Das ideale Fermigas

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Das ideale Fermigas basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 2) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Das ideale Fermigas	Quantenmechanische Modellsysteme	Thermodynamik und Statistik
	Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen Das ideale Fermigas Das ideale Bosegas Das Photonengas im Strahlungshohlraum Spezifische Wärme zweiatomiger idealer Gase Spezifische Wärme von Festkörpern Paramagnetismus Ferromagnetismus	Grundlagen der Statistik Statistische Begründung der Gleichgewichtsthermodynamik Phänomenologische Thermodynamik Klassische Modellsysteme Quantenmechanische Modellsysteme

1. Teilchen- Zustände sind die Eigenzustände zur 1- Teilchen- Energie Ei

Großkanonischer Statistischer Operator:

${\hat {\rho }}={{Y}^{-1}}\exp \left(-\beta \left({\hat {H}}-\mu {\hat {N}}\right)\right)$

Die Wahrscheinlichkeit, das System in einem bestimmten Zustand zu finden ist gleich dem Erwartungswert des statistischen Operators in diesem Zustand:

Also für den Vielteilchenzustand $\left|\alpha \right\rangle$:

${{E}_{\alpha }}^{ges.}=\sum \limits _{j=1}^{l}{}{{E}_{j}}{{N}_{j}}$

mit der Einteilchenenergie Ej und den Besetzungszahlen Nj

Diese Wahrscheinlichkeit ist:

${{P}_{\alpha }}=\left\langle \alpha \right|{\hat {\rho }}\left|\alpha \right\rangle ={{Y}^{-1}}\left\langle \alpha \right|\exp \left(-\beta \left({\hat {H}}-\mu {\hat {N}}\right)\right)\left|\alpha \right\rangle ={{Y}^{-1}}\exp \left(-\beta \sum \limits _{j=1}^{l}{}\left({{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}}\right)\right)$

Dies ist ein Ergebnis für einen Zustand!

Die Großkanonsiche Zustandsumme Y gewinnt man, indem man über alle möglichen Vielteilchenzustände noch summiert, also:

$Y=\sum \limits _{{{N}_{1}}...{{N}_{l}}}^{}{}\exp \left(-\beta \sum \limits _{j=1}^{l}{}\left({{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}}\right)\right)=\prod \limits _{j=1}^{l}{}\left(\sum \limits _{{N}_{j}}^{}{}\exp \left(-\beta \left({{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}}\right)\right)\right)$

Jetzt muss bei der Auswertung die unterschiedliche Teilchenart berücksichtigt werden, nämlich in der Summation über Nj. Handelt es sich um Fermionen, so wird nur bis 1 summiert. Handelt es sich um Bosonen, so wird bis unendlich summiert!

Fermionen

${\begin{aligned}&Y=\sum \limits _{{{N}_{1}}...{{N}_{l}}=0}^{1}{}\exp \left(-\beta \sum \limits _{j=1}^{l}{}\left({{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}}\right)\right)=\prod \limits _{j=1}^{l}{}\left(\sum \limits _{{{N}_{j}}=0}^{1}{}\exp \left(-\beta \left({{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}}\right)\right)\right)\\&=\prod \limits _{j=1}^{l}{}\left(\sum \limits _{{{N}_{j}}=0}^{1}{}{{t}_{j}}^{{N}_{j}}\right)\\&{{t}_{j}}:=\exp \left(-\beta \left({{E}_{j}}-\mu \right)\right)\\&Y=\prod \limits _{j=1}^{l}{}\left(1+{{t}_{j}}\right)=\prod \limits _{j=1}^{l}{}{{Y}_{j}}\\\end{aligned}}$

Also folgt:

$P\left({{N}_{1}},...,{{N}_{l}}\right)=\prod \limits _{j=1}^{l}{}{\frac {{{t}_{j}}^{{N}_{j}}}{\left(1+{{t}_{j}}\right)}}=\prod \limits _{j=1}^{l}{}P\left({{N}_{j}}\right)$ separiert!!

Dies als Gesamtwahrscheinlichkeit, das System mit der Besetzung $\left({{N}_{1}},...,{{N}_{l}}\right)$ zu finden!

Mittlere Besetzungszahl im Einteilchenzustand ${{E}_{j}}$:

Aus $P\left({{N}_{j}}\right)=\exp \left({{\Psi }_{j}}-\beta {{E}_{j}}-\alpha {{N}_{j}}\right)$ mit

${\begin{aligned}&{{\Psi }_{j}}=-\ln {{Y}_{j}}=-\ln \left(1+{{t}_{j}}\right)\\&\alpha =-\beta \mu \\\end{aligned}}$

folgt:

$\left\langle {{N}_{j}}\right\rangle ={\frac {\partial {{\Psi }_{j}}}{\partial \alpha }}={\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\ln {{Y}_{j}}={\frac {{t}_{j}}{1+{{t}_{j}}}}={\frac {1}{{{t}_{j}}^{-1}+1}}$

Also:

$\Rightarrow \left\langle {{N}_{j}}\right\rangle ={\frac {1}{\exp \left({\frac {{{E}_{j}}-\mu }{kT}}\right)+1}}$ Die Fermi-Verteilung!

Dies folgt auch explizit aus

$\left\langle {{N}_{j}}\right\rangle =\sum \limits _{{{N}_{1}}=0}^{1}{}\sum \limits _{{{N}_{2}}=0}^{1}{}...\left\{{{N}_{j}}{\frac {{{t}_{1}}^{{N}_{1}}}{1+{{t}_{1}}}}...{\frac {{{t}_{j}}^{{N}_{j}}}{1+{{t}_{j}}}}....\right\}=\sum \limits _{{{N}_{j}}=0}^{1}{}{{N}_{j}}.{\frac {{{t}_{j}}^{{N}_{j}}}{1+{{t}_{j}}}}={\frac {0{{t}_{j}}^{0}+1{{t}_{j}}}{1+{{t}_{j}}}}={\frac {{t}_{j}}{1+{{t}_{j}}}}$

speziell folgt dies auch aus

$\left\langle {{N}_{j}}\right\rangle =p\left({{N}_{j}}=1\right)={\frac {{t}_{j}}{1+{{t}_{j}}}}$

aber nur wegen Nj = 0,1

• 2 Möglichkeiten! → Mittelwert liegt in der Mitte

rechts besetzte und links unbesetzte Zustände

FJ: Nj:=1/(1+exp((Ej-mue)/Boltz)); 1 Nj := --------------------- 1 + exp(1/5 Ej - 1/5) > Boltz:=5; Boltz := 5 > mue:=1; mue := 1 * plot(Nj,Ej=0..50);]]

Für T → 0

$\left\langle {{N}_{j}}\right\rangle \to \Theta \left(\mu -{{E}_{j}}\right)$ (Stufenfunktion), sogenannter Quantenlimes!

T>0

Aufweichungszone bei ${{E}_{j}}{\tilde {\ }}\mu$ der Breite $\approx kT$

${{E}_{j}}-\mu >>kT$ (sehr hohe Energien) → $\left\langle {{N}_{j}}\right\rangle {\tilde {\ }}\exp \left(-{\frac {{{E}_{j}}-\mu }{kT}}\right)$

• die Fermiverteilung nähert sich der Boltzmann- Verteilung an (klassischer Grenzfall!!)
• keine Berücksichtigung des Pauli- Prinzips mehr!

Beispiel einer Maxwell- Boltzmann- Verteilung sehr hoher Energien!

Gesamte mittlere Teilchenzahl

${\bar {N}}=\sum \limits _{j=1}^{l}{}\left\langle {{N}_{j}}\right\rangle$

thermische Zustandsgleichung

$pV=kT\ln Y=kT\sum \limits _{j=1}^{l}{}\ln {{Y}_{i}}=kT\sum \limits _{j=1}^{l}{}\ln \left(1+\exp \left(\beta \left(\mu -{{E}_{j}}\right)\right)\right)$

Energie und Zustandsdichte freier Teilchen

Energie- Eigenwerte:

${{E}_{j}}={\frac {{{\bar {k}}^{2}}{{\hbar }^{2}}}{2m}}$

Das System sei in einem Würfel V = L³ eingeschlossen!

Zyklische Randbedingungen (Born - v. Karman):

${\begin{aligned}&{{\Psi }_{j}}\left({\bar {r}}\right)={\frac {1}{\sqrt {V}}}{{e}^{i{\bar {k}}{\bar {r}}}}\\&{{k}_{a}}L=2\pi {{n}_{a}}\\&{{n}_{a}}=\pm 1,\pm 2,\pm 3....\\&a=1,2,3\\\end{aligned}}$

Ein Zustand im k- Raum beansprucht also das Volumen:

${{\left(\Delta k\right)}^{3}}={{\left({\frac {2\pi }{L}}\right)}^{3}}\Delta {{n}_{1}}\Delta {{n}_{2}}\Delta {{n}_{3}}={{\left({\frac {2\pi }{L}}\right)}^{3}}=\left({\frac {8{{\pi }^{3}}}{V}}\right)$

Dabei wurde jedoch kein Spin berücksichtigt!

Thermodynamischer limes (großes Volumen V):

Übergang zum Quasikontinuum:

${\begin{aligned}&\sum \limits _{j}{}\to \left({\frac {V}{8{{\pi }^{3}}}}\right)\int _{}^{}{}{{d}^{3}}k\\&{\bar {p}}=\hbar {\bar {k}}\\&\to \sum \limits _{j}{}\to \left({\frac {V}{8{{\pi }^{3}}{{\hbar }^{3}}}}\right)\int _{}^{}{}{{d}^{3}}p=\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)\int _{}^{}{}{{d}^{3}}p\\\end{aligned}}$

In Übereinstimmung mit Kapitel 4.1, Seite 100

Spinentartung:

(2s+1)- fache Entartung!

Kugelsymmetrisches Integral:

$\to \sum \limits _{j}{}\to \left({\frac {V}{8{{\pi }^{3}}{{\hbar }^{3}}}}\right)\int _{}^{}{}{{d}^{3}}p=\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)\int _{}^{}{}{{d}^{3}}p=\left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{}^{}{}{{p}^{2}}dp$

Großkanonische Zustandssumme:

${\begin{aligned}&\ln Y=\sum \limits _{j}{}\ln \left(1+\xi {{e}^{-\beta {{E}_{j}}}}\right)\\&\xi :={{e}^{\beta \mu }}\\\end{aligned}}$

sogenannte Fugizität!

${\begin{aligned}&\ln Y=\sum \limits _{j}{}\ln \left(1+\xi {{e}^{-\beta {{E}_{j}}}}\right)\\&\approx \left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{0}^{\infty }{}{{p}^{2}}dp\ln \left(1+\xi {{e}^{-\beta {{E}_{j}}}}\right)=\left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{0}^{\infty }{}{{p}^{2}}dp\ln \left(1+\xi {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}\right)\\\end{aligned}}$

Partielle Integration:

${\begin{aligned}&\ln Y\approx \left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{0}^{\infty }{}{{p}^{2}}dp\ln \left(1+\xi {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}\right)\\&=\left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \left[\left.\left({\frac {{p}^{3}}{3}}\ln \left(1+\xi {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}\right)\right)\right|_{0}^{\infty }-\int _{0}^{\infty }{}{{\frac {p}{3}}^{3}}{\frac {-\beta {\frac {p}{m}}\xi {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}}{\left(1+\xi {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}\right)}}dp\right]\\&\left.\left({\frac {{p}^{3}}{3}}\ln \left(1+\xi {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}\right)\right)\right|_{0}^{\infty }=0\\&\Rightarrow \ln Y=-\left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{0}^{\infty }{}{{\frac {p}{3}}^{3}}{\frac {-\beta {\frac {p}{m}}\xi {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}}{\left(1+\xi {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}\right)}}dp={\frac {2}{3}}\left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{0}^{\infty }{}dp{{p}^{2}}{\frac {\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}{\left({\frac {1}{\xi }}{{e}^{\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}+1\right)}}\\&={\frac {2}{3}}\beta \left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{0}^{\infty }{}dp{{p}^{2}}\left\langle N(p)\right\rangle {\frac {{p}^{2}}{2m}}\\\end{aligned}}$

Mit der Fermi- Verteilung $\left\langle N(p)\right\rangle$ ,

also:

$\ln Y={\frac {2}{3}}\beta \left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{0}^{\infty }{}dp{{p}^{2}}\left\langle N(p)\right\rangle E(p)$

Diskret:

${\begin{aligned}&\ln Y={\frac {2}{3}}\beta \sum \limits _{j=1}^{l}{}\left\langle {{N}_{j}}\right\rangle {{E}_{j}}={\frac {2}{3}}\beta U\\&U=\left\langle {{E}^{ges.}}\right\rangle \\\end{aligned}}$

Somit haben wir die thermische Zustands-Gleichung

$pV=kT\ln Y={\frac {2}{3}}U={\frac {2}{3}}\left\langle {{E}^{ges.}}\right\rangle$

Bemerkungen

Dies gilt auch für ein klassisches ideales Gas!

Klassisch:

${\begin{aligned}&pV={\bar {N}}kT\\&U={\frac {3}{2}}{\bar {N}}kT\\&\Rightarrow pV={\frac {2}{3}}U\\\end{aligned}}$

Später werden wir sehen: Das gilt auch für Bose- Verteilung!!

Also unabhängig von der speziellen Statistik!

Entartetes Fermi-Gas

Klassischer Grenzfall der Fermi- Verteilung:

$\left\langle N\left(p\right)\right\rangle ={\frac {1}{\left({\frac {1}{\xi }}{{e}^{\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}+1\right)}}\approx \xi {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}$

(Maxwell- Boltzmann- Verteilung)

für $\xi ={{e}^{\frac {\mu }{kT}}}<<1\Rightarrow \mu <0$

(stark verdünnt)

• klassischer Limes!
• Merke positives chemisches Potenzial ist ein QM- Grenzfall!!

Nichtklassischer Grenzfall ("Fermi- Entartung ")

Für $\xi >>1$

(Grenzfall hoher Dichte!)

Gesamte Teilchenzahl:

${\bar {N}}=\left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{0}^{\infty }{}dp{{p}^{2}}{\frac {1}{\left({{e}^{\beta \left({\frac {{p}^{2}}{2m}}-\mu \right)}}+1\right)}}$

Innere Energie:

$U=\left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{0}^{\infty }{}dp{{p}^{2}}{\frac {\frac {{p}^{2}}{2m}}{\left({{e}^{\beta \left({\frac {{p}^{2}}{2m}}-\mu \right)}}+1\right)}}$

Substitution

${\begin{aligned}&{\frac {{p}^{2}}{2mkT}}=y\\&pdp=mkTdy\\&{\frac {\mu }{kT}}=\eta =-\alpha \\&{\bar {N}}={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{\frac {1}{2}}}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}\\&U={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}kT\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{\frac {3}{2}}}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}\\\end{aligned}}$

Definition: Fermi- Dirac- Integral der Ordnung s:

${\begin{aligned}&{{F}_{s}}\left(\eta \right):={\frac {1}{\Gamma \left(s+1\right)}}\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{s}}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}\\&s>0\\\end{aligned}}$

Entwicklung für

$\eta >>1\Rightarrow \xi >>1$

,

also Entartung:

${\begin{aligned}&\Gamma \left(s+1\right){{F}_{s}}\left(\eta \right):=\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{s}}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}={\frac {1}{s+1}}\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {d}{dy}}\left({{y}^{s+1}}\right){\frac {1}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}\\&={\frac {1}{s+1}}\left.\left[\left({{y}^{s+1}}\right){\frac {1}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}\right]\right|_{0}^{\infty }+{\frac {1}{s+1}}\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{s+1}}{\frac {{e}^{y-\eta }}{{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}^{2}}}\\&{\frac {1}{s+1}}\left.\left[\left({{y}^{s+1}}\right){\frac {1}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}\right]\right|_{0}^{\infty }=0\\\end{aligned}}$

weitere Substitution:

${\begin{aligned}&x=y-\eta \\&\Rightarrow \Gamma \left(s+1\right){{F}_{s}}\left(\eta \right)={\frac {1}{s+1}}\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{s+1}}{\frac {{e}^{y-\eta }}{{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}^{2}}}={\frac {1}{s+1}}\int _{-\eta }^{\infty }{}dx{{\left(x+\eta \right)}^{s+1}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}\\&\eta >>1\\\end{aligned}}$

Somit kann man die Grenzen erweitern, da $\eta >>1$

${\begin{aligned}&x=y-\eta \\&\Rightarrow \Gamma \left(s+1\right){{F}_{s}}\left(\eta \right)={\frac {1}{s+1}}\int _{-\eta }^{\infty }{}dx{{\left(x+\eta \right)}^{s+1}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}\approx {\frac {1}{s+1}}\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{{\left(x+\eta \right)}^{s+1}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}+O\left({{e}^{-\eta }}\right)\\&O\left({{e}^{-\eta }}\right)<<1\\\end{aligned}}$

Dies kann man durch Entwicklung von

${{\left(x+\eta \right)}^{s+1}}$

lösen:

${{\left(x+\eta \right)}^{s+1}}\approx {{\left(\eta \right)}^{s+1}}+\left(s+1\right){{\left(\eta \right)}^{s}}x+{\frac {s\left(s+1\right)}{2}}{{\left(\eta \right)}^{s-1}}{{x}^{2}}+....$

Somit:

${\begin{aligned}&\Gamma \left(s+1\right){{F}_{s}}\left(\eta \right)={\frac {1}{s+1}}\int _{-\eta }^{\infty }{}dx{{\left(x+\eta \right)}^{s+1}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}\approx {\frac {1}{s+1}}\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{{\left(x+\eta \right)}^{s+1}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}+O\left({{e}^{-\eta }}\right)\\&\approx {\frac {1}{s+1}}\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{{\left(\eta \right)}^{s+1}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}+\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{{\left(\eta \right)}^{s}}x{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}+{\frac {s}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{{\left(\eta \right)}^{s-1}}{{x}^{2}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}\\&={\frac {{\left(\eta \right)}^{s+1}}{s+1}}\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}+{{\left(\eta \right)}^{s}}\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{\frac {x{{e}^{x}}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}+{\frac {s}{2}}{{\left(\eta \right)}^{s-1}}\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{{x}^{2}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}\\\end{aligned}}$

Für die Terme gilt im Einzelnen:

${\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}=\left[{\frac {-1}{\left({{e}^{x}}+1\right)}}\right]_{-\infty }^{\infty }=1\\&\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{\frac {x{{e}^{x}}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}=0\quad da\ Integrand\ ungerade\\&\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{{x}^{2}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}:=I\\\end{aligned}}$

Bleibt Integral I zu lösen:

${\begin{aligned}&I=\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{{x}^{2}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}=2\int _{0}^{\infty }{}dx{{x}^{2}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}=-2\left[{{x}^{2}}{\frac {1}{\left({{e}^{x}}+1\right)}}\right]_{0}^{\infty }+4\int _{0}^{\infty }{}dx{\frac {x}{\left({{e}^{x}}+1\right)}}\\&\left[{{x}^{2}}{\frac {1}{\left({{e}^{x}}+1\right)}}\right]_{0}^{\infty }=0\\&\int _{0}^{\infty }{}dx{\frac {x}{\left({{e}^{x}}+1\right)}}={\frac {{\pi }^{2}}{12}}\\&\Rightarrow I={\frac {{\pi }^{2}}{3}}\\\end{aligned}}$

Somit ergibt sich das Fermi- Dirac- Integral gemäß

${\begin{aligned}&\Gamma \left(s+1\right){{F}_{s}}\left(\eta \right)\approx {\frac {{\left(\eta \right)}^{s+1}}{s+1}}+{\frac {s}{2}}{{\left(\eta \right)}^{s-1}}{\frac {{\pi }^{2}}{3}}\\&\Gamma \left(s+1\right){{F}_{s}}\left(\eta \right)={\frac {{\left(\eta \right)}^{s+1}}{s+1}}+{\frac {s}{2}}{{\left(\eta \right)}^{s-1}}{\frac {{\pi }^{2}}{3}}+O\left({{\left(\eta \right)}^{s-3}}\right)\\&\Rightarrow {{F}_{s}}\left(\eta \right)={\frac {1}{\Gamma \left(s+1\right)}}\left[{\frac {{\left(\eta \right)}^{s+1}}{s+1}}+{\frac {s{{\pi }^{2}}}{6}}{{\left(\eta \right)}^{s-1}}+O\left({{\left(\eta \right)}^{s-3}}\right)\right]\\\end{aligned}}$

Speziell:

${\begin{aligned}&{{F}_{\frac {1}{2}}}\left(\eta \right)\approx {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left[{\frac {{\left(\eta \right)}^{\frac {3}{2}}}{\frac {3}{2}}}+{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left(\eta \right)}^{-{\frac {1}{2}}}}\right]\\&{{F}_{\frac {3}{2}}}\left(\eta \right)\approx {\frac {4}{3{\sqrt {\pi }}}}\left[{\frac {{\left(\eta \right)}^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+{\frac {{\pi }^{2}}{4}}{{\left(\eta \right)}^{\frac {1}{2}}}\right]\\\end{aligned}}$

Also:

${\begin{aligned}&{\bar {N}}={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{\frac {1}{2}}}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}\left[{\frac {2}{3}}{{\left({\frac {\mu }{kT}}\right)}^{\frac {3}{2}}}+{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left({\frac {\mu }{kT}}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}}\right]\\&\Rightarrow {\bar {N}}={\frac {2}{3}}{\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2m\mu \right)}^{\frac {3}{2}}}\left[1+{\frac {{\pi }^{2}}{8}}{{\left({\frac {kT}{\mu }}\right)}^{2}}\right]\\\end{aligned}}$

Definition: Fermi- Energie:

${{E}_{F}}:=\mu \left(T=0,{\bar {N}},V\right)$

Bei T= 0 Kelvin sind die Zustände mit $E<{{E}_{F}}$

voll besetzt, die anderen leer!

Wir können dann $\mu \left(T=0,{\bar {N}},V\right)$

durch ${{E}_{F}}$

und ${\bar {N}}$

eliminieren:

T→0

${\begin{aligned}&{\bar {N}}={\frac {2}{3}}{\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2m\mu \right)}^{\frac {3}{2}}}\left[1+{\frac {{\pi }^{2}}{8}}{{\left({\frac {kT}{\mu }}\right)}^{2}}\right]={\frac {2}{3}}{\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2m{{E}_{F}}\right)}^{\frac {3}{2}}}\\&\\\end{aligned}}$

Für größere Temperaturen T>0 wird nun

${\begin{aligned}&{\bar {N}}={\frac {2}{3}}{\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2m{{E}_{F}}\right)}^{\frac {3}{2}}}\\&\\\end{aligned}}$

in niedrigster Ordnung in ${\frac {kT}{{E}_{F}}}$

entwickelt und diese Entwicklung dann eingesetzt in die Formel

${\begin{aligned}&{\bar {N}}={\frac {2}{3}}{\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2m\mu \right)}^{\frac {3}{2}}}\left[1+{\frac {{\pi }^{2}}{8}}{{\left({\frac {kT}{\mu }}\right)}^{2}}\right]={\frac {2}{3}}{\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2m{{E}_{F}}\right)}^{\frac {3}{2}}}\\&\Rightarrow {{\left(\mu \right)}^{\frac {3}{2}}}\left[1+{\frac {{\pi }^{2}}{8}}{{\left({\frac {kT}{\mu }}\right)}^{2}}\right]\approx {{\left({{E}_{F}}\right)}^{\frac {3}{2}}}\\&\Rightarrow \mu \approx {{E}_{F}}{{\left[1+{\frac {{\pi }^{2}}{8}}{{\left({\frac {kT}{\mu }}\right)}^{2}}\right]}^{-{\frac {2}{3}}}}\\\end{aligned}}$

Jetzt wird in niedrigster Ordnung in ${\frac {kT}{{E}_{F}}}$

entwickelt:

Das heißt, für kT=1 zeigt µ über Ef etwa folgenden verlauf:

die Kurve wird für höhere Temperaturen immer weiter auseinandergedehnt!

Innere Energie

${\begin{aligned}&U={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}kT\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{\frac {3}{2}}}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}\\&{{F}_{\frac {3}{2}}}\left(\eta \right)\approx {\frac {4}{3{\sqrt {\pi }}}}\left[{\frac {{\left(\eta \right)}^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+{\frac {{\pi }^{2}}{4}}{{\left(\eta \right)}^{\frac {1}{2}}}\right]\\\end{aligned}}$

Also:

${\begin{aligned}&U={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2m\right)}^{\frac {3}{2}}}{{\left(kT\right)}^{\frac {5}{2}}}\left[{\frac {2}{5}}{{\left({\frac {\mu }{kT}}\right)}^{\frac {5}{2}}}+{\frac {{\pi }^{2}}{4}}{{\left({\frac {\mu }{kT}}\right)}^{\frac {1}{2}}}\right]\\&={\frac {2}{5}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {\frac {\left(2s+1\right)}{2}}{{\left(2m\right)}^{\frac {3}{2}}}{{\left(\mu \right)}^{\frac {5}{2}}}\left[1+{\frac {5}{2}}{\frac {{\pi }^{2}}{4}}{{\left({\frac {kT}{\mu }}\right)}^{2}}\right]\\\end{aligned}}$

Verwende:

So dass:

${\begin{aligned}&U={\frac {2}{5}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {\frac {\left(2s+1\right)}{2}}{{\left(2m\right)}^{\frac {3}{2}}}{{\left(\mu \right)}^{\frac {5}{2}}}\left[1+{\frac {5}{2}}{\frac {{\pi }^{2}}{4}}{{\left({\frac {kT}{\mu }}\right)}^{2}}\right]\\&\approx {\frac {2}{5}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {\frac {\left(2s+1\right)}{2}}{{\left(2m\right)}^{\frac {3}{2}}}{{\left({{E}_{F}}\right)}^{\frac {5}{2}}}{{\left[1-{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\right]}^{\frac {5}{2}}}\left[1+{\frac {5}{2}}{\frac {{\pi }^{2}}{4}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\right]\\\end{aligned}}$

Mit

${\bar {N}}={\frac {2}{3}}{\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2m{{E}_{F}}\right)}^{\frac {3}{2}}}$

folgt:

${\begin{aligned}&U\approx {\frac {2}{5}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {\frac {\left(2s+1\right)}{2}}{{\left(2m\right)}^{\frac {3}{2}}}{{\left({{E}_{F}}\right)}^{\frac {5}{2}}}{{\left[1-{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\right]}^{\frac {5}{2}}}\left[1+{\frac {5}{2}}{\frac {{\pi }^{2}}{4}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\right]\\&{\frac {2}{5}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {\frac {\left(2s+1\right)}{2}}{{\left(2m\right)}^{\frac {3}{2}}}{{\left({{E}_{F}}\right)}^{\frac {5}{2}}}\approx {\frac {3}{5}}{\bar {N}}{{E}_{F}}\\&{{\left[1-{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\right]}^{\frac {5}{2}}}\left[1+{\frac {5}{2}}{\frac {{\pi }^{2}}{4}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\right]\approx 1+5{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\\&\Rightarrow U\approx {\frac {3}{5}}{\bar {N}}{{E}_{F}}\left[1+5{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\right]\\\end{aligned}}$

Somit haben wir die kalorische Zustandsgleichung

$U\approx {\frac {3}{5}}{\bar {N}}{{E}_{F}}\left[1+5{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\right]$

und die thermische Zustandsgleichung

$pV={\frac {2}{3}}U\approx {\frac {2}{5}}{\bar {N}}{{E}_{F}}\left[1+5{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\right]$

Das bedeutet:

Der Druck des fermigases ist um einen Faktor ${\frac {{E}_{F}}{kT}}$

größer als in klassischen idealen Gasen

Beispiel:

${{E}_{F}}\approx 1eV\Rightarrow T{\tilde {\ }}{{10}^{4}}K$

1 eV entspricht 10.000 K!!

Grund ist das Pauli- Prinzip!!

Also eine effektive Abstoßung der Teilchen! Dies bewirkt für niedrige Temperaturen den enormen Faktor

${\frac {{E}_{F}}{kT}}$

,

mit dem der Druck gegenüber dem idealen Gas zu multiplizieren ist.

Für sehr hohe Temperaturen überwiegt dann der hintere teil, und es gilt:

Der Fermidruck ist etwa

$pV={\frac {2}{3}}U\approx {\frac {2}{5}}{\bar {N}}{{E}_{F}}5{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}={\frac {{\pi }^{2}}{6}}{\bar {N}}kT\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)$

Also auch größer als beim klassischen idealen Gas, nämlich um den Faktor $\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)$

!

Spezifische Wärme

${\begin{aligned}&{{C}_{V}}={{\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)}_{V}}={\frac {{\pi }^{2}}{2}}{\bar {N}}k\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)\\&{{c}_{V}}={\frac {{\pi }^{2}}{2}}R\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right){\tilde {\ }}T\\\end{aligned}}$

Die Wärmekapazität ist sage und schreibe um den Faktor $\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)$

kleiner als bei idealen gasen.

Bei T ~ 300 K ist dies 1/ 40!

ideales Gas:

${{c}_{V}}={\frac {3}{2}}R$

Physikalsicher Grund:

Nur die Teilchen in der " Aufweichungszone"

${{E}_{F}}-kT<E<{{E}_{F}}+kT$

tragen zur spezifischen Wärme bei, da nur sie in freie Zustände thermisch angeregt werden könen :

Zahl:

$\Delta N{\tilde {\ }}{\bar {N}}{\frac {kT}{{E}_{F}}}$

jedes hat Energie ~ kT

${\begin{aligned}&\Rightarrow \Delta U{\tilde {\ }}{\bar {N}}{\frac {{\left(kT\right)}^{2}}{{E}_{F}}}\\&\Rightarrow {{C}_{v}}{\tilde {\ }}{\bar {N}}k{\frac {\left(kT\right)}{{E}_{F}}}\\\end{aligned}}$

Beispiele für entartete Fermigase

• Elektronen in Metallen → hohe Dichten!
• Elektronen in Halbleitern, bei sehr tiefen Temperaturen oder hoher Dotierung!

Nichtenatartetes fermigas

verdünntes, nichtrelativistisches Quantengas!

z.B. Elektronen in Halbleitern im Normalbereich!

Voraussetzung:

$\xi ={{e}^{\frac {\mu }{kT}}}<<1$

das heißt:

${\begin{aligned}&\mu <0\\&\eta ={\frac {\mu }{kT}}<0\\\end{aligned}}$

Entwicklung der Fermi- Dirac- Integrale nach Potenzen von $\xi ={{e}^{\frac {\mu }{kT}}}<<1$

${\begin{aligned}&{{F}_{s}}\left(\eta \right)={\frac {1}{\Gamma \left(s+1\right)}}\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{s}}{{{e}^{y-\eta }}+1}}\\&={\frac {1}{\Gamma \left(s+1\right)}}\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{s}}{\frac {\xi {{e}^{-y}}}{1+\xi {{e}^{-y}}}}\approx {\frac {1}{\Gamma \left(s+1\right)}}\left[\xi \int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{s}}{{e}^{-y}}-{{\xi }^{2}}\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{s}}{{e}^{-2y}}+....\right]\\&\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{s}}{{e}^{-y}}=\Gamma \left(s+1\right)\\&\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{s}}{{e}^{-2y}}={\frac {1}{{2}^{s+1}}}\int _{0}^{\infty }{}dz{{z}^{s}}{{e}^{-z}}={\frac {1}{{2}^{s+1}}}\Gamma \left(s+1\right)\\&\Rightarrow {{F}_{s}}\left(\eta \right)\approx \left[\xi -{{\xi }^{2}}{\frac {1}{{2}^{s+1}}}+....\right]\approx \left[\xi -{{\xi }^{2}}{\frac {1}{{2}^{s+1}}}\right]={{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\left[1-{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}{\frac {1}{{2}^{s+1}}}\right]\\\end{aligned}}$

Dabei ist

${{F}_{s}}\left(\eta \right)={{e}^{\frac {\mu }{kT}}}$

das Boltzman- Limit mit der Quantenkorrektur $-{{e}^{2{\frac {\mu }{kT}}}}{\frac {1}{{2}^{s+1}}}$

Also:

${\bar {N}}={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}{{F}_{\frac {1}{2}}}\left(\eta \right)=V{{N}_{C}}{{F}_{\frac {1}{2}}}\left({\frac {\mu }{kT}}\right)$

mit der Entartungskonzentration

${{N}_{C}}:=\left(2s+1\right){{\left({\frac {2\pi mkT}{{h}^{2}}}\right)}^{\frac {3}{2}}}$

Also genähert:

${\bar {N}}=V{{N}_{C}}{{F}_{\frac {1}{2}}}\left({\frac {\mu }{kT}}\right)\approx V{{N}_{C}}{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\left[1-{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}{\frac {1}{{2}^{\frac {3}{2}}}}\right]$

Bei vollständiger Nichtentartung:

${\begin{aligned}&{\frac {\bar {N}}{V}}\approx {{N}_{C}}{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\\&{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}<<1\\&{\frac {\bar {N}}{V}}<<{{N}_{C}}\\\end{aligned}}$

Die klassische Maxwell- Boltzmann- Verteilung (vergl. S. 101)

${\begin{aligned}&U={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}kT\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{\frac {3}{2}}}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}kT{\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}{{F}_{\frac {3}{2}}}\left({\frac {\mu }{kT}}\right)\\&U=V{{N}_{C}}{\frac {3}{2}}kT{{F}_{\frac {3}{2}}}\left({\frac {\mu }{kT}}\right)\\&U\approx V{{N}_{C}}{\frac {3}{2}}kT{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\left[1-{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}{\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}\right]\\\end{aligned}}$

Elimination von $\mu$

durch ${\bar {N}}=V{{N}_{C}}{{F}_{\frac {1}{2}}}\left({\frac {\mu }{kT}}\right)\approx V{{N}_{C}}\xi \left[1-\xi {{2}^{-{\frac {3}{2}}}}\right]$

1. Näherung:

${\bar {N}}=V{{N}_{C}}\xi$

1. Näherung

${\begin{aligned}&{\bar {N}}=V{{N}_{C}}\xi \left[1-{{2}^{-{\frac {3}{2}}}}{\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}}}\right]\\&\Rightarrow \xi ={{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\approx {\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}}}\left[1+{{2}^{-{\frac {3}{2}}}}{\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}}}\right]\\&\Rightarrow U\approx V{{N}_{C}}{\frac {3}{2}}kT{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\left[1-{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}{\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}\right]\approx {\frac {3}{2}}kT{\bar {N}}\left[1+{{2}^{-{\frac {3}{2}}}}{\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}}}\right]\left[1-{\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}{\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}}}\right]\\\end{aligned}}$

$U\approx {\frac {3}{2}}kT{\bar {N}}\left[1+{{2}^{-{\frac {5}{2}}}}{\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}(T)}}\right]$

Dabei wurden alle Terme der Ordnung ${{\left({\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}(T)}}\right)}^{2}}$

weggenähert!

Also:

kalorische Zustandsgleichung

$U\approx {\frac {3}{2}}kT{\bar {N}}\left[1+{{2}^{-{\frac {5}{2}}}}{\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}(T)}}\right]$

mit der Quantenkorrektur $O\left({\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}(T)}}\right)$

${\frac {3}{2}}kT{\bar {N}}{{2}^{-{\frac {5}{2}}}}{\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}(T)}}$

thermische Zustandsgleichung

$pV={\frac {2}{3}}U\approx kT{\bar {N}}\left[1+{{2}^{-{\frac {5}{2}}}}{\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}(T)}}\right]$

Also:

$pv\approx RT\left[1+{{2}^{-{\frac {5}{2}}}}{\frac {{N}_{A}}{v{{N}_{C}}(T)}}\right]$

Dabei ist

$pv\approx RT$

die Zustandsgleichung des klassischen idealen Gases und $RT{{2}^{-{\frac {5}{2}}}}{\frac {{N}_{A}}{v{{N}_{C}}(T)}}$

eine Erhöhung des klassischen Drucks durch die Fermi- Abstoßung!

Nebenbemerkung:

Mit der thermischen Wellenlänge $\lambda :={{\left({\frac {{h}^{2}}{2\pi mkT}}\right)}^{\frac {1}{2}}}$

entsprechend der de Broglie- Wellenlänge für ${\frac {{{k}^{2}}{{\hbar }^{2}}}{2m}}{\tilde {\ }}kT\Rightarrow \lambda ={{\left({\frac {{h}^{2}}{2mkT}}\right)}^{\frac {1}{2}}}$

E= kT also, schreibt man:

${{N}_{C}}={\frac {2s+1}{{\lambda }^{3}}}$