Induktionsgesetz

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Induktionsgesetz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 3) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Induktionsgesetz	Die Maxwell-Gleichungen	Elektrodynamik Schöll
	TCP- Invarianz Maxwell- Gleichungen im Vakuum Induktionsgesetz Energiebilanz Impulsbilanz Eichinvarianz	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Die Maxwellgleichung

${{\nabla }_{r}}\times {\bar {E}}=-{\dot {\bar {B}}}$

wird über eine ortsfeste Fläche F (nicht geschlossen) mit Rand

$\partial F$

integriert:

${\begin{aligned}&\int _{F}^{}{d{\bar {f}}}\left({{\nabla }_{r}}\times {\bar {E}}\right)=-\int _{F}^{}{d{\bar {f}}}{\dot {\bar {B}}}\\&\Rightarrow \oint \limits _{\partial F}{}d{\bar {s}}{\bar {E}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{F}^{}{d{\bar {f}}}{\bar {B}}\\\end{aligned}}$

Wobei Differenziation und Integration genau dann vertauscht werden kann, wenn die Variablen unabhängig sind, also die Fläche ortsfest!

Damit folgt die integrale Form dieser Maxwellgleichung

${\begin{aligned}&\oint \limits _{\partial F}{}d{\bar {s}}{\bar {E}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\Phi (t)\\&\Phi (t)=\int _{F}^{}{d{\bar {f}}}{\bar {B}}=\oint \limits _{\partial F}{}d{\bar {s}}\cdot {\bar {A}}\\\end{aligned}}$

Der magnetische Fluß!

Der magnetische Fluß

$\Phi (t)$

hängt nur vom Rand

$\partial F$

der Fläche ab!

Seien F und F´ zwei Flächen mit dem selben Rand, die das Volumen V einschließen :

${\begin{aligned}&\int _{F}^{}{d{\bar {f}}}{\bar {B}}-\int _{F{\acute {\ }}}^{}{d{\bar {f}}}{\bar {B}}=\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}{\bar {B}}=\int _{V}^{}{{{d}^{3}}r}\nabla \cdot {\bar {B}}=0\\&\nabla \cdot {\bar {B}}=0\\\end{aligned}}$

Die Potenzialdifferenz bei einem Umlauf um

$\partial F$

beträgt:

$\Delta \Phi :=-\oint \limits _{\partial F}{}d{\bar {s}}{\bar {E}}$

Dies entspricht einer induzierten Spannung (als Wirbelfeld) Somit folgt das

Faradaysche Induktionsgesetz:

$\Delta \Phi ={\frac {\partial }{\partial t}}{{\Phi }_{mag}}$

mit dem magnetischen Fluß

${{\Phi }_{mag}}$

Die Lenzsche Regel:

${\begin{aligned}&{\dot {\bar {B}}}\to {\bar {E}}\\&\nabla \times {\bar {E}}=-{\bar {B}}\\\end{aligned}}$ induziert ${\bar {E}}\to {\bar {j}}{\tilde {\ }}{\bar {E}}$

Ladungsverschiebung/- Bewegung

${\begin{aligned}&{\bar {j}}\to {\bar {H}}\\&{{\nabla }_{r}}\times {\bar {H}}={\bar {j}}\\\end{aligned}}$

erzeugt Also:

${\bar {H}}$ ist ${\dot {\bar {B}}}$

entgegengerichtet!

Zusammenfassung

$\oint \limits _{\partial F}{}d{\bar {s}}{\bar {E}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\Phi (t)$

Zirkulation des elektrischen Feldes entlang einer geschlossenen Linie ist gleich der zeitlichen Abnahme des eingeschlossenen magnetischen Flusses:

$\Phi (t)=\int _{F}^{}{d{\bar {f}}}{\bar {B}}=\oint \limits _{\partial F}{}d{\bar {s}}\cdot {\bar {A}}$

$\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}{\bar {B}}=0$

Der Nettofluss des magnetischen Feldes durch eine geschlossene Oberfläche ist NULL

$\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}{\bar {E}}={\frac {Q}{{\varepsilon }_{0}}}$

Der Fluß des elektrischen Feldes durch

$\partial V$

ist gleich der eingeschlossenen Ladung

${\frac {Q}{{\varepsilon }_{0}}}$

$\oint \limits _{\partial F}{}d{\bar {s}}\cdot {\bar {H}}=\int _{F}^{}{}d{\bar {f}}\cdot {\dot {\bar {D}}}+I$

Die Zirkulation des magnetischen Feldes entlang einer eingeschlossenen Linie ist gleich der Summe aus dem dielektrischen Verschiebungsstrom

$\int _{F}^{}{}d{\bar {f}}\cdot {\dot {\bar {D}}}$

und dem Konvektionsstrom

$I=\int _{F}^{}{}d{\bar {f}}\cdot {\bar {j}}$