimale Kopplung}} | ||
* Durch das Prinzip der lokalen Eichinvarianz haben wir die Potentiale ϕ und <u>A</u> sowie die | * Durch das Prinzip der lokalen Eichinvarianz haben wir die Potentiale ϕ und <u>A</u> sowie die {{FB|Kopplungskonstante}} e quasi „hergeleitet“. | ||
*# Jetzt Klein-Gordon-Gleichung{{FB|Klein-Gordon-Gleichung:elektrisches Feld}} mit ϕ, <u>A</u>: Wieder eichinvariante Ableitungen wie bei Schrödingergleichung | *# Jetzt Klein-Gordon-Gleichung{{FB|Klein-Gordon-Gleichung:elektrisches Feld}} mit ϕ, <u>A</u>: Wieder eichinvariante Ableitungen wie bei Schrödingergleichung | ||
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<u>Anwendung: </u>Klein Gordon Gleichung für Coulomb-Potential: <math>\underline{A}=0,\quad e\phi =-\frac{Z}{\alpha }</math>. Ähnlich wie bei der | <u>Anwendung: </u>Klein Gordon Gleichung für Coulomb-Potential: <math>\underline{A}=0,\quad e\phi =-\frac{Z}{\alpha }</math>. Ähnlich wie bei der{{FB|Schrödingergleichung|Wasserstoffproblem}} für das Wasserstoffproblem haben wir | ||
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Klein Gordon Gleichung beschreibt Spin -0 – Teilchen z.B. π-Mesonen. | Klein Gordon Gleichung beschreibt Spin -0 – Teilchen z.B. π-Mesonen. | ||
Spin ½ | Spin ½ → Dirac Gleichung | ||
<references /> |
Version vom 5. September 2010, 13:55 Uhr
Der Artikel Klein Gordon im (Vektor)Potential, Eichinvarianz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes. |
Klein Gordon im (Vektor)Potential, Eichinvarianz
Die klassische relativistische Dispersionsrelation für freie Teilchen der Masse m ohne äußeres Potential lautet:
(1.15)
- Potential ϕ, Vektorpotential A beschreiben das elektromagnetische Feld der Maxwell-Gleichungen. Wie ädert sich damit (1.15)? Erinnerung:
(1.16)
- E und B ändern sich nicht bei Eichtransformation
(1.17)
mit einer beliebigen skalaren Funktion
- Klassische Mechanik: E und B in Hamiltonfunktion eines Teilchens mit Masse m, Ladung e „einbauen“ durch
(1.18)
- aus den Hamilton-Gleichungen folgt (AUFGABE)
- d.h. die Newton‘schen Bewegungsgleichungen mit der Lorentzkraft sind ‚manifest invariant‘, da nur E und B in ihr auftreten, d.h. die Bahn im Phasenraum nicht von vgl. (1.17) abhängt.
- Quantenmechanik
- Schrödingergleichung durch Korrespondenzprinzip
(1.19)
- (durch Vergleich mit (1.18))
- Schrödingergleichung + Prinzip der lokalen Eichinvarianz (fundamentaler und wesentlich für die QED und QCD etc.)
- Schritt 1: Starte von freier Schrödingergleichung
- Schritt 2: Mit erfüllt auch mit konstant die Schrödingergleichung und beschreibt dieselbe Physik:
- Schrödingergleichung + Prinzip der lokalen Eichinvarianz (fundamentaler und wesentlich für die QED und QCD etc.)
- Erwartungswerte sind invariant unter globalen Eichtransformationen
(1.20)
- Schritt 3: (Prinzip der lokalen Eichinvarianz) ändere die Schrödingergleichung so, dass lokale Eichtransformationen
(1.21)
nichts an der Phase ändern, dass heißt mit Ψ ist auch eine Lösung der Schrödingergleichung und ergibt dieselben Eigenwerte.
Lösung
Lösung: In (1.20) machen und in
Probleme, da z.B.
(1.22)
was man bräuchte, um die Phase in (1.20) zu eliminieren.
Idee: ersetze Ableitung durch „kovariante Ableitung“ D[1], so dass
(1.23)
Mit dem Ansatz und ebenso für die Zeitableitung folgt dann
Die lokale Eichtransformation bewirkt also
(1.24)
Nun liefert der Vergleich mit (1.17)
in der Schrödingergleichung steht also statt nun
und statt
nun mit
als Eichfelder.
Sei. Statt
Die Umbenennung von liefert
(1.25)
Diskussion
- Die „Vorschrift“ heißt minimale Kopplung
- Durch das Prinzip der lokalen Eichinvarianz haben wir die Potentiale ϕ und A sowie die Kopplungskonstante e quasi „hergeleitet“.
- Jetzt Klein-Gordon-GleichungKlein-Gordon-Gleichung:elektrisches Feld mit ϕ, A: Wieder eichinvariante Ableitungen wie bei Schrödingergleichung
(1.26)
Anwendung: Klein Gordon Gleichung für Coulomb-Potential: . Ähnlich wie bei derSchrödingergleichung für das Wasserstoffproblem haben wir
(1.27)
Lösen durch SeparationsansatzSeparationsansatz
- Radialgleichung für RadialwellenfunktionenRadialwellenfunktionen
- Vergleich mit H-Atom. Schrödingergleichung (AUFGABE) liefert
(1.28)
hier gibt es positive und negative Lösungen
Der 3. Termin in (1.28) ist die relativistische Korrektur zur kinetischen Energie. Spin wird durch Klein-Gordon-Gleichung nicht beschrieben deshalb ist (1.28) nicht geeignet für Feinstruktur des H-Atoms
Klein Gordon Gleichung beschreibt Spin -0 – Teilchen z.B. π-Mesonen.
Spin ½ → Dirac Gleichung
- ↑ für Wellenfunktion ohne extra Phase ,für Wellenfunktion mit extra Phase