Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Eichinvarianz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 6) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Die Felder
werden durch die Potenziale
dargestellt.:
Dabei drängt sich die Frage auf, welche die allgemeinste Transformation
ist, welche die Felder E und B unverändert läßt.
Also:
Mit
mit eine völlig beliebigen Eichfunktion
.
Alle physikalischen Aussagen müssen invariant sein ! Aber nicht nur
sondern auch
sind physikalisch relevant.
So muss auch
erfüllt sein.
Dies ist gewährleistet, wenn die Maxwellgleichungen erfüllt sind.
Durch
sind die homogenen Maxwellgleichungen bereits erfüllt:
Auch die Umkehrung gilt:
Wähle nun eine Eichung derart, dass die inhomogenen Maxwellgleichungen besonders einfach werden
Ziel: Entkopplung der DGLs für
- Lorentz- Eichung:
Genau dadurch werden die Feldgleichungen entkoppelt:
1)
Was mit Hilfe der Lorentzeichung wird zu
Für A:
2)
Was mit der Lorentz- Eichung
wird zu
Dies kann in Viererschreibweise mit dem dÁlembertschen Operator # mit
zusammengefasst werden:
Dies sind die inhomogenen Wellengleichungen für die Potenziale ( entkoppelt mittels Lorentz- Eichung)
Es ergibt sich im SI- System:
als Lichtgeschwindigkeit
Dies ist einfach die ermittelte Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen im Vakuum !
Coulomb- Eichung
( sogenannte Strahlungseichung):
Vergleiche Kapitel 2.3 ( Magnetostatik):
Für
(Poissongleichung der Magnetostatik)
Zerlegung in longitudinale und transversale Anteile :
Allgemein kann man
in ein wirbelfreies Longitudinalfeld:
und ein quellenfreies Transversalfeld
zerlegen.
Tatsächlich gilt:
Da
quellenfrei ist, ist B auch immer transversal:
Also:
ergibt die longitudinalen Felder und
die transversalen Felder.
Merke: Felder , die Rotation eines Vektorfeldes sind ( Vektorpotenzials) sind grundsätzlich transversaler Natur. (Divergenz verschwindet). Divergenzfelder ( als Gradienten eines Skalars) sind immer longitudinal ! ( Rotation verschwindet).
Zerlegung der Stromdichte:
- mit
Mit
Außerdem gilt nach der Definition von longitudinal:
Also:
Da beide Felder aber für r→ 0 verschwinden folgt:
Also:
Also:
Die Feldgleichungen
- und
erhalten dann die Form:
- und
In der Coulomb- Eichung !
Also.
- longitudinale Felder entsprechend der Elektrostatik
als transversale Felder entsprechend elektromagnetischen Wellen.
Das bedeutet : Die Coulombeichung ist zweckmäßig bei Strahlungsproblemen !
Sie liefert eine Poissongleichung für
und eine Wellengleichung für
.