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:<math>{{P}_{\alpha }}=\left\langle \alpha \right|\hat{\rho }\left| \alpha \right\rangle ={{Y}^{-1}}\left\langle \alpha \right|\exp \left( -\beta \left( \hat{H}-\mu \hat{N} \right) \right)\left| \alpha \right\rangle ={{Y}^{-1}}\exp \left( -\beta \sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right)</math>
:<math>{{P}_{\alpha }}=\left\langle \alpha \right|\hat{\rho }\left| \alpha \right\rangle ={{Y}^{-1}}\left\langle \alpha \right|\exp \left( -\beta \left( \hat{H}-\mu \hat{N} \right) \right)\left| \alpha \right\rangle ={{Y}^{-1}}\exp \left( -\beta \sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right)</math>
Dies ist ein Ergebnis für einen Zustand !
Dies ist ein Ergebnis für einen Zustand!
Die {{FB|Großkanonsiche Zustandsumme}} Y gewinnt man, indem man über alle möglichen Vielteilchenzustände noch summiert, also:
Die {{FB|Großkanonsiche Zustandsumme}} Y gewinnt man, indem man über alle möglichen Vielteilchenzustände noch summiert, also:
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:<math>Y=\sum\limits_{{{N}_{1}}...{{N}_{l}}}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta \sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( \sum\limits_{{{N}_{j}}}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta \left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right) \right)</math>
:<math>Y=\sum\limits_{{{N}_{1}}...{{N}_{l}}}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta \sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( \sum\limits_{{{N}_{j}}}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta \left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right) \right)</math>
Jetzt muss bei der Auswertung die unterschiedliche Teilchenart berücksichtigt werden, nämlich in der Summation über Nj. Handelt es sich um Fermionen, so wird nur bis 1 summiert. Handelt es sich um Bosonen, so wird bis unendlich summiert !
Jetzt muss bei der Auswertung die unterschiedliche Teilchenart berücksichtigt werden, nämlich in der Summation über Nj. Handelt es sich um Fermionen, so wird nur bis 1 summiert. Handelt es sich um Bosonen, so wird bis unendlich summiert!
'''Fermionen'''
'''Fermionen'''
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Also folgt:
Also folgt:
:<math>P\left( {{N}_{1}},...,{{N}_{l}} \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\frac{{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}}{\left( 1+{{t}_{j}} \right)}=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}P\left( {{N}_{j}} \right)</math> separiert !!
:<math>P\left( {{N}_{1}},...,{{N}_{l}} \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\frac{{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}}{\left( 1+{{t}_{j}} \right)}=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}P\left( {{N}_{j}} \right)</math> separiert!!
Dies als Gesamtwahrscheinlichkeit, das System mit der Besetzung <math>\left( {{N}_{1}},...,{{N}_{l}} \right)</math> zu finden!
Dies als Gesamtwahrscheinlichkeit, das System mit der Besetzung <math>\left( {{N}_{1}},...,{{N}_{l}} \right)</math> zu finden!
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aber nur wegen Nj = 0,1
aber nur wegen Nj = 0,1
* 2 Möglichkeiten ! → Mittelwert liegt in der Mitte
* 2 Möglichkeiten! → Mittelwert liegt in der Mitte
[[File:Fermi_dirac_distr.svg|miniatur|rechts besetzte und links unbesetzte Zustände]]
[[File:Fermi dirac distr .svg|miniatur|rechts besetzte und links unbesetzte Zustände]]
FJ:<nowiki>
FJ:<nowiki>
Nj:=1/(1+exp((Ej-mue)/Boltz));
Nj:=1/(1+exp((Ej-mue)/Boltz));
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* plot(Nj,Ej=0..50);</nowiki>]]
* plot(Nj,Ej=0..50);</nowiki>]]
;Für T → 0:<math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \to \Theta \left( \mu -{{E}_{j}} \right)</math> (Stufenfunktion), sogenannter Quantenlimes !
;Für T → 0:<math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \to \Theta \left( \mu -{{E}_{j}} \right)</math> (Stufenfunktion), sogenannter Quantenlimes!
;T>0: Aufweichungszone bei <math>{{E}_{j}}\tilde{\ }\mu </math> der Breite <math>\approx kT</math>
;T>0: Aufweichungszone bei <math>{{E}_{j}}\tilde{\ }\mu </math> der Breite <math>\approx kT</math>
<math>{{E}_{j}}-\mu >>kT</math> (sehr hohe Energien) → <math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \tilde{\ }\exp \left( -\frac{{{E}_{j}}-\mu }{kT} \right)</math>
<math>{{E}_{j}}-\mu >>kT</math> (sehr hohe Energien) → <math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \tilde{\ }\exp \left( -\frac{{{E}_{j}}-\mu }{kT} \right)</math>
* die Fermiverteilung nähert sich der Boltzmann- Verteilung an ( klassischer Grenzfall !!)
* die Fermiverteilung nähert sich der Boltzmann- Verteilung an (klassischer Grenzfall!!)
* keine Berücksichtigung des Pauli- Prinzips mehr !
* keine Berücksichtigung des Pauli- Prinzips mehr!
Beispiel einer Maxwell- Boltzmann- Verteilung sehr hoher Energien !
Beispiel einer Maxwell- Boltzmann- Verteilung sehr hoher Energien!
;Gesamte mittlere Teilchenzahl:<math>\bar{N}=\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle </math>
;Gesamte mittlere Teilchenzahl:<math>\bar{N}=\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle </math>
Zeile 120:
Zeile 120:
:<math>{{E}_{j}}=\frac{{{{\bar{k}}}^{2}}{{\hbar }^{2}}}{2m}</math>
:<math>{{E}_{j}}=\frac{{{{\bar{k}}}^{2}}{{\hbar }^{2}}}{2m}</math>
Das System sei in einem Würfel V = L³ eingeschlossen !
Das System sei in einem Würfel V = L³ eingeschlossen!
Zyklische Randbedingungen ( Born - v. Karman):
Zyklische Randbedingungen (Born - v. Karman):
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
Zeile 140:
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:<math>{{\left( \Delta k \right)}^{3}}={{\left( \frac{2\pi }{L} \right)}^{3}}\Delta {{n}_{1}}\Delta {{n}_{2}}\Delta {{n}_{3}}={{\left( \frac{2\pi }{L} \right)}^{3}}=\left( \frac{8{{\pi }^{3}}}{V} \right)</math>
:<math>{{\left( \Delta k \right)}^{3}}={{\left( \frac{2\pi }{L} \right)}^{3}}\Delta {{n}_{1}}\Delta {{n}_{2}}\Delta {{n}_{3}}={{\left( \frac{2\pi }{L} \right)}^{3}}=\left( \frac{8{{\pi }^{3}}}{V} \right)</math>
Dabei wurde jedoch kein Spin berücksichtigt !
Dabei wurde jedoch kein Spin berücksichtigt!
====Thermodynamischer limes ( großes Volumen V):====
====Thermodynamischer limes (großes Volumen V):====
'''Übergang zum Quasikontinuum:'''
'''Übergang zum {{FB| Quasikontinuum}} :'''
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
Zeile 160:
Zeile 160:
<u>'''Spinentartung:'''</u>
<u>'''Spinentartung:'''</u>
(2s+1)- fache Entartung !
(2s+1)- fache Entartung!
'''Kugelsymmetrisches Integral:'''
'''Kugelsymmetrisches Integral:'''
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Zeile 176:
\end{align}</math>
\end{align}</math>
sogenannte Fugizität !
sogenannte {{FB| Fugizität}} !
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
Zeile 202:
Zeile 202:
\end{align}</math>
\end{align}</math>
Mit der Fermi- Verteilung <math>\left\langle N(p) \right\rangle </math>
Mit der Fermi- Verteilung <math>\left\langle N(p) \right\rangle </math>, also:
, also:
:<math>\ln Y=\frac{2}{3}\beta \left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\left\langle N(p) \right\rangle E(p)</math>
:<math>\ln Y=\frac{2}{3}\beta \left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\left\langle N(p) \right\rangle E(p)</math>
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\end{align}</math>
\end{align}</math>
Somit haben wir die thermische Zustands-Gleichung
Somit haben wir die ''' thermische Zustands-Gleichung'''
:<math>pV=kT\ln Y=\frac{2}{3}U=\frac{2}{3}\left\langle {{E}^{ges.}} \right\rangle </math>
{{Gln| <math>pV=kT\ln Y=\frac{2}{3}U=\frac{2}{3}\left\langle {{E}^{ges.}} \right\rangle </math>|thermische Zustands Gleichung}}
'''Bemerkungen'''
{{Bem|1= '''Bemerkungen'''
Dies gilt auch für ein klassisches ideales Gas !
Dies gilt auch für ein klassisches ideales Gas!
Klassisch:
Klassisch:
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\end{align}</math>
\end{align}</math>
Später werden wir sehen: Das gilt auch für Bose- Verteilung !!
Später werden wir sehen: Das gilt auch für Bose- Verteilung!!
Also unabhängig von der speziellen Statistik !
Also ''' unabhängig''' von der speziellen Statistik!}}
==Entartetes Fermi-Gas==
==Entartetes Fermi-Gas==
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:<math>\left\langle N\left( p \right) \right\rangle =\frac{1}{\left( \frac{1}{\xi }{{e}^{\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}+1 \right)}\approx \xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}</math>
:<math>\left\langle N\left( p \right) \right\rangle =\frac{1}{\left( \frac{1}{\xi }{{e}^{\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}+1 \right)}\approx \xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}</math>
( Maxwell- Boltzmann- Verteilung)
(Maxwell- Boltzmann- Verteilung)
für <math>\xi ={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}<<1\Rightarrow \mu <0</math>
für <math>\xi ={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}<<1\Rightarrow \mu <0</math>
( stark verdünnt)
(stark verdünnt)
* klassischer Limes !
* klassischer Limes!
* Merke positives chemisches Potenzial ist ein QM- Grenzfall !!
* Merke positives chemisches Potenzial ist ein QM- Grenzfall!!
<u>'''Nichtklassischer Grenzfall ( "Fermi- Entartung ")'''</u>
<u>'''Nichtklassischer Grenzfall ("Fermi- Entartung ")'''</u>
<u>'''Für '''</u><math>\xi >>1</math>
<u>'''Für '''</u><math>\xi >>1</math>
( Grenzfall hoher Dichte !)
(Grenzfall hoher Dichte!)
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<u>'''Entwicklung für'''</u>
<u>'''Entwicklung für'''</u>
:<math>\eta >>1\Rightarrow \xi >>1</math>
:<math>\eta >>1\Rightarrow \xi >>1</math>, also Entartung:
, also Entartung:
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
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Bei T= 0 Kelvin sind die Zustände mit <math>E<{{E}_{F}}</math>
Bei T= 0 Kelvin sind die Zustände mit <math>E<{{E}_{F}}</math>
voll besetzt, die anderen leer !
voll besetzt, die anderen leer!
Wir können dann <math>\mu \left( T=0,\bar{N},V \right)</math>
Wir können dann <math>\mu \left( T=0,\bar{N},V \right)</math>
Zeile 475:
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Das heißt, für kT=1 zeigt µ über Ef etwa folgenden verlauf:
Das heißt, für kT=1 zeigt µ über Ef etwa folgenden verlauf:
'''die Kurve wird für höhere Temperaturen immer weiter auseinandergedehnt !'''
'''die Kurve wird für höhere Temperaturen immer weiter auseinandergedehnt!'''
<u>'''Innere Energie'''</u>
<u>'''Innere Energie'''</u>
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:<math>{{E}_{F}}\approx 1eV\Rightarrow T\tilde{\ }{{10}^{4}}K</math>
:<math>{{E}_{F}}\approx 1eV\Rightarrow T\tilde{\ }{{10}^{4}}K</math>
1 eV entspricht 10.000 K !!
1 eV entspricht 10.000 K!!
'''Grund ''' ist das Pauli- Prinzip !!
'''Grund ''' ist das Pauli- Prinzip!!
Also eine effektive Abstoßung der Teilchen ! Dies bewirkt für niedrige Temperaturen den enormen Faktor
Also eine effektive Abstoßung der Teilchen! Dies bewirkt für niedrige Temperaturen den enormen Faktor
:<math>\frac{{{E}_{F}}}{kT}</math>
:<math>\frac{{{E}_{F}}}{kT}</math>
,
, mit dem der Druck gegenüber dem idealen Gas zu multiplizieren ist.
mit dem der Druck gegenüber dem idealen Gas zu multiplizieren ist.
Für sehr hohe Temperaturen überwiegt dann der hintere teil, und es gilt:
Für sehr hohe Temperaturen überwiegt dann der hintere teil, und es gilt:
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!
!
== Spezifische Wärme ==
== Spezifische Wärme ==
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kleiner als bei idealen gasen.
kleiner als bei idealen gasen.
Bei T ~ 300 K ist dies 1/ 40 !
Bei T ~ 300 K ist dies 1/ 40!
ideales Gas:
ideales Gas:
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:<math>{{E}_{F}}-kT<E<{{E}_{F}}+kT</math>
:<math>{{E}_{F}}-kT<E<{{E}_{F}}+kT</math>
tragen zur spezifischen Wärme bei , da nur sie in freie Zustände thermisch angeregt werden könen :
tragen zur spezifischen Wärme bei, da nur sie in freie Zustände thermisch angeregt werden könen :
Zahl:
Zahl:
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<u>Beispiele für entartete Fermigase</u>
<u>Beispiele für entartete Fermigase</u>
* Elektronen in Metallen → hohe Dichten !
* Elektronen in Metallen → hohe Dichten!
* Elektronen in Halbleitern, bei sehr tiefen Temperaturen oder hoher Dotierung!
* Elektronen in Halbleitern, bei sehr tiefen Temperaturen oder hoher Dotierung!
==Nichtenatartetes fermigas==
==Nichtenatartetes fermigas==
verdünntes, nichtrelativistisches Quantengas !
verdünntes, nichtrelativistisches Quantengas!
z.B. Elektronen in Halbleitern im Normalbereich !
z.B. Elektronen in Halbleitern im Normalbereich!
'''Voraussetzung:'''
'''Voraussetzung:'''
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\end{align}</math>
\end{align}</math>
Die klassische Maxwell- Boltzmann- Verteilung ( vergl. S. 101)
Die klassische Maxwell- Boltzmann- Verteilung (vergl. S. 101)
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
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Dabei wurden alle Terme der Ordnung <math>{{\left( \frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}(T)} \right)}^{2}}</math>
Dabei wurden alle Terme der Ordnung <math>{{\left( \frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}(T)} \right)}^{2}}</math>
weggenähert !
weggenähert!
Also:
Also:
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die Zustandsgleichung des klassischen idealen Gases und <math>RT{{2}^{-\frac{5}{2}}}\frac{{{N}_{A}}}{v{{N}_{C}}(T)}</math>
die Zustandsgleichung des klassischen idealen Gases und <math>RT{{2}^{-\frac{5}{2}}}\frac{{{N}_{A}}}{v{{N}_{C}}(T)}</math>
eine Erhöhung des klassischen Drucks durch die Fermi- Abstoßung !
eine Erhöhung des klassischen Drucks durch die Fermi- Abstoßung!
'''Nebenbemerkung:'''
'''Nebenbemerkung:'''
Mit der '''thermischen Wellenlänge '''<math>\lambda :={{\left( \frac{{{h}^{2}}}{2\pi mkT} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>
Mit der {{FB| thermischen Wellenlänge}} <math>\lambda :={{\left( \frac{{{h}^{2}}}{2\pi mkT} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math> entsprechend der {{FB| de Broglie-Wellenlänge}} für <math>\frac{{{k}^{2}}{{\hbar }^{2}}}{2m}\tilde{\ }kT\Rightarrow \lambda ={{\left( \frac{{{h}^{2}}}{2mkT} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>
entsprechend der de Broglie- Wellenlänge für <math>\frac{{{k}^{2}}{{\hbar }^{2}}}{2m}\tilde{\ }kT\Rightarrow \lambda ={{\left( \frac{{{h}^{2}}}{2mkT} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>
E= kT also, schreibt man:
E= kT also, schreibt man:
:<math>{{N}_{C}}=\frac{2s+1}{{{\lambda }^{3}}}</math>
:<math>{{N}_{C}}=\frac{2s+1}{{{\lambda }^{3}}}</math>
[["category":"uncategorized"]]
Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Der Artikel Das ideale Fermigas basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 2) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD .
Teilchen- Zustände sind die Eigenzustände zur 1- Teilchen- Energie Ei
Großkanonischer Statistischer Operator :
ρ
^
=
Y
−
1
exp
(
−
β
(
H
^
−
μ
N
^
)
)
{\displaystyle {\hat {\rho }}={{Y}^{-1}}\exp \left(-\beta \left({\hat {H}}-\mu {\hat {N}}\right)\right)}
Die Wahrscheinlichkeit, das System in einem bestimmten Zustand zu finden ist gleich dem Erwartungswert des statistischen Operators in diesem Zustand:
Also für den Vielteilchenzustand
|
α
⟩
{\displaystyle \left|\alpha \right\rangle }
:
E
α
g
e
s
.
=
∑
j
=
1
l
E
j
N
j
{\displaystyle {{E}_{\alpha }}^{ges.}=\sum \limits _{j=1}^{l}{}{{E}_{j}}{{N}_{j}}}
mit der Einteilchenenergie Ej und den Besetzungszahlen Nj
Diese Wahrscheinlichkeit ist:
P
α
=
⟨
α
|
ρ
^
|
α
⟩
=
Y
−
1
⟨
α
|
exp
(
−
β
(
H
^
−
μ
N
^
)
)
|
α
⟩
=
Y
−
1
exp
(
−
β
∑
j
=
1
l
(
N
j
E
j
−
μ
N
j
)
)
{\displaystyle {{P}_{\alpha }}=\left\langle \alpha \right|{\hat {\rho }}\left|\alpha \right\rangle ={{Y}^{-1}}\left\langle \alpha \right|\exp \left(-\beta \left({\hat {H}}-\mu {\hat {N}}\right)\right)\left|\alpha \right\rangle ={{Y}^{-1}}\exp \left(-\beta \sum \limits _{j=1}^{l}{}\left({{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}}\right)\right)}
Dies ist ein Ergebnis für einen Zustand!
Die Großkanonsiche Zustandsumme Y gewinnt man, indem man über alle möglichen Vielteilchenzustände noch summiert, also:
Y
=
∑
N
1
.
.
.
N
l
exp
(
−
β
∑
j
=
1
l
(
N
j
E
j
−
μ
N
j
)
)
=
∏
j
=
1
l
(
∑
N
j
exp
(
−
β
(
N
j
E
j
−
μ
N
j
)
)
)
{\displaystyle Y=\sum \limits _{{{N}_{1}}...{{N}_{l}}}^{}{}\exp \left(-\beta \sum \limits _{j=1}^{l}{}\left({{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}}\right)\right)=\prod \limits _{j=1}^{l}{}\left(\sum \limits _{{N}_{j}}^{}{}\exp \left(-\beta \left({{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}}\right)\right)\right)}
Jetzt muss bei der Auswertung die unterschiedliche Teilchenart berücksichtigt werden, nämlich in der Summation über Nj. Handelt es sich um Fermionen, so wird nur bis 1 summiert. Handelt es sich um Bosonen, so wird bis unendlich summiert!
Fermionen
Y
=
∑
N
1
.
.
.
N
l
=
0
1
exp
(
−
β
∑
j
=
1
l
(
N
j
E
j
−
μ
N
j
)
)
=
∏
j
=
1
l
(
∑
N
j
=
0
1
exp
(
−
β
(
N
j
E
j
−
μ
N
j
)
)
)
=
∏
j
=
1
l
(
∑
N
j
=
0
1
t
j
N
j
)
t
j
:=
exp
(
−
β
(
E
j
−
μ
)
)
Y
=
∏
j
=
1
l
(
1
+
t
j
)
=
∏
j
=
1
l
Y
j
{\displaystyle {\begin{aligned}&Y=\sum \limits _{{{N}_{1}}...{{N}_{l}}=0}^{1}{}\exp \left(-\beta \sum \limits _{j=1}^{l}{}\left({{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}}\right)\right)=\prod \limits _{j=1}^{l}{}\left(\sum \limits _{{{N}_{j}}=0}^{1}{}\exp \left(-\beta \left({{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}}\right)\right)\right)\\&=\prod \limits _{j=1}^{l}{}\left(\sum \limits _{{{N}_{j}}=0}^{1}{}{{t}_{j}}^{{N}_{j}}\right)\\&{{t}_{j}}:=\exp \left(-\beta \left({{E}_{j}}-\mu \right)\right)\\&Y=\prod \limits _{j=1}^{l}{}\left(1+{{t}_{j}}\right)=\prod \limits _{j=1}^{l}{}{{Y}_{j}}\\\end{aligned}}}
Also folgt:
P
(
N
1
,
.
.
.
,
N
l
)
=
∏
j
=
1
l
t
j
N
j
(
1
+
t
j
)
=
∏
j
=
1
l
P
(
N
j
)
{\displaystyle P\left({{N}_{1}},...,{{N}_{l}}\right)=\prod \limits _{j=1}^{l}{}{\frac {{{t}_{j}}^{{N}_{j}}}{\left(1+{{t}_{j}}\right)}}=\prod \limits _{j=1}^{l}{}P\left({{N}_{j}}\right)}
separiert!!
Dies als Gesamtwahrscheinlichkeit, das System mit der Besetzung
(
N
1
,
.
.
.
,
N
l
)
{\displaystyle \left({{N}_{1}},...,{{N}_{l}}\right)}
zu finden!
Mittlere Besetzungszahl im Einteilchenzustand
E
j
{\displaystyle {{E}_{j}}}
:
Aus
P
(
N
j
)
=
exp
(
Ψ
j
−
β
E
j
−
α
N
j
)
{\displaystyle P\left({{N}_{j}}\right)=\exp \left({{\Psi }_{j}}-\beta {{E}_{j}}-\alpha {{N}_{j}}\right)}
mit
Ψ
j
=
−
ln
Y
j
=
−
ln
(
1
+
t
j
)
α
=
−
β
μ
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\Psi }_{j}}=-\ln {{Y}_{j}}=-\ln \left(1+{{t}_{j}}\right)\\&\alpha =-\beta \mu \\\end{aligned}}}
folgt:
⟨
N
j
⟩
=
∂
Ψ
j
∂
α
=
1
β
∂
∂
μ
ln
Y
j
=
t
j
1
+
t
j
=
1
t
j
−
1
+
1
{\displaystyle \left\langle {{N}_{j}}\right\rangle ={\frac {\partial {{\Psi }_{j}}}{\partial \alpha }}={\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\ln {{Y}_{j}}={\frac {{t}_{j}}{1+{{t}_{j}}}}={\frac {1}{{{t}_{j}}^{-1}+1}}}
Also:
⇒
⟨
N
j
⟩
=
1
exp
(
E
j
−
μ
k
T
)
+
1
{\displaystyle \Rightarrow \left\langle {{N}_{j}}\right\rangle ={\frac {1}{\exp \left({\frac {{{E}_{j}}-\mu }{kT}}\right)+1}}}
Die Fermi-Verteilung!
Dies folgt auch explizit aus
⟨
N
j
⟩
=
∑
N
1
=
0
1
∑
N
2
=
0
1
.
.
.
{
N
j
t
1
N
1
1
+
t
1
.
.
.
t
j
N
j
1
+
t
j
.
.
.
.
}
=
∑
N
j
=
0
1
N
j
.
t
j
N
j
1
+
t
j
=
0
t
j
0
+
1
t
j
1
+
t
j
=
t
j
1
+
t
j
{\displaystyle \left\langle {{N}_{j}}\right\rangle =\sum \limits _{{{N}_{1}}=0}^{1}{}\sum \limits _{{{N}_{2}}=0}^{1}{}...\left\{{{N}_{j}}{\frac {{{t}_{1}}^{{N}_{1}}}{1+{{t}_{1}}}}...{\frac {{{t}_{j}}^{{N}_{j}}}{1+{{t}_{j}}}}....\right\}=\sum \limits _{{{N}_{j}}=0}^{1}{}{{N}_{j}}.{\frac {{{t}_{j}}^{{N}_{j}}}{1+{{t}_{j}}}}={\frac {0{{t}_{j}}^{0}+1{{t}_{j}}}{1+{{t}_{j}}}}={\frac {{t}_{j}}{1+{{t}_{j}}}}}
speziell folgt dies auch aus
⟨
N
j
⟩
=
p
(
N
j
=
1
)
=
t
j
1
+
t
j
{\displaystyle \left\langle {{N}_{j}}\right\rangle =p\left({{N}_{j}}=1\right)={\frac {{t}_{j}}{1+{{t}_{j}}}}}
aber nur wegen Nj = 0,1
2 Möglichkeiten! → Mittelwert liegt in der Mitte
rechts besetzte und links unbesetzte Zustände
FJ:
Nj:=1/(1+exp((Ej-mue)/Boltz));
1
Nj := ---------------------
1 + exp(1/5 Ej - 1/5)
> Boltz:=5;
Boltz := 5
> mue:=1;
mue := 1
* plot(Nj,Ej=0..50);]]
Für T → 0
⟨
N
j
⟩
→
Θ
(
μ
−
E
j
)
{\displaystyle \left\langle {{N}_{j}}\right\rangle \to \Theta \left(\mu -{{E}_{j}}\right)}
(Stufenfunktion), sogenannter Quantenlimes!
T>0
Aufweichungszone bei
E
j
~
μ
{\displaystyle {{E}_{j}}{\tilde {\ }}\mu }
der Breite
≈
k
T
{\displaystyle \approx kT}
E
j
−
μ
>>
k
T
{\displaystyle {{E}_{j}}-\mu >>kT}
(sehr hohe Energien) →
⟨
N
j
⟩
~
exp
(
−
E
j
−
μ
k
T
)
{\displaystyle \left\langle {{N}_{j}}\right\rangle {\tilde {\ }}\exp \left(-{\frac {{{E}_{j}}-\mu }{kT}}\right)}
die Fermiverteilung nähert sich der Boltzmann- Verteilung an (klassischer Grenzfall!!)
keine Berücksichtigung des Pauli- Prinzips mehr!
Beispiel einer Maxwell- Boltzmann- Verteilung sehr hoher Energien!
Gesamte mittlere Teilchenzahl
N
¯
=
∑
j
=
1
l
⟨
N
j
⟩
{\displaystyle {\bar {N}}=\sum \limits _{j=1}^{l}{}\left\langle {{N}_{j}}\right\rangle }
thermische Zustandsgleichung
p
V
=
k
T
ln
Y
=
k
T
∑
j
=
1
l
ln
Y
i
=
k
T
∑
j
=
1
l
ln
(
1
+
exp
(
β
(
μ
−
E
j
)
)
)
{\displaystyle pV=kT\ln Y=kT\sum \limits _{j=1}^{l}{}\ln {{Y}_{i}}=kT\sum \limits _{j=1}^{l}{}\ln \left(1+\exp \left(\beta \left(\mu -{{E}_{j}}\right)\right)\right)}
Energie und Zustandsdichte freier Teilchen
Energie- Eigenwerte:
E
j
=
k
¯
2
ℏ
2
2
m
{\displaystyle {{E}_{j}}={\frac {{{\bar {k}}^{2}}{{\hbar }^{2}}}{2m}}}
Das System sei in einem Würfel V = L³ eingeschlossen!
Zyklische Randbedingungen (Born - v. Karman):
Ψ
j
(
r
¯
)
=
1
V
e
i
k
¯
r
¯
k
a
L
=
2
π
n
a
n
a
=
±
1
,
±
2
,
±
3....
a
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\Psi }_{j}}\left({\bar {r}}\right)={\frac {1}{\sqrt {V}}}{{e}^{i{\bar {k}}{\bar {r}}}}\\&{{k}_{a}}L=2\pi {{n}_{a}}\\&{{n}_{a}}=\pm 1,\pm 2,\pm 3....\\&a=1,2,3\\\end{aligned}}}
Ein Zustand im k- Raum beansprucht also das Volumen:
(
Δ
k
)
3
=
(
2
π
L
)
3
Δ
n
1
Δ
n
2
Δ
n
3
=
(
2
π
L
)
3
=
(
8
π
3
V
)
{\displaystyle {{\left(\Delta k\right)}^{3}}={{\left({\frac {2\pi }{L}}\right)}^{3}}\Delta {{n}_{1}}\Delta {{n}_{2}}\Delta {{n}_{3}}={{\left({\frac {2\pi }{L}}\right)}^{3}}=\left({\frac {8{{\pi }^{3}}}{V}}\right)}
Dabei wurde jedoch kein Spin berücksichtigt!
Thermodynamischer limes (großes Volumen V):
Übergang zum Quasikontinuum :
∑
j
→
(
V
8
π
3
)
∫
d
3
k
p
¯
=
ℏ
k
¯
→
∑
j
→
(
V
8
π
3
ℏ
3
)
∫
d
3
p
=
(
V
h
3
)
∫
d
3
p
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum \limits _{j}{}\to \left({\frac {V}{8{{\pi }^{3}}}}\right)\int _{}^{}{}{{d}^{3}}k\\&{\bar {p}}=\hbar {\bar {k}}\\&\to \sum \limits _{j}{}\to \left({\frac {V}{8{{\pi }^{3}}{{\hbar }^{3}}}}\right)\int _{}^{}{}{{d}^{3}}p=\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)\int _{}^{}{}{{d}^{3}}p\\\end{aligned}}}
In Übereinstimmung mit Kapitel 4.1, Seite 100
Spinentartung:
(2s+1)- fache Entartung!
Kugelsymmetrisches Integral:
→
∑
j
→
(
V
8
π
3
ℏ
3
)
∫
d
3
p
=
(
V
h
3
)
∫
d
3
p
=
(
2
s
+
1
)
(
V
h
3
)
4
π
∫
p
2
d
p
{\displaystyle \to \sum \limits _{j}{}\to \left({\frac {V}{8{{\pi }^{3}}{{\hbar }^{3}}}}\right)\int _{}^{}{}{{d}^{3}}p=\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)\int _{}^{}{}{{d}^{3}}p=\left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{}^{}{}{{p}^{2}}dp}
Großkanonische Zustandssumme:
ln
Y
=
∑
j
ln
(
1
+
ξ
e
−
β
E
j
)
ξ
:=
e
β
μ
{\displaystyle {\begin{aligned}&\ln Y=\sum \limits _{j}{}\ln \left(1+\xi {{e}^{-\beta {{E}_{j}}}}\right)\\&\xi :={{e}^{\beta \mu }}\\\end{aligned}}}
sogenannte Fugizität !
ln
Y
=
∑
j
ln
(
1
+
ξ
e
−
β
E
j
)
≈
(
2
s
+
1
)
(
V
h
3
)
4
π
∫
0
∞
p
2
d
p
ln
(
1
+
ξ
e
−
β
E
j
)
=
(
2
s
+
1
)
(
V
h
3
)
4
π
∫
0
∞
p
2
d
p
ln
(
1
+
ξ
e
−
β
p
2
2
m
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\ln Y=\sum \limits _{j}{}\ln \left(1+\xi {{e}^{-\beta {{E}_{j}}}}\right)\\&\approx \left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{0}^{\infty }{}{{p}^{2}}dp\ln \left(1+\xi {{e}^{-\beta {{E}_{j}}}}\right)=\left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{0}^{\infty }{}{{p}^{2}}dp\ln \left(1+\xi {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}\right)\\\end{aligned}}}
Partielle Integration:
ln
Y
≈
(
2
s
+
1
)
(
V
h
3
)
4
π
∫
0
∞
p
2
d
p
ln
(
1
+
ξ
e
−
β
p
2
2
m
)
=
(
2
s
+
1
)
(
V
h
3
)
4
π
[
(
p
3
3
ln
(
1
+
ξ
e
−
β
p
2
2
m
)
)
|
0
∞
−
∫
0
∞
p
3
3
−
β
p
m
ξ
e
−
β
p
2
2
m
(
1
+
ξ
e
−
β
p
2
2
m
)
d
p
]
(
p
3
3
ln
(
1
+
ξ
e
−
β
p
2
2
m
)
)
|
0
∞
=
0
⇒
ln
Y
=
−
(
2
s
+
1
)
(
V
h
3
)
4
π
∫
0
∞
p
3
3
−
β
p
m
ξ
e
−
β
p
2
2
m
(
1
+
ξ
e
−
β
p
2
2
m
)
d
p
=
2
3
(
2
s
+
1
)
(
V
h
3
)
4
π
∫
0
∞
d
p
p
2
β
p
2
2
m
(
1
ξ
e
β
p
2
2
m
+
1
)
=
2
3
β
(
2
s
+
1
)
(
V
h
3
)
4
π
∫
0
∞
d
p
p
2
⟨
N
(
p
)
⟩
p
2
2
m
{\displaystyle {\begin{aligned}&\ln Y\approx \left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{0}^{\infty }{}{{p}^{2}}dp\ln \left(1+\xi {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}\right)\\&=\left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \left[\left.\left({\frac {{p}^{3}}{3}}\ln \left(1+\xi {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}\right)\right)\right|_{0}^{\infty }-\int _{0}^{\infty }{}{{\frac {p}{3}}^{3}}{\frac {-\beta {\frac {p}{m}}\xi {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}}{\left(1+\xi {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}\right)}}dp\right]\\&\left.\left({\frac {{p}^{3}}{3}}\ln \left(1+\xi {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}\right)\right)\right|_{0}^{\infty }=0\\&\Rightarrow \ln Y=-\left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{0}^{\infty }{}{{\frac {p}{3}}^{3}}{\frac {-\beta {\frac {p}{m}}\xi {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}}{\left(1+\xi {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}\right)}}dp={\frac {2}{3}}\left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{0}^{\infty }{}dp{{p}^{2}}{\frac {\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}{\left({\frac {1}{\xi }}{{e}^{\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}+1\right)}}\\&={\frac {2}{3}}\beta \left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{0}^{\infty }{}dp{{p}^{2}}\left\langle N(p)\right\rangle {\frac {{p}^{2}}{2m}}\\\end{aligned}}}
Mit der Fermi- Verteilung
⟨
N
(
p
)
⟩
{\displaystyle \left\langle N(p)\right\rangle }
, also:
ln
Y
=
2
3
β
(
2
s
+
1
)
(
V
h
3
)
4
π
∫
0
∞
d
p
p
2
⟨
N
(
p
)
⟩
E
(
p
)
{\displaystyle \ln Y={\frac {2}{3}}\beta \left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{0}^{\infty }{}dp{{p}^{2}}\left\langle N(p)\right\rangle E(p)}
Diskret:
ln
Y
=
2
3
β
∑
j
=
1
l
⟨
N
j
⟩
E
j
=
2
3
β
U
U
=
⟨
E
g
e
s
.
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}&\ln Y={\frac {2}{3}}\beta \sum \limits _{j=1}^{l}{}\left\langle {{N}_{j}}\right\rangle {{E}_{j}}={\frac {2}{3}}\beta U\\&U=\left\langle {{E}^{ges.}}\right\rangle \\\end{aligned}}}
Somit haben wir die thermische Zustands-Gleichung
p
V
=
k
T
ln
Y
=
2
3
U
=
2
3
⟨
E
g
e
s
.
⟩
{\displaystyle pV=kT\ln Y={\frac {2}{3}}U={\frac {2}{3}}\left\langle {{E}^{ges.}}\right\rangle }
Bemerkungen
Dies gilt auch für ein klassisches ideales Gas!
Klassisch:
p
V
=
N
¯
k
T
U
=
3
2
N
¯
k
T
⇒
p
V
=
2
3
U
{\displaystyle {\begin{aligned}&pV={\bar {N}}kT\\&U={\frac {3}{2}}{\bar {N}}kT\\&\Rightarrow pV={\frac {2}{3}}U\\\end{aligned}}}
Später werden wir sehen: Das gilt auch für Bose- Verteilung!!
Also unabhängig von der speziellen Statistik!
Entartetes Fermi-Gas
Klassischer Grenzfall der Fermi- Verteilung:
⟨
N
(
p
)
⟩
=
1
(
1
ξ
e
β
p
2
2
m
+
1
)
≈
ξ
e
−
β
p
2
2
m
{\displaystyle \left\langle N\left(p\right)\right\rangle ={\frac {1}{\left({\frac {1}{\xi }}{{e}^{\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}+1\right)}}\approx \xi {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}}
(Maxwell- Boltzmann- Verteilung)
für
ξ
=
e
μ
k
T
<<
1
⇒
μ
<
0
{\displaystyle \xi ={{e}^{\frac {\mu }{kT}}}<<1\Rightarrow \mu <0}
(stark verdünnt)
klassischer Limes!
Merke positives chemisches Potenzial ist ein QM- Grenzfall!!
Nichtklassischer Grenzfall ("Fermi- Entartung ")
Für
ξ
>>
1
{\displaystyle \xi >>1}
(Grenzfall hoher Dichte!)
Gesamte Teilchenzahl:
N
¯
=
(
2
s
+
1
)
(
V
h
3
)
4
π
∫
0
∞
d
p
p
2
1
(
e
β
(
p
2
2
m
−
μ
)
+
1
)
{\displaystyle {\bar {N}}=\left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{0}^{\infty }{}dp{{p}^{2}}{\frac {1}{\left({{e}^{\beta \left({\frac {{p}^{2}}{2m}}-\mu \right)}}+1\right)}}}
Innere Energie:
U
=
(
2
s
+
1
)
(
V
h
3
)
4
π
∫
0
∞
d
p
p
2
p
2
2
m
(
e
β
(
p
2
2
m
−
μ
)
+
1
)
{\displaystyle U=\left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{0}^{\infty }{}dp{{p}^{2}}{\frac {\frac {{p}^{2}}{2m}}{\left({{e}^{\beta \left({\frac {{p}^{2}}{2m}}-\mu \right)}}+1\right)}}}
Substitution
p
2
2
m
k
T
=
y
p
d
p
=
m
k
T
d
y
μ
k
T
=
η
=
−
α
N
¯
=
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
k
T
)
3
2
∫
0
∞
d
y
y
1
2
(
e
y
−
η
+
1
)
U
=
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
k
T
)
3
2
k
T
∫
0
∞
d
y
y
3
2
(
e
y
−
η
+
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {{p}^{2}}{2mkT}}=y\\&pdp=mkTdy\\&{\frac {\mu }{kT}}=\eta =-\alpha \\&{\bar {N}}={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{\frac {1}{2}}}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}\\&U={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}kT\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{\frac {3}{2}}}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}\\\end{aligned}}}
Definition: Fermi- Dirac- Integral der Ordnung s:
F
s
(
η
)
:=
1
Γ
(
s
+
1
)
∫
0
∞
d
y
y
s
(
e
y
−
η
+
1
)
s
>
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{F}_{s}}\left(\eta \right):={\frac {1}{\Gamma \left(s+1\right)}}\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{s}}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}\\&s>0\\\end{aligned}}}
Entwicklung für
η
>>
1
⇒
ξ
>>
1
{\displaystyle \eta >>1\Rightarrow \xi >>1}
, also Entartung:
Γ
(
s
+
1
)
F
s
(
η
)
:=
∫
0
∞
d
y
y
s
(
e
y
−
η
+
1
)
=
1
s
+
1
∫
0
∞
d
y
d
d
y
(
y
s
+
1
)
1
(
e
y
−
η
+
1
)
=
1
s
+
1
[
(
y
s
+
1
)
1
(
e
y
−
η
+
1
)
]
|
0
∞
+
1
s
+
1
∫
0
∞
d
y
y
s
+
1
e
y
−
η
(
e
y
−
η
+
1
)
2
1
s
+
1
[
(
y
s
+
1
)
1
(
e
y
−
η
+
1
)
]
|
0
∞
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma \left(s+1\right){{F}_{s}}\left(\eta \right):=\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{s}}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}={\frac {1}{s+1}}\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {d}{dy}}\left({{y}^{s+1}}\right){\frac {1}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}\\&={\frac {1}{s+1}}\left.\left[\left({{y}^{s+1}}\right){\frac {1}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}\right]\right|_{0}^{\infty }+{\frac {1}{s+1}}\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{s+1}}{\frac {{e}^{y-\eta }}{{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}^{2}}}\\&{\frac {1}{s+1}}\left.\left[\left({{y}^{s+1}}\right){\frac {1}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}\right]\right|_{0}^{\infty }=0\\\end{aligned}}}
weitere Substitution:
x
=
y
−
η
⇒
Γ
(
s
+
1
)
F
s
(
η
)
=
1
s
+
1
∫
0
∞
d
y
y
s
+
1
e
y
−
η
(
e
y
−
η
+
1
)
2
=
1
s
+
1
∫
−
η
∞
d
x
(
x
+
η
)
s
+
1
e
x
(
e
x
+
1
)
2
η
>>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&x=y-\eta \\&\Rightarrow \Gamma \left(s+1\right){{F}_{s}}\left(\eta \right)={\frac {1}{s+1}}\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{s+1}}{\frac {{e}^{y-\eta }}{{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}^{2}}}={\frac {1}{s+1}}\int _{-\eta }^{\infty }{}dx{{\left(x+\eta \right)}^{s+1}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}\\&\eta >>1\\\end{aligned}}}
Somit kann man die Grenzen erweitern, da
η
>>
1
{\displaystyle \eta >>1}
x
=
y
−
η
⇒
Γ
(
s
+
1
)
F
s
(
η
)
=
1
s
+
1
∫
−
η
∞
d
x
(
x
+
η
)
s
+
1
e
x
(
e
x
+
1
)
2
≈
1
s
+
1
∫
−
∞
∞
d
x
(
x
+
η
)
s
+
1
e
x
(
e
x
+
1
)
2
+
O
(
e
−
η
)
O
(
e
−
η
)
<<
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&x=y-\eta \\&\Rightarrow \Gamma \left(s+1\right){{F}_{s}}\left(\eta \right)={\frac {1}{s+1}}\int _{-\eta }^{\infty }{}dx{{\left(x+\eta \right)}^{s+1}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}\approx {\frac {1}{s+1}}\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{{\left(x+\eta \right)}^{s+1}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}+O\left({{e}^{-\eta }}\right)\\&O\left({{e}^{-\eta }}\right)<<1\\\end{aligned}}}
Dies kann man durch Entwicklung von
(
x
+
η
)
s
+
1
{\displaystyle {{\left(x+\eta \right)}^{s+1}}}
lösen:
(
x
+
η
)
s
+
1
≈
(
η
)
s
+
1
+
(
s
+
1
)
(
η
)
s
x
+
s
(
s
+
1
)
2
(
η
)
s
−
1
x
2
+
.
.
.
.
{\displaystyle {{\left(x+\eta \right)}^{s+1}}\approx {{\left(\eta \right)}^{s+1}}+\left(s+1\right){{\left(\eta \right)}^{s}}x+{\frac {s\left(s+1\right)}{2}}{{\left(\eta \right)}^{s-1}}{{x}^{2}}+....}
Somit:
Γ
(
s
+
1
)
F
s
(
η
)
=
1
s
+
1
∫
−
η
∞
d
x
(
x
+
η
)
s
+
1
e
x
(
e
x
+
1
)
2
≈
1
s
+
1
∫
−
∞
∞
d
x
(
x
+
η
)
s
+
1
e
x
(
e
x
+
1
)
2
+
O
(
e
−
η
)
≈
1
s
+
1
∫
−
∞
∞
d
x
(
η
)
s
+
1
e
x
(
e
x
+
1
)
2
+
∫
−
∞
∞
d
x
(
η
)
s
x
e
x
(
e
x
+
1
)
2
+
s
2
∫
−
∞
∞
d
x
(
η
)
s
−
1
x
2
e
x
(
e
x
+
1
)
2
=
(
η
)
s
+
1
s
+
1
∫
−
∞
∞
d
x
e
x
(
e
x
+
1
)
2
+
(
η
)
s
∫
−
∞
∞
d
x
x
e
x
(
e
x
+
1
)
2
+
s
2
(
η
)
s
−
1
∫
−
∞
∞
d
x
x
2
e
x
(
e
x
+
1
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma \left(s+1\right){{F}_{s}}\left(\eta \right)={\frac {1}{s+1}}\int _{-\eta }^{\infty }{}dx{{\left(x+\eta \right)}^{s+1}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}\approx {\frac {1}{s+1}}\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{{\left(x+\eta \right)}^{s+1}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}+O\left({{e}^{-\eta }}\right)\\&\approx {\frac {1}{s+1}}\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{{\left(\eta \right)}^{s+1}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}+\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{{\left(\eta \right)}^{s}}x{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}+{\frac {s}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{{\left(\eta \right)}^{s-1}}{{x}^{2}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}\\&={\frac {{\left(\eta \right)}^{s+1}}{s+1}}\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}+{{\left(\eta \right)}^{s}}\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{\frac {x{{e}^{x}}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}+{\frac {s}{2}}{{\left(\eta \right)}^{s-1}}\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{{x}^{2}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}\\\end{aligned}}}
Für die Terme gilt im Einzelnen:
∫
−
∞
∞
d
x
e
x
(
e
x
+
1
)
2
=
[
−
1
(
e
x
+
1
)
]
−
∞
∞
=
1
∫
−
∞
∞
d
x
x
e
x
(
e
x
+
1
)
2
=
0
d
a
I
n
t
e
g
r
a
n
d
u
n
g
e
r
a
d
e
∫
−
∞
∞
d
x
x
2
e
x
(
e
x
+
1
)
2
:=
I
{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}=\left[{\frac {-1}{\left({{e}^{x}}+1\right)}}\right]_{-\infty }^{\infty }=1\\&\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{\frac {x{{e}^{x}}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}=0\quad da\ Integrand\ ungerade\\&\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{{x}^{2}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}:=I\\\end{aligned}}}
Bleibt Integral I zu lösen:
I
=
∫
−
∞
∞
d
x
x
2
e
x
(
e
x
+
1
)
2
=
2
∫
0
∞
d
x
x
2
e
x
(
e
x
+
1
)
2
=
−
2
[
x
2
1
(
e
x
+
1
)
]
0
∞
+
4
∫
0
∞
d
x
x
(
e
x
+
1
)
[
x
2
1
(
e
x
+
1
)
]
0
∞
=
0
∫
0
∞
d
x
x
(
e
x
+
1
)
=
π
2
12
⇒
I
=
π
2
3
{\displaystyle {\begin{aligned}&I=\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{{x}^{2}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}=2\int _{0}^{\infty }{}dx{{x}^{2}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}=-2\left[{{x}^{2}}{\frac {1}{\left({{e}^{x}}+1\right)}}\right]_{0}^{\infty }+4\int _{0}^{\infty }{}dx{\frac {x}{\left({{e}^{x}}+1\right)}}\\&\left[{{x}^{2}}{\frac {1}{\left({{e}^{x}}+1\right)}}\right]_{0}^{\infty }=0\\&\int _{0}^{\infty }{}dx{\frac {x}{\left({{e}^{x}}+1\right)}}={\frac {{\pi }^{2}}{12}}\\&\Rightarrow I={\frac {{\pi }^{2}}{3}}\\\end{aligned}}}
Somit ergibt sich das Fermi- Dirac- Integral gemäß
Γ
(
s
+
1
)
F
s
(
η
)
≈
(
η
)
s
+
1
s
+
1
+
s
2
(
η
)
s
−
1
π
2
3
Γ
(
s
+
1
)
F
s
(
η
)
=
(
η
)
s
+
1
s
+
1
+
s
2
(
η
)
s
−
1
π
2
3
+
O
(
(
η
)
s
−
3
)
⇒
F
s
(
η
)
=
1
Γ
(
s
+
1
)
[
(
η
)
s
+
1
s
+
1
+
s
π
2
6
(
η
)
s
−
1
+
O
(
(
η
)
s
−
3
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma \left(s+1\right){{F}_{s}}\left(\eta \right)\approx {\frac {{\left(\eta \right)}^{s+1}}{s+1}}+{\frac {s}{2}}{{\left(\eta \right)}^{s-1}}{\frac {{\pi }^{2}}{3}}\\&\Gamma \left(s+1\right){{F}_{s}}\left(\eta \right)={\frac {{\left(\eta \right)}^{s+1}}{s+1}}+{\frac {s}{2}}{{\left(\eta \right)}^{s-1}}{\frac {{\pi }^{2}}{3}}+O\left({{\left(\eta \right)}^{s-3}}\right)\\&\Rightarrow {{F}_{s}}\left(\eta \right)={\frac {1}{\Gamma \left(s+1\right)}}\left[{\frac {{\left(\eta \right)}^{s+1}}{s+1}}+{\frac {s{{\pi }^{2}}}{6}}{{\left(\eta \right)}^{s-1}}+O\left({{\left(\eta \right)}^{s-3}}\right)\right]\\\end{aligned}}}
Speziell:
F
1
2
(
η
)
≈
2
π
[
(
η
)
3
2
3
2
+
π
2
12
(
η
)
−
1
2
]
F
3
2
(
η
)
≈
4
3
π
[
(
η
)
5
2
5
2
+
π
2
4
(
η
)
1
2
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{F}_{\frac {1}{2}}}\left(\eta \right)\approx {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left[{\frac {{\left(\eta \right)}^{\frac {3}{2}}}{\frac {3}{2}}}+{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left(\eta \right)}^{-{\frac {1}{2}}}}\right]\\&{{F}_{\frac {3}{2}}}\left(\eta \right)\approx {\frac {4}{3{\sqrt {\pi }}}}\left[{\frac {{\left(\eta \right)}^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+{\frac {{\pi }^{2}}{4}}{{\left(\eta \right)}^{\frac {1}{2}}}\right]\\\end{aligned}}}
Also:
N
¯
=
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
k
T
)
3
2
∫
0
∞
d
y
y
1
2
(
e
y
−
η
+
1
)
=
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
k
T
)
3
2
[
2
3
(
μ
k
T
)
3
2
+
π
2
12
(
μ
k
T
)
−
1
2
]
⇒
N
¯
=
2
3
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
μ
)
3
2
[
1
+
π
2
8
(
k
T
μ
)
2
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\bar {N}}={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{\frac {1}{2}}}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}\left[{\frac {2}{3}}{{\left({\frac {\mu }{kT}}\right)}^{\frac {3}{2}}}+{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left({\frac {\mu }{kT}}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}}\right]\\&\Rightarrow {\bar {N}}={\frac {2}{3}}{\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2m\mu \right)}^{\frac {3}{2}}}\left[1+{\frac {{\pi }^{2}}{8}}{{\left({\frac {kT}{\mu }}\right)}^{2}}\right]\\\end{aligned}}}
Definition: Fermi- Energie:
E
F
:=
μ
(
T
=
0
,
N
¯
,
V
)
{\displaystyle {{E}_{F}}:=\mu \left(T=0,{\bar {N}},V\right)}
Bei T= 0 Kelvin sind die Zustände mit
E
<
E
F
{\displaystyle E<{{E}_{F}}}
voll besetzt, die anderen leer!
Wir können dann
μ
(
T
=
0
,
N
¯
,
V
)
{\displaystyle \mu \left(T=0,{\bar {N}},V\right)}
durch
E
F
{\displaystyle {{E}_{F}}}
und
N
¯
{\displaystyle {\bar {N}}}
eliminieren:
T→0
N
¯
=
2
3
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
μ
)
3
2
[
1
+
π
2
8
(
k
T
μ
)
2
]
=
2
3
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
E
F
)
3
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\bar {N}}={\frac {2}{3}}{\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2m\mu \right)}^{\frac {3}{2}}}\left[1+{\frac {{\pi }^{2}}{8}}{{\left({\frac {kT}{\mu }}\right)}^{2}}\right]={\frac {2}{3}}{\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2m{{E}_{F}}\right)}^{\frac {3}{2}}}\\&\\\end{aligned}}}
Für größere Temperaturen T>0 wird nun
N
¯
=
2
3
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
E
F
)
3
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\bar {N}}={\frac {2}{3}}{\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2m{{E}_{F}}\right)}^{\frac {3}{2}}}\\&\\\end{aligned}}}
in niedrigster Ordnung in
k
T
E
F
{\displaystyle {\frac {kT}{{E}_{F}}}}
entwickelt und diese Entwicklung dann eingesetzt in die Formel
N
¯
=
2
3
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
μ
)
3
2
[
1
+
π
2
8
(
k
T
μ
)
2
]
=
2
3
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
E
F
)
3
2
⇒
(
μ
)
3
2
[
1
+
π
2
8
(
k
T
μ
)
2
]
≈
(
E
F
)
3
2
⇒
μ
≈
E
F
[
1
+
π
2
8
(
k
T
μ
)
2
]
−
2
3
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\bar {N}}={\frac {2}{3}}{\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2m\mu \right)}^{\frac {3}{2}}}\left[1+{\frac {{\pi }^{2}}{8}}{{\left({\frac {kT}{\mu }}\right)}^{2}}\right]={\frac {2}{3}}{\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2m{{E}_{F}}\right)}^{\frac {3}{2}}}\\&\Rightarrow {{\left(\mu \right)}^{\frac {3}{2}}}\left[1+{\frac {{\pi }^{2}}{8}}{{\left({\frac {kT}{\mu }}\right)}^{2}}\right]\approx {{\left({{E}_{F}}\right)}^{\frac {3}{2}}}\\&\Rightarrow \mu \approx {{E}_{F}}{{\left[1+{\frac {{\pi }^{2}}{8}}{{\left({\frac {kT}{\mu }}\right)}^{2}}\right]}^{-{\frac {2}{3}}}}\\\end{aligned}}}
Jetzt wird in niedrigster Ordnung in
k
T
E
F
{\displaystyle {\frac {kT}{{E}_{F}}}}
entwickelt:
Das heißt, für kT=1 zeigt µ über Ef etwa folgenden verlauf:
die Kurve wird für höhere Temperaturen immer weiter auseinandergedehnt!
Innere Energie
U
=
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
k
T
)
3
2
k
T
∫
0
∞
d
y
y
3
2
(
e
y
−
η
+
1
)
F
3
2
(
η
)
≈
4
3
π
[
(
η
)
5
2
5
2
+
π
2
4
(
η
)
1
2
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&U={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}kT\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{\frac {3}{2}}}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}\\&{{F}_{\frac {3}{2}}}\left(\eta \right)\approx {\frac {4}{3{\sqrt {\pi }}}}\left[{\frac {{\left(\eta \right)}^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+{\frac {{\pi }^{2}}{4}}{{\left(\eta \right)}^{\frac {1}{2}}}\right]\\\end{aligned}}}
Also:
U
=
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
)
3
2
(
k
T
)
5
2
[
2
5
(
μ
k
T
)
5
2
+
π
2
4
(
μ
k
T
)
1
2
]
=
2
5
(
V
h
3
)
4
π
(
2
s
+
1
)
2
(
2
m
)
3
2
(
μ
)
5
2
[
1
+
5
2
π
2
4
(
k
T
μ
)
2
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&U={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2m\right)}^{\frac {3}{2}}}{{\left(kT\right)}^{\frac {5}{2}}}\left[{\frac {2}{5}}{{\left({\frac {\mu }{kT}}\right)}^{\frac {5}{2}}}+{\frac {{\pi }^{2}}{4}}{{\left({\frac {\mu }{kT}}\right)}^{\frac {1}{2}}}\right]\\&={\frac {2}{5}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {\frac {\left(2s+1\right)}{2}}{{\left(2m\right)}^{\frac {3}{2}}}{{\left(\mu \right)}^{\frac {5}{2}}}\left[1+{\frac {5}{2}}{\frac {{\pi }^{2}}{4}}{{\left({\frac {kT}{\mu }}\right)}^{2}}\right]\\\end{aligned}}}
Verwende:
So dass:
U
=
2
5
(
V
h
3
)
4
π
(
2
s
+
1
)
2
(
2
m
)
3
2
(
μ
)
5
2
[
1
+
5
2
π
2
4
(
k
T
μ
)
2
]
≈
2
5
(
V
h
3
)
4
π
(
2
s
+
1
)
2
(
2
m
)
3
2
(
E
F
)
5
2
[
1
−
π
2
12
(
k
T
E
F
)
2
]
5
2
[
1
+
5
2
π
2
4
(
k
T
E
F
)
2
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&U={\frac {2}{5}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {\frac {\left(2s+1\right)}{2}}{{\left(2m\right)}^{\frac {3}{2}}}{{\left(\mu \right)}^{\frac {5}{2}}}\left[1+{\frac {5}{2}}{\frac {{\pi }^{2}}{4}}{{\left({\frac {kT}{\mu }}\right)}^{2}}\right]\\&\approx {\frac {2}{5}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {\frac {\left(2s+1\right)}{2}}{{\left(2m\right)}^{\frac {3}{2}}}{{\left({{E}_{F}}\right)}^{\frac {5}{2}}}{{\left[1-{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\right]}^{\frac {5}{2}}}\left[1+{\frac {5}{2}}{\frac {{\pi }^{2}}{4}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\right]\\\end{aligned}}}
Mit
N
¯
=
2
3
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
E
F
)
3
2
{\displaystyle {\bar {N}}={\frac {2}{3}}{\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2m{{E}_{F}}\right)}^{\frac {3}{2}}}}
folgt:
U
≈
2
5
(
V
h
3
)
4
π
(
2
s
+
1
)
2
(
2
m
)
3
2
(
E
F
)
5
2
[
1
−
π
2
12
(
k
T
E
F
)
2
]
5
2
[
1
+
5
2
π
2
4
(
k
T
E
F
)
2
]
2
5
(
V
h
3
)
4
π
(
2
s
+
1
)
2
(
2
m
)
3
2
(
E
F
)
5
2
≈
3
5
N
¯
E
F
[
1
−
π
2
12
(
k
T
E
F
)
2
]
5
2
[
1
+
5
2
π
2
4
(
k
T
E
F
)
2
]
≈
1
+
5
π
2
12
(
k
T
E
F
)
2
⇒
U
≈
3
5
N
¯
E
F
[
1
+
5
π
2
12
(
k
T
E
F
)
2
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&U\approx {\frac {2}{5}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {\frac {\left(2s+1\right)}{2}}{{\left(2m\right)}^{\frac {3}{2}}}{{\left({{E}_{F}}\right)}^{\frac {5}{2}}}{{\left[1-{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\right]}^{\frac {5}{2}}}\left[1+{\frac {5}{2}}{\frac {{\pi }^{2}}{4}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\right]\\&{\frac {2}{5}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {\frac {\left(2s+1\right)}{2}}{{\left(2m\right)}^{\frac {3}{2}}}{{\left({{E}_{F}}\right)}^{\frac {5}{2}}}\approx {\frac {3}{5}}{\bar {N}}{{E}_{F}}\\&{{\left[1-{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\right]}^{\frac {5}{2}}}\left[1+{\frac {5}{2}}{\frac {{\pi }^{2}}{4}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\right]\approx 1+5{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\\&\Rightarrow U\approx {\frac {3}{5}}{\bar {N}}{{E}_{F}}\left[1+5{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\right]\\\end{aligned}}}
Somit haben wir die kalorische Zustandsgleichung
U
≈
3
5
N
¯
E
F
[
1
+
5
π
2
12
(
k
T
E
F
)
2
]
{\displaystyle U\approx {\frac {3}{5}}{\bar {N}}{{E}_{F}}\left[1+5{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\right]}
und die thermische Zustandsgleichung
p
V
=
2
3
U
≈
2
5
N
¯
E
F
[
1
+
5
π
2
12
(
k
T
E
F
)
2
]
{\displaystyle pV={\frac {2}{3}}U\approx {\frac {2}{5}}{\bar {N}}{{E}_{F}}\left[1+5{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\right]}
Das bedeutet:
Der Druck des fermigases ist um einen Faktor
E
F
k
T
{\displaystyle {\frac {{E}_{F}}{kT}}}
größer als in klassischen idealen Gasen
Beispiel:
E
F
≈
1
e
V
⇒
T
~
10
4
K
{\displaystyle {{E}_{F}}\approx 1eV\Rightarrow T{\tilde {\ }}{{10}^{4}}K}
1 eV entspricht 10.000 K!!
Grund ist das Pauli- Prinzip!!
Also eine effektive Abstoßung der Teilchen! Dies bewirkt für niedrige Temperaturen den enormen Faktor
E
F
k
T
{\displaystyle {\frac {{E}_{F}}{kT}}}
,
mit dem der Druck gegenüber dem idealen Gas zu multiplizieren ist.
Für sehr hohe Temperaturen überwiegt dann der hintere teil, und es gilt:
Der Fermidruck ist etwa
p
V
=
2
3
U
≈
2
5
N
¯
E
F
5
π
2
12
(
k
T
E
F
)
2
=
π
2
6
N
¯
k
T
(
k
T
E
F
)
{\displaystyle pV={\frac {2}{3}}U\approx {\frac {2}{5}}{\bar {N}}{{E}_{F}}5{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}={\frac {{\pi }^{2}}{6}}{\bar {N}}kT\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}
Also auch größer als beim klassischen idealen Gas, nämlich um den Faktor
(
k
T
E
F
)
{\displaystyle \left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}
!
Spezifische Wärme
C
V
=
(
∂
U
∂
T
)
V
=
π
2
2
N
¯
k
(
k
T
E
F
)
c
V
=
π
2
2
R
(
k
T
E
F
)
~
T
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{C}_{V}}={{\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)}_{V}}={\frac {{\pi }^{2}}{2}}{\bar {N}}k\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)\\&{{c}_{V}}={\frac {{\pi }^{2}}{2}}R\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right){\tilde {\ }}T\\\end{aligned}}}
Die Wärmekapazität ist sage und schreibe um den Faktor
(
k
T
E
F
)
{\displaystyle \left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}
kleiner als bei idealen gasen.
Bei T ~ 300 K ist dies 1/ 40!
ideales Gas:
c
V
=
3
2
R
{\displaystyle {{c}_{V}}={\frac {3}{2}}R}
Physikalsicher Grund:
Nur die Teilchen in der " Aufweichungszone"
E
F
−
k
T
<
E
<
E
F
+
k
T
{\displaystyle {{E}_{F}}-kT<E<{{E}_{F}}+kT}
tragen zur spezifischen Wärme bei, da nur sie in freie Zustände thermisch angeregt werden könen :
Zahl:
Δ
N
~
N
¯
k
T
E
F
{\displaystyle \Delta N{\tilde {\ }}{\bar {N}}{\frac {kT}{{E}_{F}}}}
jedes hat Energie ~ kT
⇒
Δ
U
~
N
¯
(
k
T
)
2
E
F
⇒
C
v
~
N
¯
k
(
k
T
)
E
F
{\displaystyle {\begin{aligned}&\Rightarrow \Delta U{\tilde {\ }}{\bar {N}}{\frac {{\left(kT\right)}^{2}}{{E}_{F}}}\\&\Rightarrow {{C}_{v}}{\tilde {\ }}{\bar {N}}k{\frac {\left(kT\right)}{{E}_{F}}}\\\end{aligned}}}
Beispiele für entartete Fermigase
Elektronen in Metallen → hohe Dichten!
Elektronen in Halbleitern, bei sehr tiefen Temperaturen oder hoher Dotierung!
Nichtenatartetes fermigas
verdünntes, nichtrelativistisches Quantengas!
z.B. Elektronen in Halbleitern im Normalbereich!
Voraussetzung:
ξ
=
e
μ
k
T
<<
1
{\displaystyle \xi ={{e}^{\frac {\mu }{kT}}}<<1}
das heißt:
μ
<
0
η
=
μ
k
T
<
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&\mu <0\\&\eta ={\frac {\mu }{kT}}<0\\\end{aligned}}}
Entwicklung der Fermi- Dirac- Integrale nach Potenzen von
ξ
=
e
μ
k
T
<<
1
{\displaystyle \xi ={{e}^{\frac {\mu }{kT}}}<<1}
F
s
(
η
)
=
1
Γ
(
s
+
1
)
∫
0
∞
d
y
y
s
e
y
−
η
+
1
=
1
Γ
(
s
+
1
)
∫
0
∞
d
y
y
s
ξ
e
−
y
1
+
ξ
e
−
y
≈
1
Γ
(
s
+
1
)
[
ξ
∫
0
∞
d
y
y
s
e
−
y
−
ξ
2
∫
0
∞
d
y
y
s
e
−
2
y
+
.
.
.
.
]
∫
0
∞
d
y
y
s
e
−
y
=
Γ
(
s
+
1
)
∫
0
∞
d
y
y
s
e
−
2
y
=
1
2
s
+
1
∫
0
∞
d
z
z
s
e
−
z
=
1
2
s
+
1
Γ
(
s
+
1
)
⇒
F
s
(
η
)
≈
[
ξ
−
ξ
2
1
2
s
+
1
+
.
.
.
.
]
≈
[
ξ
−
ξ
2
1
2
s
+
1
]
=
e
μ
k
T
[
1
−
e
μ
k
T
1
2
s
+
1
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{F}_{s}}\left(\eta \right)={\frac {1}{\Gamma \left(s+1\right)}}\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{s}}{{{e}^{y-\eta }}+1}}\\&={\frac {1}{\Gamma \left(s+1\right)}}\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{s}}{\frac {\xi {{e}^{-y}}}{1+\xi {{e}^{-y}}}}\approx {\frac {1}{\Gamma \left(s+1\right)}}\left[\xi \int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{s}}{{e}^{-y}}-{{\xi }^{2}}\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{s}}{{e}^{-2y}}+....\right]\\&\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{s}}{{e}^{-y}}=\Gamma \left(s+1\right)\\&\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{s}}{{e}^{-2y}}={\frac {1}{{2}^{s+1}}}\int _{0}^{\infty }{}dz{{z}^{s}}{{e}^{-z}}={\frac {1}{{2}^{s+1}}}\Gamma \left(s+1\right)\\&\Rightarrow {{F}_{s}}\left(\eta \right)\approx \left[\xi -{{\xi }^{2}}{\frac {1}{{2}^{s+1}}}+....\right]\approx \left[\xi -{{\xi }^{2}}{\frac {1}{{2}^{s+1}}}\right]={{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\left[1-{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}{\frac {1}{{2}^{s+1}}}\right]\\\end{aligned}}}
Dabei ist
F
s
(
η
)
=
e
μ
k
T
{\displaystyle {{F}_{s}}\left(\eta \right)={{e}^{\frac {\mu }{kT}}}}
das Boltzman- Limit mit der Quantenkorrektur
−
e
2
μ
k
T
1
2
s
+
1
{\displaystyle -{{e}^{2{\frac {\mu }{kT}}}}{\frac {1}{{2}^{s+1}}}}
Also:
N
¯
=
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
k
T
)
3
2
π
2
F
1
2
(
η
)
=
V
N
C
F
1
2
(
μ
k
T
)
{\displaystyle {\bar {N}}={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}{{F}_{\frac {1}{2}}}\left(\eta \right)=V{{N}_{C}}{{F}_{\frac {1}{2}}}\left({\frac {\mu }{kT}}\right)}
mit der Entartungskonzentration
N
C
:=
(
2
s
+
1
)
(
2
π
m
k
T
h
2
)
3
2
{\displaystyle {{N}_{C}}:=\left(2s+1\right){{\left({\frac {2\pi mkT}{{h}^{2}}}\right)}^{\frac {3}{2}}}}
Also genähert:
N
¯
=
V
N
C
F
1
2
(
μ
k
T
)
≈
V
N
C
e
μ
k
T
[
1
−
e
μ
k
T
1
2
3
2
]
{\displaystyle {\bar {N}}=V{{N}_{C}}{{F}_{\frac {1}{2}}}\left({\frac {\mu }{kT}}\right)\approx V{{N}_{C}}{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\left[1-{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}{\frac {1}{{2}^{\frac {3}{2}}}}\right]}
Bei vollständiger Nichtentartung:
N
¯
V
≈
N
C
e
μ
k
T
e
μ
k
T
<<
1
N
¯
V
<<
N
C
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\bar {N}}{V}}\approx {{N}_{C}}{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\\&{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}<<1\\&{\frac {\bar {N}}{V}}<<{{N}_{C}}\\\end{aligned}}}
Die klassische Maxwell- Boltzmann- Verteilung (vergl. S. 101)
U
=
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
k
T
)
3
2
k
T
∫
0
∞
d
y
y
3
2
(
e
y
−
η
+
1
)
=
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
k
T
)
3
2
k
T
3
π
4
F
3
2
(
μ
k
T
)
U
=
V
N
C
3
2
k
T
F
3
2
(
μ
k
T
)
U
≈
V
N
C
3
2
k
T
e
μ
k
T
[
1
−
e
μ
k
T
1
2
5
2
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&U={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}kT\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{\frac {3}{2}}}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}kT{\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}{{F}_{\frac {3}{2}}}\left({\frac {\mu }{kT}}\right)\\&U=V{{N}_{C}}{\frac {3}{2}}kT{{F}_{\frac {3}{2}}}\left({\frac {\mu }{kT}}\right)\\&U\approx V{{N}_{C}}{\frac {3}{2}}kT{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\left[1-{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}{\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}\right]\\\end{aligned}}}
Elimination von
μ
{\displaystyle \mu }
durch
N
¯
=
V
N
C
F
1
2
(
μ
k
T
)
≈
V
N
C
ξ
[
1
−
ξ
2
−
3
2
]
{\displaystyle {\bar {N}}=V{{N}_{C}}{{F}_{\frac {1}{2}}}\left({\frac {\mu }{kT}}\right)\approx V{{N}_{C}}\xi \left[1-\xi {{2}^{-{\frac {3}{2}}}}\right]}
Näherung:
N
¯
=
V
N
C
ξ
{\displaystyle {\bar {N}}=V{{N}_{C}}\xi }
Näherung
N
¯
=
V
N
C
ξ
[
1
−
2
−
3
2
N
¯
V
N
C
]
⇒
ξ
=
e
μ
k
T
≈
N
¯
V
N
C
[
1
+
2
−
3
2
N
¯
V
N
C
]
⇒
U
≈
V
N
C
3
2
k
T
e
μ
k
T
[
1
−
e
μ
k
T
1
2
5
2
]
≈
3
2
k
T
N
¯
[
1
+
2
−
3
2
N
¯
V
N
C
]
[
1
−
1
2
5
2
N
¯
V
N
C
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\bar {N}}=V{{N}_{C}}\xi \left[1-{{2}^{-{\frac {3}{2}}}}{\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}}}\right]\\&\Rightarrow \xi ={{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\approx {\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}}}\left[1+{{2}^{-{\frac {3}{2}}}}{\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}}}\right]\\&\Rightarrow U\approx V{{N}_{C}}{\frac {3}{2}}kT{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\left[1-{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}{\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}\right]\approx {\frac {3}{2}}kT{\bar {N}}\left[1+{{2}^{-{\frac {3}{2}}}}{\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}}}\right]\left[1-{\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}{\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}}}\right]\\\end{aligned}}}
U
≈
3
2
k
T
N
¯
[
1
+
2
−
5
2
N
¯
V
N
C
(
T
)
]
{\displaystyle U\approx {\frac {3}{2}}kT{\bar {N}}\left[1+{{2}^{-{\frac {5}{2}}}}{\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}(T)}}\right]}
Dabei wurden alle Terme der Ordnung
(
N
¯
V
N
C
(
T
)
)
2
{\displaystyle {{\left({\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}(T)}}\right)}^{2}}}
weggenähert!
Also:
kalorische Zustandsgleichung
U
≈
3
2
k
T
N
¯
[
1
+
2
−
5
2
N
¯
V
N
C
(
T
)
]
{\displaystyle U\approx {\frac {3}{2}}kT{\bar {N}}\left[1+{{2}^{-{\frac {5}{2}}}}{\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}(T)}}\right]}
mit der Quantenkorrektur
O
(
N
¯
V
N
C
(
T
)
)
{\displaystyle O\left({\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}(T)}}\right)}
3
2
k
T
N
¯
2
−
5
2
N
¯
V
N
C
(
T
)
{\displaystyle {\frac {3}{2}}kT{\bar {N}}{{2}^{-{\frac {5}{2}}}}{\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}(T)}}}
thermische Zustandsgleichung
p
V
=
2
3
U
≈
k
T
N
¯
[
1
+
2
−
5
2
N
¯
V
N
C
(
T
)
]
{\displaystyle pV={\frac {2}{3}}U\approx kT{\bar {N}}\left[1+{{2}^{-{\frac {5}{2}}}}{\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}(T)}}\right]}
Also:
p
v
≈
R
T
[
1
+
2
−
5
2
N
A
v
N
C
(
T
)
]
{\displaystyle pv\approx RT\left[1+{{2}^{-{\frac {5}{2}}}}{\frac {{N}_{A}}{v{{N}_{C}}(T)}}\right]}
Dabei ist
p
v
≈
R
T
{\displaystyle pv\approx RT}
die Zustandsgleichung des klassischen idealen Gases und
R
T
2
−
5
2
N
A
v
N
C
(
T
)
{\displaystyle RT{{2}^{-{\frac {5}{2}}}}{\frac {{N}_{A}}{v{{N}_{C}}(T)}}}
eine Erhöhung des klassischen Drucks durch die Fermi- Abstoßung!
Nebenbemerkung:
Mit der thermischen Wellenlänge
λ
:=
(
h
2
2
π
m
k
T
)
1
2
{\displaystyle \lambda :={{\left({\frac {{h}^{2}}{2\pi mkT}}\right)}^{\frac {1}{2}}}}
entsprechend der de Broglie-Wellenlänge für
k
2
ℏ
2
2
m
~
k
T
⇒
λ
=
(
h
2
2
m
k
T
)
1
2
{\displaystyle {\frac {{{k}^{2}}{{\hbar }^{2}}}{2m}}{\tilde {\ }}kT\Rightarrow \lambda ={{\left({\frac {{h}^{2}}{2mkT}}\right)}^{\frac {1}{2}}}}
E= kT also, schreibt man:
N
C
=
2
s
+
1
λ
3
{\displaystyle {{N}_{C}}={\frac {2s+1}{{\lambda }^{3}}}}