Impulsbilanz

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Impulsbilanz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 5) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Impulsbilanz	Die Maxwell-Gleichungen	Elektrodynamik Schöll
	TCP- Invarianz Maxwell- Gleichungen im Vakuum Induktionsgesetz Energiebilanz Impulsbilanz Eichinvarianz	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Aus den Maxwell Gleichungen folgt eine weitere Bilanzgleichung für den Impulstransport durch das elektromagnetische Feld:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\bar {D}}\times {\bar {B}}\right)={\dot {\bar {D}}}\times {\bar {B}}+{\bar {D}}\times {\dot {\bar {B}}}\\&{\dot {\bar {D}}}=\nabla \times {\bar {H}}-{\bar {j}}\\&{\dot {\bar {B}}}=-\nabla \times {\bar {E}}\\&\Rightarrow {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\bar {D}}\times {\bar {B}}\right)=-{\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}\times \left(\nabla \times {\bar {B}}\right)-{\bar {j}}\times {\bar {B}}-{{\varepsilon }_{o}}{\bar {E}}\times \left(\nabla \times {\bar {E}}\right)\\\end{aligned}}$

Mittels

${\begin{aligned}&{\bar {B}}\times \left(\nabla \times {\bar {B}}\right)={\frac {1}{2}}\nabla \left({\bar {B}}\cdot {\bar {B}}\right)-\left({\bar {B}}\cdot \nabla \right){\bar {B}}\\&{\bar {B}}\times \left(\nabla \times {\bar {B}}\right)=\nabla \cdot \left\{\left(1\right){\frac {1}{2}}\left({\bar {B}}\cdot {\bar {B}}\right)-{\bar {B}}\otimes {\bar {B}}\right\}+{\bar {B}}\left(\nabla \cdot {\bar {B}}\right)=\nabla \cdot \left\{\left(1\right){\frac {1}{2}}\left({\bar {B}}\cdot {\bar {B}}\right)-{\bar {B}}\otimes {\bar {B}}\right\}\\&{\bar {B}}\left(\nabla \cdot {\bar {B}}\right)=0\\\end{aligned}}$

Dabei bezeichnet

$\left(1\right)$

den Einheitstensor 1. Stufe und

${\bar {B}}\otimes {\bar {B}}$

das Tensorprodukt (dyadisches Produkt). Außerdem ist

$\nabla \cdot \left\{\left(1\right){\frac {1}{2}}\left({\bar {B}}\cdot {\bar {B}}\right)-{\bar {B}}\otimes {\bar {B}}\right\}$

die Divergenz eines Tensors

$\left(T\right)$

zweiter Stufe. In Komponenten gilt:

${{\left(\nabla \cdot T\right)}_{\beta }}:={{\partial }_{\alpha }}{{T}_{\alpha }}_{\beta }$

Analog:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}\times \left(\nabla \times {\bar {E}}\right)=\nabla \cdot \left\{\left(1\right){\frac {1}{2}}\left({\bar {E}}\cdot {\bar {E}}\right)-{\bar {E}}\otimes {\bar {E}}\right\}+{\bar {E}}\left(\nabla \cdot {\bar {E}}\right)=\nabla \cdot \left\{\left(1\right){\frac {1}{2}}\left({\bar {E}}\cdot {\bar {E}}\right)-{\bar {E}}\otimes {\bar {E}}\right\}+{\bar {E}}{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}\\&\Rightarrow {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\bar {D}}\times {\bar {B}}\right)+\nabla \cdot \left\{\left(1\right){\frac {1}{2}}\left({{\varepsilon }_{0}}{{E}^{2}}+{\frac {1}{{\mu }_{0}}}{{B}^{2}}\right)-{{\varepsilon }_{0}}{\bar {E}}\otimes {\bar {E}}-{\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}\otimes {\bar {B}}\right\}=-\left({\bar {E}}\rho +{\bar {j}}\times {\bar {B}}\right)\\\end{aligned}}$

Dabei beschreibt

$\left({\bar {E}}\rho +{\bar {j}}\times {\bar {B}}\right)$

den Kraftdichtefluß, der von den Feldern auf Ströme und Ladungen übertragen wird

Als Bilanzgleichung für den Impulstransport ergibt sich:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {g}}+\nabla \cdot \left({\bar {\bar {T}}}\right)=-\left({\bar {E}}\rho +{\bar {j}}\times {\bar {B}}\right)\\&{\bar {g}}:=\left({\bar {D}}\times {\bar {B}}\right)\\&\left\{\left(1\right){\frac {1}{2}}\left({{\varepsilon }_{0}}{{E}^{2}}+{\frac {1}{{\mu }_{0}}}{{B}^{2}}\right)-{{\varepsilon }_{0}}{\bar {E}}\otimes {\bar {E}}-{\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}\otimes {\bar {B}}\right\}:=\left({\bar {\bar {T}}}\right)\\\end{aligned}}$

Dabei ist

${\bar {g}}:=\left({\bar {D}}\times {\bar {B}}\right)$

die Impulsdichte des Feldes. Nach Newton gilt:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\bar {p}}={\bar {F}}\\&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}{\bar {g}}={\bar {f}}\\\end{aligned}}$

Es ergibt sich

$\left\{\left(1\right){\frac {1}{2}}\left({\bar {E}}\cdot {\bar {D}}+{\bar {B}}\cdot {\bar {H}}\right)-{\bar {E}}\otimes {\bar {D}}-{\bar {B}}\otimes {\bar {H}}\right\}:=\left({\bar {\bar {T}}}\right)$

Als der IMPULSSTROMDICHTE- Tensor des Feldes (Maxwellscher Spannungstensor)

in Komponenten:

${{T}_{\alpha \beta }}=\left\{{{\delta }_{\alpha \beta }}{\frac {1}{2}}\left({\bar {E}}\cdot {\bar {D}}+{\bar {B}}\cdot {\bar {H}}\right)-{{\bar {E}}_{\alpha }}{{\bar {D}}_{\beta }}-{{\bar {B}}_{\alpha }}{{\bar {H}}_{\beta }}\right\}$

Dies ist die Stromrichtung der

$\beta$

- Komponente der Impulsdichte in

$\alpha$

- Richtung. Eine Impulsdichte, die in eine feste Richtung weist wird somit entlang einer anderen Richtung transportiert!

$tr\left({\bar {\bar {T}}}\right)={{T}_{\alpha \alpha }}=w$

Energiedichte Außerdem ist T symmetrisch:

${{T}_{\alpha \beta }}={{T}_{\beta \alpha }}$

Die komponentenweise Darstellung der Bilanzgleichung

${\frac {\partial }{\partial t}}{{g}_{\beta }}+{\frac {\partial }{\partial {{x}_{\alpha }}}}{{T}_{\alpha \beta }}=-{{f}_{\beta }}$

beschriebt den Impulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen.

Bemerkung: Eine analoge Bilanzgleichung gibt es für die Drehimpulsdichte des Feldes. Sie beschreibt den Drehimpulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen!