Eichinvarianz und Ladungserhaltung

Aus PhysikWiki

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Eichinvarianz und Ladungserhaltung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 4) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Eichinvarianz und Ladungserhaltung	Relativistische Formulierung der Elektrodynamik	Elektrodynamik Schöll
	Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie Transformationsverhalten der Ströme und Felder Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum Relativistisches Hamiltonprinzip Eichinvarianz und Ladungserhaltung	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Wirkungsintegral:

$W=-{{m}_{0}}c\int_{1}^{2}{{}}ds-\frac{q}{c}\int_{1}^{2}{{}}d{{x}_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}$

Dabei:

${{m}_{0}}c\int_{1}^{2}{{}}ds={{W}_{t}}$

(Teilchen)

$-\frac{q}{c}\int_{1}^{2}{{}}d{{x}_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}={{W}_{tf}}$

(Teilchen- Feld- Wechselwirkung)

Verallgemeinerung auf kontinuierliche Massendichte

$m\left( {{x}^{\mu }} \right)$

Vorsicht: m ist hier Massendichte!!!

$\begin{align} & {{W}_{t}}=-c\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}rm\int_{1}^{2}{{}}ds=-\int_{\Omega }^{{}}{{}}d\Omega m\frac{ds}{dt} \\ & d\Omega :={{d}^{3}}rcdt=d{{x}^{0}}d{{x}^{1}}d{{x}^{2}}d{{x}^{3}} \\ \end{align}$

dOmega als Volumenelement im Minkowski- Raum!!!

Bemerkungen:

$d Ω$
ist eine Lorentz- Invariante, da das Volumen unter orthogonalen Transformationen

${{U}^{\mu }}_{\nu }$

erhalten bleibt.

2) Aus

$d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}=\frac{\mu }{c}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}{{d}^{3}}rcdt;{{d}^{3}}rcdt=d\Omega \Rightarrow d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}=\frac{\mu }{c}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}d\Omega$

folgt, dass die Vierer- Massenstromdichte mit Massendichte m=

$d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}=\frac{\mu }{c}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}{{d}^{3}}rcdt;{{d}^{3}}rcdt=d\Omega \Rightarrow d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}=\frac{\mu }{c}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}d\Omega$

${{m}_{0}}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}\equiv {{g}^{\mu }}$

ein Vier- Vektor ist, da

d m 0, d Ω

Lorentz- Skalare sind und natürlich

d x μ

selbst auch ein Vierervektor

${{\mu }^{2}}\frac{d{{x}^{\mu }}d{{x}_{\mu }}}{{{\left( dt \right)}^{2}}}={{g}^{\mu }}{{g}_{\mu }}={{\left( \mu \frac{ds}{dt} \right)}^{2}}$
ist Lorentz - Invariant.