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| <math>{{x}^{i}}={{U}_{k}}^{i}x{{\acute{\ }}^{k}}</math> | | <math>{{x}^{i}}={{U}_{k}}^{i}x{{\acute{\ }}^{k}}</math> |
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| = Transformationsverhalten der Ströme und Felder=
| | <noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|6|0}}</noinclude> |
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| <u>'''Ziel: Ko- / Kontravariante Schreibweise der Elektrodynamik im Vakuum'''</u> | |
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| Grund: Die klassische Elektrodynamik ist bereits eine Lorentz- invariante Theorie !!
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| Historisch gab die Maxwellsche Elektrodynamik und nicht die Mechanik den Anstoß zur Relativitätstheorie überhaupt !
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| '''Ladungserhaltung aus Kontinuitätsgleichung:'''
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| <math>\begin{align}
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| & div\bar{j}+\frac{\partial \rho }{\partial t}=\frac{\partial {{j}_{x}}}{\partial x}+\frac{\partial {{j}_{y}}}{\partial y}+\frac{\partial {{j}_{z}}}{\partial z}+\frac{\partial c\rho }{\partial ct}=0 \\
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| & 0=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum\limits_{\alpha =1}^{3}{{}}{{\partial }_{\alpha }}{{j}^{\alpha }} \\
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| \end{align}</math>
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| Somit gewinnen wir aber ebenfalls wieder einen Lorentz- Skalar, nämlich
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| <math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0</math>
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| in Viererschreibweise.
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| Die Vierer- Stromdichte ist
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| <math>\left\{ {{j}^{\mu }} \right\}=\left\{ c\rho ,\bar{j} \right\}</math>
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| ebenfalls ein kontravarianter Vierer- Vektor . Er heißt Vierer- Stromdichte.
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| Die Kontinuitätsgleichung ist gleich
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| <math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0</math>
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| '''Forderung:'''
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| Ladungserhaltung soll in allen Inertialsystemen gelten !
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| ->
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| <math>{{j}^{\mu }}=0</math>
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| muss sich wie ein Vierervektor transformieren, damit das Skalarprodukt
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| <math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0</math>
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| Lorentz- invariant ist !:
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| <math>\begin{align}
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| & {{x}^{0}}\acute{\ }=\gamma \left( {{x}^{0}}-\beta {{x}^{1}} \right)\Leftrightarrow t\acute{\ }=\gamma \left( t-\frac{v}{{{c}^{2}}}{{x}^{1}} \right) \\
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| & {{x}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{x}^{1}}-\beta {{x}^{0}} \right)\Leftrightarrow {{x}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{x}^{1}}-vt \right) \\
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| & {{x}^{2}}\acute{\ }={{x}^{2}} \\
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| & {{x}^{3}}\acute{\ }={{x}^{3}} \\
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| \end{align}</math>
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| Also gilt für Ladungs- und Stromdichten:
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| <math>\begin{align}
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| & {{j}^{0}}\acute{\ }=\gamma \left( {{j}^{0}}-\beta {{j}^{1}} \right)\Leftrightarrow \rho \acute{\ }=\gamma \left( \rho -\frac{v}{{{c}^{2}}}{{j}^{1}} \right) \\
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| & {{j}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{j}^{1}}-\beta {{j}^{0}} \right)\Leftrightarrow {{j}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{j}^{1}}-v\rho \right) \\
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| & {{j}^{2}}\acute{\ }={{j}^{2}} \\
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| & {{j}^{3}}\acute{\ }={{j}^{3}} \\
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| \end{align}</math>
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| Merke: Es sollte kein Missverständnis geschehen: Ist ein Vektor in ein Lorentz- invariantes Skalarprodukt verwickelt, so ist es ein Vierervektor. Damit ist klar: Seine Komponenten transfornmieren nach der Lorentz- Trafo.
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| Dadurch aber ist die Trafo für seine Komponenten, die Beispielsweise Ladungs- und Stromdichten sind, gefunden.
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| <u>'''4- Potenziale:'''</u>
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| <u>Die </u>Potenziale
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| <math>\Phi ,\bar{A}</math>
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| sind in der Lorentz- Eichung
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| <math>\nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0</math>
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| Lösungen von
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| <math>\begin{align}
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| & \Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
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| & \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
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| & \#=-{{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }} \\
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| & {{\mu }_{0}}c=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c} \\
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| & \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j}\Leftrightarrow {{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}c{{A}^{\alpha }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\alpha }} \\
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| & \alpha =1,2,3 \\
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| \end{align}</math>
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| <math>\begin{align}
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| & \Delta \phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}=-{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}\rho \\
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| & \#\phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}\Leftrightarrow {{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}\phi =\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{0}} \\
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| \end{align}</math>
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| Zusammen:
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| <math>\begin{align}
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| & -\#{{\Phi }^{\mu }}={{\partial }_{\alpha }}{{\partial }^{\alpha }}{{\Phi }^{\mu }}={{\mu }_{0}}{{j}^{\mu }} \\
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| & {{\Phi }^{0}}:=\phi \\
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| & {{\Phi }^{i}}:=c{{A}^{i}}\quad i=1..3 \\
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| \end{align}</math>
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| Da
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| <math>{{j}^{\mu }}</math>
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| Vierervektoren sind ( wie Vierervektoren transformieren), muss auch
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| <math>{{\Phi }^{\mu }}</math>
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| wie ein Vierervektor transformieren.
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| Denn: Der d´Alembert- Operator ist Lorentz- invariant:
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| <math>{{\partial }_{\alpha }}{{\partial }^{\alpha }}</math>
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| lorentz- invariant !:
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| <math>\begin{align}
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| & {{\Phi }^{0}}\acute{\ }=\gamma \left( {{\Phi }^{0}}-\beta {{\Phi }^{1}} \right)\quad bzw.\quad \Phi \acute{\ }=\gamma \left( \Phi -v{{A}^{1}} \right) \\
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| & {{\Phi }^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{\Phi }^{1}}-\beta {{\Phi }^{0}} \right)\quad bzw.\quad A{{\acute{\ }}^{1}}=\gamma \left( {{A}^{1}}-\frac{v}{{{c}^{2}}}\Phi \right),{{A}^{\acute{\ }2}}={{A}^{2}},A{{\acute{\ }}^{3}}={{A}^{3}} \\
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| \end{align}</math>
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| Nun: Lorentz- Eichung:
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| <math>\nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0</math>
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| Lorentz- Eichung <-> Lorentz- Invarianz
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| <math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0</math>
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| ( Gegensatz zur Coulomb- Eichung)
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| <math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0\Leftrightarrow \nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0</math>
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| <u>'''Umeichung:'''</u>
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| <math>\begin{align}
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| & \tilde{\bar{A}}=\bar{A}+\nabla F \\
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| & \tilde{\phi }=\phi -\frac{\partial }{\partial t}F \\
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| & \Leftrightarrow \\
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| & c{{{\tilde{A}}}^{\alpha }}=c{{A}^{\alpha }}+{{\partial }_{\alpha }}cF=c{{A}^{\alpha }}-{{\partial }^{\alpha }}cF \\
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| & {{{\tilde{\Phi }}}^{0}}={{\Phi }^{0}}-{{\partial }_{0}}cF={{\Phi }^{0}}-{{\partial }^{0}}cF \\
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| \end{align}</math>
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| '''Also:'''
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| <math>{{\tilde{\Phi }}^{\mu }}={{\Phi }^{\mu }}-{{\partial }^{\mu }}cF</math>
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| '''Felder E und B:'''
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{E}=-grad\phi -\frac{\partial }{\partial t}\bar{A} \\
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| & \Rightarrow {{E}^{\alpha }}=-{{\partial }_{\alpha }}\phi -\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}c{{A}^{\alpha }}=-{{\partial }_{\alpha }}{{\Phi }^{0}}-{{\partial }_{0}}{{\Phi }^{\alpha }}={{\partial }^{\alpha }}{{\Phi }^{0}}-{{\partial }^{0}}{{\Phi }^{\alpha }} \\
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| \end{align}</math>
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{B}=\nabla \times \bar{A} \\
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| & \Rightarrow c{{B}^{1}}={{\partial }_{2}}c{{A}^{3}}-{{\partial }_{3}}c{{A}^{2}}={{\partial }_{2}}{{\Phi }^{3}}-{{\partial }_{3}}{{\Phi }^{2}}={{\partial }^{3}}{{\Phi }^{2}}-{{\partial }^{2}}{{\Phi }^{3}} \\
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| \end{align}</math>
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| Die anderen Komponenten gewinnt man durch zyklische Vertauschung:
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| <math>\begin{align}
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| & c{{B}^{2}}={{\partial }^{1}}{{\Phi }^{3}}-{{\partial }^{3}}{{\Phi }^{1}} \\
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| & c{{B}^{3}}={{\partial }^{2}}{{\Phi }^{1}}-{{\partial }^{1}}{{\Phi }^{2}} \\
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| \end{align}</math>
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| Diese Gleichungen werden zusammengefasst durch den antisymmetrtischen Feldstärketensor:
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| <math>\begin{align}
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| & \left\{ {{F}_{\mu \nu }} \right\}=\left\{ {{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
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| 0 & \frac{1}{c}{{E}_{x}} & \frac{1}{c}{{E}_{y}} & \frac{1}{c}{{E}_{z}} \\
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| -\frac{1}{c}{{E}_{x}} & 0 & -{{B}_{z}} & {{B}_{y}} \\
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| -\frac{1}{c}{{E}_{y}} & {{B}_{z}} & 0 & -{{B}_{x}} \\
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| -\frac{1}{c}{{E}_{z}} & -{{B}_{y}} & {{B}_{x}} & 0 \\
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| \end{matrix} \right) \\
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| & {{F}^{\mu \nu }}=\left\{ {{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
| |
| 0 & -\frac{1}{c}{{E}_{x}} & -\frac{1}{c}{{E}_{y}} & -\frac{1}{c}{{E}_{z}} \\
| |
| \frac{1}{c}{{E}_{x}} & 0 & -{{B}_{z}} & {{B}_{y}} \\
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| \frac{1}{c}{{E}_{y}} & {{B}_{z}} & 0 & -{{B}_{x}} \\
| |
| \frac{1}{c}{{E}_{z}} & -{{B}_{y}} & {{B}_{x}} & 0 \\
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| \end{matrix} \right) \\
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| & \Leftrightarrow {{F}^{\mu \nu }}=\left\{ {{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
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| 0 & -{{E}^{1}} & -{{E}^{2}} & -{{E}^{3}} \\
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| {{E}^{1}} & 0 & -c{{B}^{3}} & c{{B}^{2}} \\
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| {{E}^{2}} & c{{B}^{3}} & 0 & -c{{B}^{1}} \\
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| {{E}^{3}} & -c{{B}^{2}} & c{{B}^{1}} & 0 \\
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| \end{matrix} \right) \\
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| \end{align}</math>
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| Wegen der Antisymmetrie hat
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| <math>{{F}^{\mu \nu }}</math>
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| nur 6 unabhängige Komponenten !
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| Das bedeutet, die Raum- Raum- Komponenten entsprechen
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| <math>rot\bar{A}=\bar{B}</math>
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| während die Raum- zeit- Komponenten:
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| <math>\bar{E}=-grad\phi -\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}</math>
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| erfüllen.
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| <u>'''Lorentz- Trafo der Felder:'''</u>
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| Der Feldstärketensor ist kovariant und transformiert demnach über die inverse Lorentz- Transformation.
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| Das heißt: Für die Transformation in ein in x- Richtung mit konstanter Geschwindigkeit
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| <math>\bar{v}</math>
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| bewegtes System K´ gilt:
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| <math>{{F}_{{}}}{{\acute{\ }}^{\mu \nu }}={{U}^{\mu }}_{\lambda }{{U}^{\nu }}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}</math>
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| <math>{{U}^{i}}_{k}=\left( \begin{matrix}
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| \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\
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| \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\
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| 0 & 0 & 1 & 0 \\
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| 0 & 0 & 0 & 1 \\
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| \end{matrix} \right)</math>
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| Damit läßt sich nun das uns unbekannte Transformationsverhalten der Felder
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| <math>\bar{E}</math>
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| und
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| <math>rot\bar{A}=\bar{B}</math>
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| berechnen, die auch kovariant transformieren müssen. Dabei sollte keinesfalls die Summation über die Indices auf der rechten Seite vergessen werden !!
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| <math>\begin{align}
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| & E{{\acute{\ }}^{1}}=F{{\acute{\ }}^{10}}={{U}^{1}}_{\lambda }{{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=-\beta \gamma {{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{0\kappa }}+\gamma {{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{1\kappa }}={{\left( \beta \gamma \right)}^{2}}{{F}^{01}}+{{\gamma }^{2}}{{F}^{10}}= \\
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| & ={{\gamma }^{2}}\left( 1-{{\beta }^{2}} \right){{F}^{10}}={{E}^{1}} \\
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| & {{\gamma }^{2}}\left( 1-{{\beta }^{2}} \right)=1 \\
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| & \\
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| & E{{\acute{\ }}^{2}}=F{{\acute{\ }}^{20}}={{U}^{2}}_{\lambda }{{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}={{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{2\kappa }}=\gamma {{F}^{20}}-\beta \gamma {{F}^{21}}=\gamma \left( {{E}^{2}}-v{{B}^{3}} \right) \\
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| \end{align}</math>
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| <math>E{{\acute{\ }}^{3}}=F{{\acute{\ }}^{30}}={{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{3\kappa }}=\gamma {{F}^{30}}-\beta \gamma {{F}^{31}}=\gamma \left( {{E}^{3}}+v{{B}^{2}} \right)</math>
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| <math>\begin{align}
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| & B{{\acute{\ }}^{1}}=\frac{1}{c}F{{\acute{\ }}^{32}}=\frac{1}{c}{{U}^{3}}_{\lambda }{{U}^{2}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=\frac{1}{c}{{F}^{32}}={{B}^{1}} \\
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| & B{{\acute{\ }}^{2}}=\frac{1}{c}F{{\acute{\ }}^{13}}=\frac{1}{c}{{U}^{1}}_{\lambda }{{U}^{3}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=\frac{1}{c}{{U}^{1}}_{\kappa }{{F}^{\kappa 3}}=-\frac{\beta \gamma }{c}{{F}^{03}}+\frac{\gamma }{c}{{F}^{13}}=\gamma \left( {{B}^{2}}+\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{3}} \right) \\
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| \end{align}</math>
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| <math>B{{\acute{\ }}^{3}}=\gamma \left( {{B}^{3}}-\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{2}} \right)</math>
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| '''Zusammenfassung'''
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| <math>\begin{align}
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| & {{E}^{1}}\acute{\ }={{E}^{1}} \\
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| & {{E}^{2}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{E}^{2}}-v{{B}^{3}} \right) \\
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| & {{E}^{3}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{E}^{3}}+v{{B}^{2}} \right) \\
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| & {{B}^{1}}\acute{\ }={{B}^{1}} \\
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| & {{B}^{2}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{B}^{2}}+\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{3}} \right) \\
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| & {{B}^{3}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{B}^{3}}-\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{2}} \right) \\
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| \end{align}</math>
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| Elektrische und magnetische Felder werden beim Übergang zwischen verschiedenen Inertialsystemen ineinander transformiert !
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| <u>'''Umeichung:'''</u>
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| <math>{{\tilde{\Phi }}^{\mu }}={{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}\phi </math>
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| Somit:
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| <math>\begin{align}
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| & {{{\tilde{F}}}^{\mu \nu }}={{\partial }^{\mu }}{{{\tilde{\Phi }}}^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{{\tilde{\Phi }}}^{\mu }}={{\partial }^{\mu }}\left( {{\Phi }^{\nu }}+{{\partial }^{\nu }}\phi \right)-{{\partial }^{\nu }}\left( {{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}\phi \right) \\
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| & ={{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}{{\partial }^{\nu }}\phi -{{\partial }^{\nu }}{{\partial }^{\mu }}\phi ={{F}^{\mu \nu }} \\
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| \end{align}</math>
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| <u>'''Homogene Maxwell- Gleichungen'''</u>
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| <math>\begin{align}
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| & \nabla \cdot \bar{B}={{\partial }_{1}}{{B}^{1}}+{{\partial }_{2}}{{B}^{2}}+{{\partial }_{3}}{{B}^{3}}=0 \\
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| & \Rightarrow {{\partial }_{1}}{{F}^{32}}+{{\partial }_{2}}{{F}^{13}}+{{\partial }_{3}}{{F}^{21}}=0 \\
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| & \\
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| \end{align}</math>
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| Mit
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| <math>\begin{align}
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| & {{\partial }_{1}}=-{{\partial }^{1}} \\
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| & {{F}^{32}}=-{{F}^{23}} \\
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| & \Rightarrow {{\partial }^{1}}{{F}^{23}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{31}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{12}}=0 \\
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| & \\
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| \end{align}</math>
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| + zyklisch in (123)
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| '''innere Feldgleichung für E- Feld'''
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| <math>\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}</math>
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| # Komponente
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| <math>{{\partial }_{2}}{{E}^{3}}-{{\partial }_{3}}{{E}^{2}}+\frac{\partial }{\partial t}{{B}^{1}}=0</math>
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| <math>\Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{23}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{30}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{02}}=0</math>
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| und zyklisch (023)
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| zyklische Permutation 1 -> 2 -> 3 -> 1 und mit
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| <math>{{F}^{ik}}=-{{F}^{ki}}</math>
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| liefert:
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| <math>\begin{align}
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| & \Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{13}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{01}}+{{\partial }^{1}}{{F}^{30}}=0\quad zyklisch(013) \\
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| & \Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{12}}+{{\partial }^{1}}{{F}^{20}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{01}}=0\quad zyklisch(012) \\
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| \end{align}</math>
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| '''Zusammenfassung der homogenen Maxwellgleichungen'''
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| <math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}{{\partial }_{\lambda }}{{F}_{\mu \nu }}=0</math>
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| <math>{{\varepsilon }_{\kappa \lambda \mu \nu }}{{\partial }^{\lambda }}{{F}^{\mu \nu }}=0</math>
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| Die "4- Rotation" des Feldstärketensors verschwindet !
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| '''Levi- Civita- Tensor:'''
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| '''+1 für gerade Permutation von 0123'''
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| '''-1 für ungerade Permutation von 0123'''
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| '''0, sonst'''
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| '''Bemerkungen'''
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| # Levi- Civita ist vollständig antisymmetrisch ( per Definition).
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| #
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| # <math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}</math>
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| # transformiert unter Lorentz- Trafo
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| <math>\begin{align}
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| & {{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }={{U}^{\kappa }}_{\alpha }{{U}^{\lambda }}_{\beta }{{U}^{\mu }}_{\gamma }{{U}^{\nu }}_{\delta }{{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }} \\
| |
| & =\left| \begin{matrix}
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| {{U}^{\kappa }}_{0} & {{U}^{\kappa }}_{1} & {{U}^{\kappa }}_{2} & {{U}^{\kappa }}_{3} \\
| |
| {{U}^{\lambda }}_{0} & {{U}^{\lambda }}_{1} & {{U}^{\lambda }}_{2} & {{U}^{\lambda }}_{3} \\
| |
| {{U}^{\mu }}_{0} & {{U}^{\mu }}_{1} & {{U}^{\mu }}_{2} & {{U}^{\mu }}_{3} \\
| |
| {{U}^{\nu }}_{0} & {{U}^{\nu }}_{1} & {{U}^{\nu }}_{2} & {{U}^{\nu }}_{3} \\
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| \end{matrix} \right|=\left( \det U \right)\cdot {{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }} \\
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| & \left( \det U \right)=\pm 1 \\
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| \end{align}</math>
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| Damit nun der Levi- Civita- Tensor invariant unter Lorentz- Trafos wird, also
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| <math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }={{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}</math>
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| , muss vereinbart werden, dass die Transformation lautet
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| <math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }=\left( \det U \right){{U}^{\kappa }}_{\alpha }{{U}^{\lambda }}_{\beta }{{U}^{\mu }}_{\gamma }{{U}^{\nu }}_{\delta }{{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }}</math>
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| Damit ist der Tensor aber ein Pseudotensor !
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| Insgesamt ist die vierdimensionale Schreibweise die gleiche Formalisierung wie im Dreidimensionalen:
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| <math>{{\left( \nabla \times \bar{A} \right)}_{\alpha }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma }}{{\partial }_{\beta }}{{A}_{\gamma }}</math>
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| Mit Pseudovektor
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| <math>{{\left( \nabla \times \bar{A} \right)}_{\alpha }}</math>
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| =Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum= | | =Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum= |
Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie
Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:
Kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet ! ( Einstein, 1904).
Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich !
- Kugelwellen sind
- -> Lorentz- Invariant, also:
Für Lorentz- Transformationen !
Formalisierung:
Der Raumzeitliche Abstand als
Zwischen 2 Ereignissen bleibt der raumzeitliche Abstand invariant bei Lorentz- Transformationen ! zwischen den Inertialsystemen :
Ziel: Um dies sofort zu sehen führt man Vierervektoren ein.
Dann schreibt man
als Skalarprodukt von Vierervektoren im Minkowski- Raum V und man benutze den Formalismus der linearen orthogonalen Transformation , unter denen das Skalarprodukt invariant bleibt:
In der ko / kontravarianten Schreibweise tritt jeder Vierervektor in 2 möglichen Versionen auf:
kontravariante Komponenten:
als Komponenten des Ortsvektors
kovariante Komponenten
kovarianter Vektor
, dualer Vektorraum zu V !
Merke: Die Räume der kovarianten Vektoren ist dual zur menge der kontravarianten
->
als Raum der linearen Funktionale l:
Damit werden dann die Skalarprodukte gebildet !
Schreibe
Mit: Summenkonvention !
über je einen ko- und einen kontravarianten Index ( hier i =0,1,2,3) wird summiert !
Physikalische Anwendung
Lorentz- Invarianten lassen sich als Skalarprodukt
schreiben !
Beispiel: dÁlemebert- Operator:
Vierergeschwindigkeit
Physikalische Interpretation
Viererimpuls
mit der Ruhemasse m0
Also:
Mit der Energie
Analoge Definition von Tensoren 2. Stufe:
Der metrische Tensor
Mittels der Metrik werden Indices gehoben bzw. gesenkt:
Wichtig fürs Skalarprodukt:
Lorentz- Trafo
zwischen Bezugssystemen: Lineare / homogene Trafo
die Lorentz- Transformation für
Nämlich:
Mit
für
Wesentliche Eigenschaft ( die Viererschreibweise ist so konstruiert worden):
U ist orthogonale Trafo:
Das Skalarprodukt ist invariant, falls U eine orthogonale Trafo ist
Bzw.
Forderung: Skalarprodukt invariant -> U muss orthogonale Trafo sein !
Umkehr- Transformation:
Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Die Abfrage enthält eine leere Bedingung.
Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum
( Erregungsgleichungen)
- Komponente
Dies kann analog für die zweite und dritte Komponente durchgeixt werden. Aus der Nullten Komponente hatten wir die Nullte des Stroms ( Erregungsgleichung des elektrischen Feldes), so dass insgesamt folgt:
Die Viererdivergenz des elektrischen Feldstärketensors !
Bemerkungen
- die homogenen Maxwellgleichungen sind durch den Potenzialansatz
automatisch erfüllt:
Aus den inhomogenen Maxwell- Gleichungen
folgt mit Lorentz- Eichung
als inhomogene Wellengleichung
Die Maxwellgleichungen
sind ihrerseits nun Lorentz- kovariant, da sie durch 4 Pseudovektoren ausgedrückt sind.
Merke: Pseudo - 4- Vektor stört nicht, da rechte Seite gleich Null !!
Gauß- System:
Relativistisches Hamiltonprinzip
Ziel: Formulierung der Elektrodynamik als Lagrange- Feldtheorie
Die rel. Dynamik eines Massepunktes kann aus dem Extremalprinzip abgeleitet werden, wenn man Die Punkt 1 und 2 als Anfangs- und Endereignis im 4- Raum sieht und wenn man die Ränder bei Variation festhält:
letzteres: Wirkungsintegral
Wichtig:
Newtonsche Mechanik ist Grenzfall:
Wechselwirkung eines Massepunktes mit einem 4- Vektor- Feld
mit den Lorentz- Invarianten
und
Variation:
Nun:
Außerdem:
Somit:
Weiter mit partieller Integration:
Weiter:
Mit
Einsetzen in
liefert:
Wegen
Dies ist dann die aus dem hamiltonschen Prinzip abgeleitete Bewegungsgleichung eines Massepunktes der Ruhemasse m0 und der Ladung q unter dem Einfluss der Lorentz- Kraft.
Man setze:
Man bestimmt die Ortskomponenten
über
überein, denn mit
folgt dann:
mit
Die zeitartige Komponente
gibt wegen
Dies ist die Leistungsbilanz: Die Änderung der inneren Energie ist gleich der reingesteckten Arbeit
Eichinvarianz und Ladungserhaltung
Wirkungsintegral:
Dabei:
( Teilchen)
( Teilchen- Feld- Wechselwirkung)
Verallgemeinerung auf kontinuierliche Massendichte
Vorsicht: m ist hier Massendichte !!!
dOmega als Volumenelement im Minkowski- Raum !!!
Bemerkungen:
- ist eine Lorentz- Invariante , da das Volumen unter orthogonalen Transformationen
erhalten bleibt.
2) Aus
folgt, dass die Vierer- Massenstromdichte mit Massendichte m=
ein Vier- Vektor ist, da
Lorentz- Skalare sind und natürlich
selbst auch ein Vierervektor
- ist Lorentz - Invariant.
Also
ist Lorentz- Invariant. Also auch
.
Somit ist
insgesamt Lorentz- Invariant !