Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie

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Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 1) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie	Relativistische Formulierung der Elektrodynamik	Elektrodynamik Schöll
	Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie Transformationsverhalten der Ströme und Felder Relativistisches Hamiltonprinzip Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum Eichinvarianz und Ladungserhaltung	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:

Kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet! (Einstein, 1904). Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich!

Kugelwellen sind
→ Lorentz- Invariant, also:
${{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=r{{\acute{\ }}^{2}}-{{c}^{2}}t{{\acute{\ }}^{2}}$

Für Lorentz- Transformationen!

Formalisierung: Der Raumzeitliche Abstand als

${{\left( ds \right)}^{2}}:={{\left( cdt \right)}^{2}}-{{\left( d\bar{r} \right)}^{2}}$

Zwischen 2 Ereignissen bleibt der raumzeitliche Abstand invariant bei Lorentz- Transformationen! zwischen den Inertialsystemen :

$\Sigma \leftrightarrow \Sigma \acute{\ }$

Ziel: Um dies sofort zu sehen führt man Vierervektoren ein. Dann schreibt man

${{\left( ds \right)}^{2}}$

als Skalarprodukt von Vierervektoren im Minkowski- Raum V und man benutze den Formalismus der linearen orthogonalen Transformation, unter denen das Skalarprodukt invariant bleibt:

In der ko / kontravarianten Schreibweise tritt jeder Vierervektor in 2 möglichen Versionen auf:

kontravariante Komponenten:

$\begin{align} & {{x}^{i}} \\ & {{x}^{1}}:=ct \\ & {{x}^{1}},{{x}^{2}},{{x}^{3}} \\ \end{align}$

als Komponenten des Ortsvektors

$\bar{r}$

kovariante Komponenten

$\begin{align} & {{x}_{i}}: \\ & {{x}_{0}}:=ct \\ & {{x}_{\alpha }}=-{{x}^{\alpha }},\alpha =1,2,3 \\ \end{align}$

kovarianter Vektor

$\in \tilde{V}$ ,

dualer Vektorraum zu V!

Merke: Die Räume der kovarianten Vektoren ist dual zur menge der kontravarianten →

$\in \tilde{V}$

als Raum der linearen Funktionale l:

$V\to R$

Damit werden dann die Skalarprodukte gebildet!

Schreibe

${{\left( ds \right)}^{2}}=d{{x}^{0}}d{{x}_{0}}+d{{x}^{1}}d{{x}_{1}}+d{{x}^{2}}d{{x}_{2}}+d{{x}^{3}}d{{x}_{3}}=d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}$

Mit: Summenkonvention! über je einen ko- und einen kontravarianten Index (hier i =0,1,2,3) wird summiert!

Physikalische Anwendung

Lorentz- Invarianten lassen sich als Skalarprodukt

a i a i

schreiben!

Beispiel: dÁlemebert- Operator:

$\#=\Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}=-\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}=-{{\partial }_{i}}{{\partial }^{i}}$

Vierergeschwindigkeit

$\begin{align} & {{u}^{i}}:=\frac{d{{x}^{i}}}{ds}\Rightarrow {{u}^{i}}{{u}_{i}}=\frac{d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}}{{{\left( ds \right)}^{2}}}=1 \\ & mit \\ & ds={{\left( d{{x}^{i}}d{{x}_{i}} \right)}^{\frac{1}{2}}}=c{{\left( 1-{{\beta }^{2}} \right)}^{\frac{1}{2}dt}}=\frac{c}{\gamma }dt \\ & \Rightarrow {{u}^{0}}=\gamma \\ & {{u}^{\alpha }}=\frac{\gamma }{c}{{v}^{\alpha }} \\ & {{v}^{\alpha }}:=\frac{d{{x}^{\alpha }}}{dt} \\ & \beta :=\frac{v}{c} \\ & \gamma :=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} \\ \end{align}$

Physikalische Interpretation

$\begin{align} & {{u}^{\alpha }}=\frac{1}{c}\frac{d{{x}^{\alpha }}}{d\tau } \\ & d\tau =\frac{dt}{\gamma } \\ \end{align}$

Viererimpuls

p i : = m 0 c u i

mit der Ruhemasse m0

Also:

$\begin{align} & {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}{{u}^{i}}{{u}_{i}} \\ & {{u}^{i}}{{u}_{i}}=1 \\ & \Rightarrow {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}} \\ & {{p}^{0}}={{m}_{0}}\gamma c=m(v)c=\frac{E}{c} \\ & {{p}^{\alpha }}={{m}_{0}}\gamma {{v}^{\alpha }}=m(v){{v}^{\alpha }} \\ & {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}{{u}^{i}}{{u}_{i}}\Leftrightarrow {{E}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{{\bar{p}}}^{2}} \\ \end{align}$

Mit der Energie

E = m (v) c 2

Analoge Definition von Tensoren 2. Stufe:

$\begin{align} & {{A}^{ik}},{{A}^{i}}_{k},{{A}_{i}}^{k},{{A}_{ik}} \\ & {{A}^{00}}={{A}^{0}}_{0}={{A}_{0}}^{0}={{A}_{00}} \\ & {{A}^{10}}={{A}^{1}}_{0}=-{{A}_{1}}^{0}=-{{A}_{10}} \\ & {{A}^{11}}=-{{A}^{1}}_{1}=-{{A}_{1}}^{1}={{A}_{11}} \\ \end{align}$

Der metrische Tensor

${{g}^{ik}}:={{\delta }^{ik}}=\left. \left\{ \begin{matrix} {{\delta }^{i}}_{k}\quad k=0 \\ -{{\delta }^{i}}_{k}\quad k=1,2,3 \\ \end{matrix} \right. \right\}={{g}_{ik}}$

${{g}^{ik}}={{g}_{ik}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{matrix} \right)$

Mittels der Metrik werden Indices gehoben bzw. gesenkt:

g i k a k = a i

Wichtig fürs Skalarprodukt:

d s 2 = g i k d x i d x k = g i k d x i d x k

Lorentz- Trafo

zwischen Bezugssystemen: Lineare / homogene Trafo

die Lorentz- Transformation für

$\begin{align} & \left( {{x}^{0}}\begin{matrix}, & {{x}^{1}}, & {{x}^{2}}, & {{x}^{3}} \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} ct, & x, & y, & z \\ \end{matrix} \right) \\ & d{{s}^{2}}={{c}^{2}}d{{t}^{2}}-d{{x}^{2}}-d{{y}^{2}}-d{{z}^{2}} \\ \end{align}$

Nämlich:

$\begin{align} & \left( \begin{matrix} {{x}_{0}}\acute{\ } \\ {{x}_{1}}\acute{\ } \\ {{x}_{2}}\acute{\ } \\ {{x}_{3}}\acute{\ } \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\ \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} {{x}_{0}} \\ {{x}_{1}} \\ {{x}_{2}} \\ {{x}_{3}} \\ \end{matrix} \right) \\ & x{{\acute{\ }}^{i}}={{U}^{i}}_{k}{{x}^{k}} \\ \end{align}$

Mit

${{U}^{i}}_{k}=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\ \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

für

v | | x 1

Wesentliche Eigenschaft (die Viererschreibweise ist so konstruiert worden):

U ist orthogonale Trafo:

$\begin{align} & {{U}^{i}}_{k}{{U}_{i}}^{l}=\delta _{k}^{l} \\ & \Rightarrow a{{\acute{\ }}^{i}}b{{\acute{\ }}_{i}}={{U}^{i}}_{k}{{U}_{i}}^{l}{{a}^{k}}{{b}_{l}}={{a}^{k}}{{b}_{k}} \\ \end{align}$

Das Skalarprodukt ist invariant, falls U eine orthogonale Trafo ist Bzw. Forderung: Skalarprodukt invariant → U muss orthogonale Trafo sein!

Umkehr- Transformation:

${{x}^{i}}={{U}_{k}}^{i}x{{\acute{\ }}^{k}}$

Fakten zu Ko- und Kontravariante Schreibweise der RelativitätstheorieRDF-Feed

Abschnitt	1 +
Inhaltstyp	Script +
Kapitel	6 +
Urheber	Prof. Dr. E. Schöll, PhD +

Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie

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