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| ===Klein Gordon im (Vektor)Potential, Eichinvarianz=== | | ===Klein Gordon im (Vektor)Potential, Eichinvarianz=== |
| Die klassische relativistische {{FB|Dispersionsrelation|klassisch}} <math>E=E\left( {\underline{p}} \right)</math>für freie Teilchen der Masse m ohne äußeres Potential lautet: | | Die klassische relativistische {{FB|Dispersionsrelation|klassisch}} <math>E=E\left( {\underline{p}} \right)</math> für freie Teilchen der Masse m ohne äußeres Potential lautet: |
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| <math>{{\underline{f}}_{\varphi }}=\mathfrak{i} \alpha \underline{A},\quad \varphi =\alpha \chi ,\quad {{g}_{\varphi }}=-\mathfrak{i} \alpha \varphi ,\quad \alpha \in \mathbb{R}</math> | | <math>{{\underline{f}}_{\varphi }}=\mathfrak{i} \alpha \underline{A},\quad \varphi =\alpha \chi ,\quad {{g}_{\varphi }}=-\mathfrak{i} \alpha \varphi ,\quad \alpha \in \mathbb{R}</math> |
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| in der Schrödingergleichung steht also statt <math>\underline{\nabla }</math>nun | | in der Schrödingergleichung steht also statt <math>\underline{\nabla }</math> nun <math>\underline{\nabla }+\mathfrak{i} \alpha \underline{A}</math> und statt <math>{{\partial }_{t}}</math> nun <math>{{\partial }_{t}}-\mathfrak{i} \alpha \varphi </math> mit <math>{{\underline{f}}_{\varphi }},{{g}_{\varphi }}</math> als <u>Eichfelder.</u> |
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| <math>\underline{\nabla }+\mathfrak{i} \alpha \underline{A}</math> | |
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| und statt | |
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| <math>{{\partial }_{t}}</math> | |
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| nun <math>{{\partial }_{t}}-\mathfrak{i} \alpha \varphi </math> mit | |
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| als <u>Eichfelder.</u> | |
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| Sei<math>\hbar =1</math>. Statt | | Sei<math>\hbar =1</math>. Statt |
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| * Die „Vorschrift“ <math>\underline{p}\to \underline{p}-e\underline{A}</math> heißt {{FB|minimale Kopplung}} | | * Die „Vorschrift“ <math>\underline{p}\to \underline{p}-e\underline{A}</math> heißt {{FB|minimale Kopplung}} |
| * Durch das Prinzip der lokalen Eichinvarianz haben wir die Potentiale ϕ und <u>A</u> sowie die {{FB|Kopplungskonstante}} e quasi „hergeleitet“. | | * Durch das Prinzip der lokalen Eichinvarianz haben wir die Potentiale ϕ und <u>A</u> sowie die {{FB|Kopplungskonstante}} e quasi „hergeleitet“. |
| *# Jetzt Klein-Gordon-Gleichung{{FB|Klein-Gordon-Gleichung:elektrisches Feld}} mit ϕ, <u>A</u>: Wieder eichinvariante Ableitungen wie bei Schrödingergleichung | | ** Jetzt Klein-Gordon-Gleichung{{FB|Klein-Gordon-Gleichung:elektrisches Feld}} mit ϕ, <u>A</u>: Wieder eichinvariante Ableitungen wie bei Schrödingergleichung |
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| : |(1.27)|RawN=.}} | | : |(1.27)|RawN=.}} |
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| Lösen durch Separationsansatz{{FB|Separationsansatz}} | | Lösen durch {{FB|Separationsansatz}} |
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| <math>\Psi \left( r,\theta ,\varphi ;t \right)={{e}^{\mathfrak{i} Et}}\underbrace{{{Y}_{lm}}\left( \theta ,\varphi \right)}_{\text{Kugelfl }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ chenfunktionen}}\frac{\chi \left( r \right)}{x}</math> | | <math>\Psi \left( r,\theta ,\varphi ;t \right)={{e}^{\mathfrak{i} Et}}\underbrace{{{Y}_{lm}}\left( \theta ,\varphi \right)}_{\text{Kugelfl }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ chenfunktionen}}\frac{\chi \left( r \right)}{x}</math> |
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| * Radialgleichung für <u>Radialwellenfunktionen{{FB|Radialwellenfunktionen}}</u> <math>\chi \left( r \right)</math> | | * Radialgleichung für {{FB|Radialwellenfunktionen}}<math>\chi \left( r \right)</math> |
| * Vergleich mit H-Atom. Schrödingergleichung <font color="#FFFF00">'''''(AUFGABE)''''' </font>liefert | | * Vergleich mit H-Atom. Schrödingergleichung <font color="#FFFF00">'''''(AUFGABE)''''' </font>liefert |
| {{NumBlk|:| <math>E=\pm {{m}_{0}}\left( 1-\frac{{{Z}^{2}}{{\alpha }^{2}}}{2{{n}^{2}}}+\frac{{{Z}^{2}}{{\alpha }^{4}}}{{{n}^{4}}}\left[ \frac{3}{8}-\frac{n}{2l+1} \right]+O\left( {{z}^{6}}{{\alpha }^{6}} \right) \right)</math> | | {{NumBlk|:| <math>E=\pm {{m}_{0}}\left( 1-\frac{{{Z}^{2}}{{\alpha }^{2}}}{2{{n}^{2}}}+\frac{{{Z}^{2}}{{\alpha }^{4}}}{{{n}^{4}}}\left[ \frac{3}{8}-\frac{n}{2l+1} \right]+O\left( {{z}^{6}}{{\alpha }^{6}} \right) \right)</math> |
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes
Klein Gordon im (Vektor)Potential, Eichinvarianz
Die klassische relativistische Dispersionsrelation für freie Teilchen der Masse m ohne äußeres Potential lautet:
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(1.15)
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- Potential ϕ, Vektorpotential A beschreiben das elektromagnetische Feld der Maxwell-Gleichungen. Wie ädert sich damit (1.15)? Erinnerung:
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(1.16)
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(1.17)
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mit einer beliebigen skalaren Funktion
- Klassische Mechanik: E und B in Hamiltonfunktion eines Teilchens mit Masse m, Ladung e „einbauen“ durch
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(1.18)
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- aus den Hamilton-Gleichungen folgt (AUFGABE)
- d.h. die Newton‘schen Bewegungsgleichungen mit der Lorentzkraft sind ‚manifest invariant‘, da nur E und B in ihr auftreten, d.h. die Bahn im Phasenraum nicht von vgl. (1.17) abhängt.
- Quantenmechanik
- Schrödingergleichung durch Korrespondenzprinzip
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(1.19)
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- (durch Vergleich mit (1.18))
- Schrödingergleichung + Prinzip der lokalen Eichinvarianz (fundamentaler und wesentlich für die QED und QCD etc.)
- Schritt 1: Starte von freier Schrödingergleichung
- Schritt 2: Mit erfüllt auch mit konstant die Schrödingergleichung und beschreibt dieselbe Physik:
- Erwartungswerte sind invariant unter globalen Eichtransformationen
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(1.20)
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- Schritt 3: (Prinzip der lokalen Eichinvarianz) ändere die Schrödingergleichung so, dass lokale Eichtransformationen
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(1.21)
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nichts an der Phase ändern, dass heißt mit Ψ ist auch eine Lösung der Schrödingergleichung und ergibt dieselben Eigenwerte.
Lösung
Lösung: In (1.20) machen und in
Probleme, da z.B.
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(1.22)
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was man bräuchte, um die Phase in (1.20) zu eliminieren.
Idee: ersetze Ableitung durch „kovariante Ableitung“ D[1], so dass
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(1.23)
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Mit dem Ansatz und ebenso für die Zeitableitung folgt dann
Die lokale Eichtransformation bewirkt also
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(1.24)
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Nun liefert der Vergleich mit (1.17)
in der Schrödingergleichung steht also statt nun und statt nun mit als Eichfelder.
Sei. Statt
Die Umbenennung von liefert
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(1.25)
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Diskussion
- Die „Vorschrift“ heißt minimale Kopplung
- Durch das Prinzip der lokalen Eichinvarianz haben wir die Potentiale ϕ und A sowie die Kopplungskonstante e quasi „hergeleitet“.
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(1.26)
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Anwendung: Klein Gordon Gleichung für Coulomb-Potential: . Ähnlich wie bei derSchrödingergleichung für das Wasserstoffproblem haben wir
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(1.27)
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Lösen durch Separationsansatz
- Radialgleichung für Radialwellenfunktionen
- Vergleich mit H-Atom. Schrödingergleichung (AUFGABE) liefert
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(1.28)
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hier gibt es positive und negative Lösungen
Der 3. Termin in (1.28) ist die relativistische Korrektur zur kinetischen Energie. Spin wird durch Klein-Gordon-Gleichung nicht beschrieben deshalb ist (1.28) nicht geeignet für Feinstruktur des H-Atoms
Klein Gordon Gleichung beschreibt Spin -0 – Teilchen z.B. π-Mesonen.
Spin ½ → Dirac Gleichung
- ↑ für Wellenfunktion ohne extra Phase ,für Wellenfunktion mit extra Phase