Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:
Kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet ! ( Einstein, 1904).
Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich !
- Kugelwellen sind
- -> Lorentz- Invariant, also:
Für Lorentz- Transformationen !
Formalisierung:
Der Raumzeitliche Abstand als
Zwischen 2 Ereignissen bleibt der raumzeitliche Abstand invariant bei Lorentz- Transformationen ! zwischen den Inertialsystemen :
Ziel: Um dies sofort zu sehen führt man Vierervektoren ein.
Dann schreibt man
als Skalarprodukt von Vierervektoren im Minkowski- Raum V und man benutze den Formalismus der linearen orthogonalen Transformation , unter denen das Skalarprodukt invariant bleibt:
In der ko / kontravarianten Schreibweise tritt jeder Vierervektor in 2 möglichen Versionen auf:
kontravariante Komponenten:
als Komponenten des Ortsvektors
kovariante Komponenten
kovarianter Vektor
, dualer Vektorraum zu V !
Merke: Die Räume der kovarianten Vektoren ist dual zur menge der kontravarianten
->
als Raum der linearen Funktionale l:
Damit werden dann die Skalarprodukte gebildet !
Schreibe
Mit: Summenkonvention !
über je einen ko- und einen kontravarianten Index ( hier i =0,1,2,3) wird summiert !
Physikalische Anwendung
Lorentz- Invarianten lassen sich als Skalarprodukt
schreiben !
Beispiel: dÁlemebert- Operator:
Vierergeschwindigkeit
Physikalische Interpretation
Viererimpuls
mit der Ruhemasse m0
Also:
Mit der Energie
Analoge Definition von Tensoren 2. Stufe:
Der metrische Tensor
Mittels der Metrik werden Indices gehoben bzw. gesenkt:
Wichtig fürs Skalarprodukt:
Lorentz- Trafo
zwischen Bezugssystemen: Lineare / homogene Trafo
die Lorentz- Transformation für
Nämlich:
Mit
für
Wesentliche Eigenschaft ( die Viererschreibweise ist so konstruiert worden):
U ist orthogonale Trafo:
Das Skalarprodukt ist invariant, falls U eine orthogonale Trafo ist
Bzw.
Forderung: Skalarprodukt invariant -> U muss orthogonale Trafo sein !
Umkehr- Transformation: