Grenzbedingungen für Felder

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Grenzbedingungen für Felder basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 4) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Grenzbedingungen für Felder	Materie in elektrischen und magnetischen Feldern	Elektrodynamik Schöll
	Polarisation Magnetisierung Maxwell- Gleichungen in Materie Grenzbedingungen für Felder Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit Brechung und Reflexion Wellenausbreitung in Materie	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

_ Frage ist: Wie verhalten sich ${\bar {B}},{\bar {H}},{\bar {D}},{\bar {E}}$ an Grenzflächen, die verschiedene elektrische und magnetische Materialien ( Vakuum/ Materie) trennen ?

Integration der Maxwell- Gleichungen über ein Volumen V:

$\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\nabla \cdot {\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)=\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\rho \left({\bar {r}},t\right)=Q=\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\cdot {\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)$

$\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\nabla \times H\left({\bar {r}},t\right)=\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\left({\bar {j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}\right)$

Bildlich:

Normalkomponenten: Betrachte einen Zylinder, der senkrecht auf einer Grenzfläche steht. Nun nimmt man die Maxwellgleichungen in integraler Schreibweise an und läßt den Zylinder unter Berücksichtigung von Integrationssätzen gegen Null- Höhe gehen:

also: Für die Normalkomponenten: h -> 0

Während also die Normalkomponente des B- Feldes an der Grenzfläche stetig ist, springt die Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung um die Ladung, die an der Grenzfläche sitzt: Unter der Annahme, dass die Grenzfläche die freie Flächenladungsdichte $\sigma$ trägt:

${\begin{aligned}&\rho \left({\bar {r}},t\right)=\sigma \left(x,y,t\right)\delta \left(z\right)\\&{{\bar {e}}_{z}}\equiv {\bar {n}}\\&\Rightarrow {\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\rho \left({\bar {r}},t\right)=Q=\int _{F}^{}{}df\sigma \left(x,y,t\right)\\&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\cdot {\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)=\int _{F}^{}{}d{\bar {f}}\left({{\bar {D}}^{(1)}}-{{\bar {D}}^{(2)}}\right)=\int _{F}^{}{}df{\bar {n}}\left({{\bar {D}}^{(1)}}-{{\bar {D}}^{(2)}}\right)=\int _{F}^{}{}df\sigma \left(x,y,t\right)\\\end{aligned}}$

${\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\cdot {\bar {B}}=\int _{F}^{}{}d{\bar {f}}\left({{\bar {B}}^{(1)}}-{{\bar {B}}^{(2)}}\right)=\int _{F}^{}{}df{\bar {n}}\left({{\bar {B}}^{(1)}}-{{\bar {B}}^{(2)}}\right)=0$

Somit müssen die Integranden übereinstimmen:

${\bar {n}}\left({{\bar {B}}^{(1)}}-{{\bar {B}}^{(2)}}\right)=0$

${\bar {n}}\left({{\bar {D}}^{(1)}}-{{\bar {D}}^{(2)}}\right)=\sigma \left(x,y,t\right)$

Tangentialkomponenten

Anwendung des verallgemeinerten Gaußschen Satz:

$1)\nabla \times {\bar {E}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}=0$

$4)\nabla \times H\left({\bar {r}},t\right)-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}={\frac {4\pi }{c}}{\bar {j}}$

$\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\nabla \times {\bar {E}}=-\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}$

$\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\nabla \times H\left({\bar {r}},t\right)=\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\left({\bar {j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}\right)$

Auch hier: h-> 0

${\begin{aligned}&\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\nabla \times {\bar {E}}=\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\times {\bar {E}}=-\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}\\&\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\nabla \times H\left({\bar {r}},t\right)=\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\times H\left({\bar {r}},t\right)=\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\left({\bar {j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}\right)\\&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\times {\bar {E}}=\oint \limits _{\partial V}{}df{\bar {n}}\times \left({{\bar {E}}^{(1)}}-{{\bar {E}}^{(2)}}\right)\\&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\times H\left({\bar {r}},t\right)=\oint \limits _{\partial V}{}df{\bar {n}}\times \left(H{{\left({\bar {r}},t\right)}^{(1)}}-H{{\left({\bar {r}},t\right)}^{(2)}}\right)\\\end{aligned}}$

In beiden Fällen die Tangentialkomponenten der Felder ! senkrecht auf Flächenvektor und Feld

Wegen:

${\begin{aligned}&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\times {\bar {E}}=\oint \limits _{\partial V}{}df{\bar {n}}\times \left({{\bar {E}}^{(1)}}-{{\bar {E}}^{(2)}}\right)=-{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}\\&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\times H\left({\bar {r}},t\right)=\oint \limits _{\partial V}{}df{\bar {n}}\times \left(H{{\left({\bar {r}},t\right)}^{(1)}}-H{{\left({\bar {r}},t\right)}^{(2)}}\right)={\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\left({\bar {j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}\right)\\\end{aligned}}$

Annahme: Grenzfläche trägt (freie) Flächenstromdichte ${\begin{aligned}&{\bar {g}}\\&\Rightarrow {\bar {j}}\left({\bar {r}},t\right)={\bar {g}}\left(x,y,t\right)\delta \left(z\right)\\\end{aligned}}$

wie es bei metallen der Fall ist !, dann:

${\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\bar {j}}=\int _{F}^{}{}df{\bar {g}}$

Weiter:

${\begin{aligned}&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}\\&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}\\\end{aligned}}$

können für Volumenintegrale mit verschwindendem Volumen nur einen Beitrag liefern, wenn ${\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}},{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}$ Unendlichkeitsstellen besitzen.

Annahme:

${\bar {B}},{\bar {D}}$ und ${\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}},{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}$ sind beschränkt:

${\begin{aligned}&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}=0\\&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}=0\\&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\left({\bar {j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}\right)=\int _{F}^{}{}df{\bar {g}}(x,y,t)\\&\oint \limits _{\partial V}{}df{\bar {n}}\times \left({{\bar {E}}^{(1)}}-{{\bar {E}}^{(2)}}\right)=0\\&\oint \limits _{\partial V}{}df{\bar {n}}\times \left(H{{\left({\bar {r}},t\right)}^{(1)}}-H{{\left({\bar {r}},t\right)}^{(2)}}\right)=\int _{F}^{}{}df{\bar {g}}(x,y,t)\\\end{aligned}}$

Somit haben wir die Grenzbedingungen für die Tangentialkomponenten:

${\begin{aligned}&{\bar {n}}\times \left({{\bar {E}}^{(1)}}-{{\bar {E}}^{(2)}}\right)=0\\&{\bar {n}}\times \left(H{{\left({\bar {r}},t\right)}^{(1)}}-H{{\left({\bar {r}},t\right)}^{(2)}}\right)={\bar {g}}(x,y,t)\\\end{aligned}}$

Das heißt:

Die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes E ist am Grenzübergang stetig Die Tangentialkomponente des magnetischen Feldes H springt am Grenzübergang um die Flächenstromdichte !

Bildlich: Sitzen Ladungen an einer Grenzfläche, so ist die Normalkomponente von D ( wichtig: Polarisationseffekt -> Polarisation muss irgendwo mit auftauchen) nicht stetig ! Fließen flächenartige Ströme entlang einer Grenzfläche, so ist die Tangentialkomponente von H nicht stetig !

Zusammenfassung:

$\delta {\bar {E}}:=\left({{\bar {E}}^{(1)}}-{{\bar {E}}^{(2)}}\right)$

Maxwellgleichung Grenzbedingung

${\begin{aligned}&1)\nabla \times {\bar {E}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad {\bar {n}}\times \delta {\bar {E}}=0\\&2)\nabla \cdot {\bar {B}}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\bar {n}}\cdot \delta {\bar {B}}=0\\\end{aligned}}$

$3)\nabla \cdot {\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)=\rho \left({\bar {r}},t\right)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\bar {n}}\cdot \delta {\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)=\sigma$

$4)\nabla \times H\left({\bar {r}},t\right)={\bar {j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\bar {n}}\times \delta H\left({\bar {r}},t\right)={\bar {g}}$

Also: die Tangenzialkomponente von E ist stetig Die Normalkomponente von D springt um die Flächenladungsdichte ( Flächendivergenz) Die Tangentialkomponente von H springt ( Flächenrotation) um die Flächenstromdichte Die Normalkomponente von B ist stetig.

Beispiele:

1. Grenzfläche zwischen 2 dielektrischen Materialien mit

${\begin{aligned}&{{\varepsilon }^{(1)}}<{{\varepsilon }^{(2)}}\\&\sigma =0\\\end{aligned}}$

Zuerst zeichne man sich ein derartiges Diagramm hin !

${\begin{aligned}&{{\bar {E}}_{t}}^{(1)}={{\bar {E}}_{t}}^{(2)}\\&{{\bar {D}}_{n}}^{(1)}={{\bar {D}}_{n}}^{(2)}\\\end{aligned}}$

letzteres wegen der verschwindenden Flächenladungsdichte !

${\begin{aligned}&{{\bar {E}}_{t}}^{(1)}={{\bar {E}}_{t}}^{(2)}\\&{{\bar {D}}_{n}}^{(1)}={{\bar {D}}_{n}}^{(2)}\Rightarrow {{\varepsilon }_{1}}{{\bar {E}}_{n}}^{(1)}={{\varepsilon }_{2}}{{\bar {E}}_{n}}^{(2)}\\&\Rightarrow {{\bar {E}}_{n}}^{(2)}={\frac {{\varepsilon }_{1}}{{\varepsilon }_{2}}}{{\bar {E}}_{n}}^{(1)}\\&\tan {{\alpha }_{1}}={\frac {{{\bar {E}}_{t}}^{(1)}}{{{\bar {E}}_{n}}^{(1)}}}={\frac {{\varepsilon }_{1}}{{\varepsilon }_{2}}}{\frac {{{\bar {E}}_{t}}^{(2)}}{{{\bar {E}}_{n}}^{(2)}}}={\frac {{\varepsilon }_{1}}{{\varepsilon }_{2}}}\tan {{\alpha }_{2}}\\\end{aligned}}$

Dies ist das Brechungsgesetz für die Feldlinien

Achtung ! Das Snelliussche Brechungsgesetz müsste man sich für den Verlauf des Energiestroms berechnen

1. Grenzfläche zwischen Vakuum ( Luft) und magnetischem Material

2.1 Sei speziell ${\bar {B}}\bot$ Grenzfläche ( z.B. zwischen den Polschuhen eines Ringmagneten mit Luft dazwischen / Material genauso !)): In diesem Fall (keine Oberflächenströme) ist ${\bar {B}}$ grundsätzlich stetig ! B ist eh immer grundsätzlich stetig ! Wegen der Divergenzgleichung wird B immer ( wie D´) für Normalkomponenten herangezogen.

1. Paramagnetisch:

${\begin{aligned}&{\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}={\bar {M}}+{\bar {H}}\\&{\bar {M}}\uparrow \uparrow {\bar {H}}\\\end{aligned}}$

1. Paramagnetisch:

${\begin{aligned}&{\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}={\bar {M}}+{\bar {H}}\\&{\bar {M}}\uparrow \downarrow {\bar {H}}\\\end{aligned}}$

2.2 Sei speziell ${\bar {B}}||$ Grenzfläche ( z.B. lange Spule mit Luft dazwischen / Material genauso !)): Wir müssen nun Tangentialkomponenten untersuchen. Dazu nimmt man die Rotationsgleichungen ( E und H):

In diesem Fall ist ${\bar {H}}$ stetig für ${\bar {g}}=0$ ( kein Oberflächenstrom)