Transformationsverhalten der Ströme und Felder

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Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Transformationsverhalten der Ströme und Felder basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 2) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Transformationsverhalten der Ströme und Felder	Relativistische Formulierung der Elektrodynamik	Elektrodynamik Schöll
	Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie Transformationsverhalten der Ströme und Felder Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum Relativistisches Hamiltonprinzip Eichinvarianz und Ladungserhaltung	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Ziel: Ko- / Kontravariante Schreibweise der Elektrodynamik im Vakuum

Grund: Die klassische Elektrodynamik ist bereits eine Lorentz- invariante Theorie!!

Historisch gab die Maxwellsche Elektrodynamik und nicht die Mechanik den Anstoß zur Relativitätstheorie überhaupt!

Ladungserhaltung aus Kontinuitätsgleichung:

$\begin{align} & div\bar{j}+\frac{\partial \rho }{\partial t}=\frac{\partial {{j}_{x}}}{\partial x}+\frac{\partial {{j}_{y}}}{\partial y}+\frac{\partial {{j}_{z}}}{\partial z}+\frac{\partial c\rho }{\partial ct}=0 \\ & 0=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum\limits_{\alpha =1}^{3}{{}}{{\partial }_{\alpha }}{{j}^{\alpha }} \\ \end{align}$

Somit gewinnen wir aber ebenfalls wieder einen Lorentz- Skalar, nämlich

${{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0$

in Viererschreibweise. Die Vierer- Stromdichte ist

$\left\{ {{j}^{\mu }} \right\}=\left\{ c\rho ,\bar{j} \right\}$

ebenfalls ein kontravarianter Vierer- Vektor. Er heißt Vierer- Stromdichte. Die Kontinuitätsgleichung ist gleich

${{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0$

Forderung: Ladungserhaltung soll in allen Inertialsystemen gelten! →

j μ = 0

muss sich wie ein Vierervektor transformieren, damit das Skalarprodukt

${{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0$

Lorentz- invariant ist!:

$\begin{align} & {{x}^{0}}\acute{\ }=\gamma \left( {{x}^{0}}-\beta {{x}^{1}} \right)\Leftrightarrow t\acute{\ }=\gamma \left( t-\frac{v}{{{c}^{2}}}{{x}^{1}} \right) \\ & {{x}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{x}^{1}}-\beta {{x}^{0}} \right)\Leftrightarrow {{x}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{x}^{1}}-vt \right) \\ & {{x}^{2}}\acute{\ }={{x}^{2}} \\ & {{x}^{3}}\acute{\ }={{x}^{3}} \\ \end{align}$

Also gilt für Ladungs- und Stromdichten:

$\begin{align} & {{j}^{0}}\acute{\ }=\gamma \left( {{j}^{0}}-\beta {{j}^{1}} \right)\Leftrightarrow \rho \acute{\ }=\gamma \left( \rho -\frac{v}{{{c}^{2}}}{{j}^{1}} \right) \\ & {{j}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{j}^{1}}-\beta {{j}^{0}} \right)\Leftrightarrow {{j}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{j}^{1}}-v\rho \right) \\ & {{j}^{2}}\acute{\ }={{j}^{2}} \\ & {{j}^{3}}\acute{\ }={{j}^{3}} \\ \end{align}$

Merke: Es sollte kein Missverständnis geschehen: Ist ein Vektor in ein Lorentz- invariantes Skalarprodukt verwickelt, so ist es ein Vierervektor. Damit ist klar: Seine Komponenten transfornmieren nach der Lorentz- Trafo. Dadurch aber ist die Trafo für seine Komponenten, die Beispielsweise Ladungs- und Stromdichten sind, gefunden.

4- Potenziale:

Die Potenziale

$\Phi ,\bar{A}$

sind in der Lorentz- Eichung

$\nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0$

Lösungen von

$\begin{align} & \Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\ & \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\ & \#=-{{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }} \\ & {{\mu }_{0}}c=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c} \\ & \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j}\Leftrightarrow {{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}c{{A}^{\alpha }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\alpha }} \\ & \alpha =1,2,3 \\ \end{align}$

$\begin{align} & \Delta \phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}=-{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}\rho \\ & \#\phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}\Leftrightarrow {{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}\phi =\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{0}} \\ \end{align}$

Zusammen:

$\begin{align} & -\#{{\Phi }^{\mu }}={{\partial }_{\alpha }}{{\partial }^{\alpha }}{{\Phi }^{\mu }}={{\mu }_{0}}{{j}^{\mu }} \\ & {{\Phi }^{0}}:=\phi \\ & {{\Phi }^{i}}:=c{{A}^{i}}\quad i=1..3 \\ \end{align}$

Da

j μ

Vierervektoren sind (wie Vierervektoren transformieren), muss auch

Φ μ

wie ein Vierervektor transformieren. Denn: Der d´Alembert- Operator ist Lorentz- invariant:

${{\partial }_{\alpha }}{{\partial }^{\alpha }}$

lorentz- invariant!:

$\begin{align} & {{\Phi }^{0}}\acute{\ }=\gamma \left( {{\Phi }^{0}}-\beta {{\Phi }^{1}} \right)\quad bzw.\quad \Phi \acute{\ }=\gamma \left( \Phi -v{{A}^{1}} \right) \\ & {{\Phi }^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{\Phi }^{1}}-\beta {{\Phi }^{0}} \right)\quad bzw.\quad A{{\acute{\ }}^{1}}=\gamma \left( {{A}^{1}}-\frac{v}{{{c}^{2}}}\Phi \right),{{A}^{\acute{\ }2}}={{A}^{2}},A{{\acute{\ }}^{3}}={{A}^{3}} \\ \end{align}$

Nun: Lorentz- Eichung:

$\nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0$

Lorentz- Eichung ↔ Lorentz- Invarianz

${{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0$

(Gegensatz zur Coulomb- Eichung)

${{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0\Leftrightarrow \nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0$

Umeichung:

$\begin{align} & \tilde{\bar{A}}=\bar{A}+\nabla F \\ & \tilde{\phi }=\phi -\frac{\partial }{\partial t}F \\ & \Leftrightarrow \\ & c{{{\tilde{A}}}^{\alpha }}=c{{A}^{\alpha }}+{{\partial }_{\alpha }}cF=c{{A}^{\alpha }}-{{\partial }^{\alpha }}cF \\ & {{{\tilde{\Phi }}}^{0}}={{\Phi }^{0}}-{{\partial }_{0}}cF={{\Phi }^{0}}-{{\partial }^{0}}cF \\ \end{align}$

Also:

${{\tilde{\Phi }}^{\mu }}={{\Phi }^{\mu }}-{{\partial }^{\mu }}cF$

Felder E und B:

$\begin{align} & \bar{E}=-grad\phi -\frac{\partial }{\partial t}\bar{A} \\ & \Rightarrow {{E}^{\alpha }}=-{{\partial }_{\alpha }}\phi -\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}c{{A}^{\alpha }}=-{{\partial }_{\alpha }}{{\Phi }^{0}}-{{\partial }_{0}}{{\Phi }^{\alpha }}={{\partial }^{\alpha }}{{\Phi }^{0}}-{{\partial }^{0}}{{\Phi }^{\alpha }} \\ \end{align}$

$\begin{align} & \bar{B}=\nabla \times \bar{A} \\ & \Rightarrow c{{B}^{1}}={{\partial }_{2}}c{{A}^{3}}-{{\partial }_{3}}c{{A}^{2}}={{\partial }_{2}}{{\Phi }^{3}}-{{\partial }_{3}}{{\Phi }^{2}}={{\partial }^{3}}{{\Phi }^{2}}-{{\partial }^{2}}{{\Phi }^{3}} \\ \end{align}$

Die anderen Komponenten gewinnt man durch zyklische Vertauschung:

$\begin{align} & c{{B}^{2}}={{\partial }^{1}}{{\Phi }^{3}}-{{\partial }^{3}}{{\Phi }^{1}} \\ & c{{B}^{3}}={{\partial }^{2}}{{\Phi }^{1}}-{{\partial }^{1}}{{\Phi }^{2}} \\ \end{align}$

Diese Gleichungen werden zusammengefasst durch den antisymmetrtischen Feldstärketensor:

$\begin{align} & \left\{ {{F}_{\mu \nu }} \right\}=\left\{ {{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix} 0 & \frac{1}{c}{{E}_{x}} & \frac{1}{c}{{E}_{y}} & \frac{1}{c}{{E}_{z}} \\ -\frac{1}{c}{{E}_{x}} & 0 & -{{B}_{z}} & {{B}_{y}} \\ -\frac{1}{c}{{E}_{y}} & {{B}_{z}} & 0 & -{{B}_{x}} \\ -\frac{1}{c}{{E}_{z}} & -{{B}_{y}} & {{B}_{x}} & 0 \\ \end{matrix} \right) \\ & {{F}^{\mu \nu }}=\left\{ {{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix} 0 & -\frac{1}{c}{{E}_{x}} & -\frac{1}{c}{{E}_{y}} & -\frac{1}{c}{{E}_{z}} \\ \frac{1}{c}{{E}_{x}} & 0 & -{{B}_{z}} & {{B}_{y}} \\ \frac{1}{c}{{E}_{y}} & {{B}_{z}} & 0 & -{{B}_{x}} \\ \frac{1}{c}{{E}_{z}} & -{{B}_{y}} & {{B}_{x}} & 0 \\ \end{matrix} \right) \\ & \Leftrightarrow {{F}^{\mu \nu }}=\left\{ {{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix} 0 & -{{E}^{1}} & -{{E}^{2}} & -{{E}^{3}} \\ {{E}^{1}} & 0 & -c{{B}^{3}} & c{{B}^{2}} \\ {{E}^{2}} & c{{B}^{3}} & 0 & -c{{B}^{1}} \\ {{E}^{3}} & -c{{B}^{2}} & c{{B}^{1}} & 0 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{align}$

Wegen der Antisymmetrie hat

F μν

nur 6 unabhängige Komponenten!

Das bedeutet, die Raum- Raum- Komponenten entsprechen

$rot\bar{A}=\bar{B}$

während die Raum- zeit- Komponenten:

$\bar{E}=-grad\phi -\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}$

erfüllen.

Lorentz- Trafo der Felder:

Der Feldstärketensor ist kovariant und transformiert demnach über die inverse Lorentz- Transformation. Das heißt: Für die Transformation in ein in x- Richtung mit konstanter Geschwindigkeit

$\bar{v}$

bewegtes System K´ gilt:

${{F}_{{}}}{{\acute{\ }}^{\mu \nu }}={{U}^{\mu }}_{\lambda }{{U}^{\nu }}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}$

${{U}^{i}}_{k}=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\ \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

Damit läßt sich nun das uns unbekannte Transformationsverhalten der Felder

$\bar{E}$ und $rot\bar{A}=\bar{B}$

berechnen, die auch kovariant transformieren müssen. Dabei sollte keinesfalls die Summation über die Indices auf der rechten Seite vergessen werden!!

$\begin{align} & E{{\acute{\ }}^{1}}=F{{\acute{\ }}^{10}}={{U}^{1}}_{\lambda }{{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=-\beta \gamma {{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{0\kappa }}+\gamma {{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{1\kappa }}={{\left( \beta \gamma \right)}^{2}}{{F}^{01}}+{{\gamma }^{2}}{{F}^{10}}= \\ & ={{\gamma }^{2}}\left( 1-{{\beta }^{2}} \right){{F}^{10}}={{E}^{1}} \\ & {{\gamma }^{2}}\left( 1-{{\beta }^{2}} \right)=1 \\ & \\ & E{{\acute{\ }}^{2}}=F{{\acute{\ }}^{20}}={{U}^{2}}_{\lambda }{{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}={{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{2\kappa }}=\gamma {{F}^{20}}-\beta \gamma {{F}^{21}}=\gamma \left( {{E}^{2}}-v{{B}^{3}} \right) \\ \end{align}$

$E{{\acute{\ }}^{3}}=F{{\acute{\ }}^{30}}={{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{3\kappa }}=\gamma {{F}^{30}}-\beta \gamma {{F}^{31}}=\gamma \left( {{E}^{3}}+v{{B}^{2}} \right)$

$\begin{align} & B{{\acute{\ }}^{1}}=\frac{1}{c}F{{\acute{\ }}^{32}}=\frac{1}{c}{{U}^{3}}_{\lambda }{{U}^{2}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=\frac{1}{c}{{F}^{32}}={{B}^{1}} \\ & B{{\acute{\ }}^{2}}=\frac{1}{c}F{{\acute{\ }}^{13}}=\frac{1}{c}{{U}^{1}}_{\lambda }{{U}^{3}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=\frac{1}{c}{{U}^{1}}_{\kappa }{{F}^{\kappa 3}}=-\frac{\beta \gamma }{c}{{F}^{03}}+\frac{\gamma }{c}{{F}^{13}}=\gamma \left( {{B}^{2}}+\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{3}} \right) \\ \end{align}$

$B{{\acute{\ }}^{3}}=\gamma \left( {{B}^{3}}-\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{2}} \right)$

Zusammenfassung

$\begin{align} & {{E}^{1}}\acute{\ }={{E}^{1}} \\ & {{E}^{2}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{E}^{2}}-v{{B}^{3}} \right) \\ & {{E}^{3}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{E}^{3}}+v{{B}^{2}} \right) \\ & {{B}^{1}}\acute{\ }={{B}^{1}} \\ & {{B}^{2}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{B}^{2}}+\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{3}} \right) \\ & {{B}^{3}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{B}^{3}}-\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{2}} \right) \\ \end{align}$

Elektrische und magnetische Felder werden beim Übergang zwischen verschiedenen Inertialsystemen ineinander transformiert!

Umeichung:

${{\tilde{\Phi }}^{\mu }}={{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}\phi$

Somit:

$\begin{align} & {{{\tilde{F}}}^{\mu \nu }}={{\partial }^{\mu }}{{{\tilde{\Phi }}}^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{{\tilde{\Phi }}}^{\mu }}={{\partial }^{\mu }}\left( {{\Phi }^{\nu }}+{{\partial }^{\nu }}\phi \right)-{{\partial }^{\nu }}\left( {{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}\phi \right) \\ & ={{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}{{\partial }^{\nu }}\phi -{{\partial }^{\nu }}{{\partial }^{\mu }}\phi ={{F}^{\mu \nu }} \\ \end{align}$

Homogene Maxwell- Gleichungen

$\begin{align} & \nabla \cdot \bar{B}={{\partial }_{1}}{{B}^{1}}+{{\partial }_{2}}{{B}^{2}}+{{\partial }_{3}}{{B}^{3}}=0 \\ & \Rightarrow {{\partial }_{1}}{{F}^{32}}+{{\partial }_{2}}{{F}^{13}}+{{\partial }_{3}}{{F}^{21}}=0 \\ & \\ \end{align}$

Mit

$\begin{align} & {{\partial }_{1}}=-{{\partial }^{1}} \\ & {{F}^{32}}=-{{F}^{23}} \\ & \Rightarrow {{\partial }^{1}}{{F}^{23}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{31}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{12}}=0 \\ & \\ \end{align}$

+ zyklisch in (123)

innere Feldgleichung für E- Feld

$\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}$

Komponente

${{\partial }_{2}}{{E}^{3}}-{{\partial }_{3}}{{E}^{2}}+\frac{\partial }{\partial t}{{B}^{1}}=0$

$\Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{23}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{30}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{02}}=0$

und zyklisch (023)

zyklische Permutation 1 → 2 → 3 → 1 und mit

F i k = - F k i

liefert:

$\begin{align} & \Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{13}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{01}}+{{\partial }^{1}}{{F}^{30}}=0\quad zyklisch(013) \\ & \Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{12}}+{{\partial }^{1}}{{F}^{20}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{01}}=0\quad zyklisch(012) \\ \end{align}$

Zusammenfassung der homogenen Maxwellgleichungen

${{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}{{\partial }_{\lambda }}{{F}_{\mu \nu }}=0$

${{\varepsilon }_{\kappa \lambda \mu \nu }}{{\partial }^{\lambda }}{{F}^{\mu \nu }}=0$

Die "4- Rotation" des Feldstärketensors verschwindet!

Levi- Civita- Tensor: +1 für gerade Permutation von 0123 -1 für ungerade Permutation von 0123 0, sonst

Bemerkungen

Levi- Civita ist vollständig antisymmetrisch (per Definition).

${{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}$
transformiert unter Lorentz- Trafo

$\begin{align} & {{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }={{U}^{\kappa }}_{\alpha }{{U}^{\lambda }}_{\beta }{{U}^{\mu }}_{\gamma }{{U}^{\nu }}_{\delta }{{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }} \\ & =\left| \begin{matrix} {{U}^{\kappa }}_{0} & {{U}^{\kappa }}_{1} & {{U}^{\kappa }}_{2} & {{U}^{\kappa }}_{3} \\ {{U}^{\lambda }}_{0} & {{U}^{\lambda }}_{1} & {{U}^{\lambda }}_{2} & {{U}^{\lambda }}_{3} \\ {{U}^{\mu }}_{0} & {{U}^{\mu }}_{1} & {{U}^{\mu }}_{2} & {{U}^{\mu }}_{3} \\ {{U}^{\nu }}_{0} & {{U}^{\nu }}_{1} & {{U}^{\nu }}_{2} & {{U}^{\nu }}_{3} \\ \end{matrix} \right|=\left( \det U \right)\cdot {{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }} \\ & \left( \det U \right)=\pm 1 \\ \end{align}$

Damit nun der Levi- Civita- Tensor invariant unter Lorentz- Trafos wird, also

${{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }={{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}$ ,

muss vereinbart werden, dass die Transformation lautet

${{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }=\left( \det U \right){{U}^{\kappa }}_{\alpha }{{U}^{\lambda }}_{\beta }{{U}^{\mu }}_{\gamma }{{U}^{\nu }}_{\delta }{{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }}$