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| {{Scripthinweis|Elektrodynamik|5}} | | <noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|5|0}}</noinclude> |
| =Polarisation=
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| Materie enthält mikroskopische elektrisch geladene Bausteine
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| # '''freie Ladungsträger'''
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| Elektronen in Metallen, Elektronen + Löcher in Halbleitern
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| * Beschleunigung in äußeren Feldern, E- Felder, B- Felder über Ohmsches Gesetz und Lorentz-kraft
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| <math>\bar{K}=q\left[ \bar{E}+\left( \bar{v}\times \bar{B} \right) \right]</math>
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| * elektrische Ströme -> Beschreibung der Materialeigenschaften durch die elektrische Leitfähigkeit
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| *
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| * <math>\sigma </math>
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| *
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| # '''gebundene Ladungen ( In Isolatoren)'''
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| * '''Polarisierung im '''<u>'''E- '''</u>'''Feld'''
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| # '''Für '''<u>'''E '''</u>=0 vorhandene mikroskopische Dipole <u>p</u> werden zur Minimierung der potenziellen Energie
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| Wel.=-<u>p</u> <u>E</u>
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| vorzugsweise ( entgegen der zufälligen thermischen Bewegung) parallel zu <u>E </u>orientiert ( z.B. bei polarisierten Molekülen, Wasser etc... gut zu beobachten !)
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| # Nicht- polare Atome oder Moleküle werden dann durch <u>E </u> durch Verschiebung der Ladungswolken polarisiert. Es entstehen induzierte elektrische Dipole, die zu <u>E</u> parallel ausgerichtet sind:
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| <math>\bar{p}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\rho \left( {\bar{r}} \right)\bar{r}\ne 0</math>
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| nach Einschalten des Feldes.
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| Es werden in den Atomen/ Molekülen positive und negative Ladungen getrennt !
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| <u>'''Makroskopische räumliche Mittelung'''</u>
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| Netto- Ladungen entstehen dadurch an den Grenzflächen
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| Dies erzeugt im Inneren ein Polarisationsgegenfeld
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{E}\acute{\ }=\bar{E}+{{{\bar{E}}}_{p}} \\
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| & {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\acute{\ }={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}+{{\rho }_{P}} \\
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| \end{align}</math>
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| gemäß
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| <math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {{\bar{E}}_{p}}={{\rho }_{P}}</math>
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| Das resultierende Gesamtfeld lautet:
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{E}\acute{\ }=\bar{E}+{{{\bar{E}}}_{p}} \\
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| & {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\acute{\ }={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}+{{\rho }_{P}} \\
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| \end{align}</math>
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| Mit der freien Ladungsdichte
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| <math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}=\rho </math>
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| Also:
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| <math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\acute{\ }=\rho +{{\rho }_{P}}</math>
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| Die Polarisation selbst bestimmt sich nach
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| <math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right):=-{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}_{p}}\left( \bar{r},t \right)</math>
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| ein makroskopisches lokales Feld, dessen Quelle Polarisationsladungen sind.
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| Somit:
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| <math>\begin{align}
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| & \nabla \cdot \left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\acute{\ }+\bar{P} \right)=\rho \\
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| & \nabla \cdot \bar{P}=-{{\rho }_{P}} \\
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| \end{align}</math>
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| Als Dielektrische Verschiebung bezeichnen wir
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| <math>\bar{D}(\bar{r},t)=\left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\acute{\ }+\bar{P} \right)</math>
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| Dies ist die effektive makroskopische Feldgröße, als dessen Quellen nur noch die freien Ladungen ( ohne Polarisationsladungen) auftreten:
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| <math>\nabla \cdot \bar{D}=\rho </math>
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| Wir bezeichnen mit
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| <math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)d\bar{f}=d{{Q}_{P}}</math>
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| die Polarisationsladung, die beim Übergang vom unpolarisierten zum polarisierten Zustand durch die Fläche df verschoben wird:
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| Denn ( bei Betrachtung eines Volumens V, das durch df begrenzt ist):
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| <math>\oint_{\partial V}{{}}\bar{P}\left( \bar{r},t \right)d\bar{f}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=-\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r}{{\rho }_{P}}</math>
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| = Polarisationsladung, die V verläßt !
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| <u>'''Zusammenhang mikroskopische elektrische Dipole / makroskopische Größen:'''</u>
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| <math>{{\rho }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}(t) \right)</math>
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| ( mikroskopische Ladungsdichte)
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| <math>{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{\bar{p}}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}(t) \right)</math>
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| ( mikroskopische Dipoldichte) mit:
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| <math>\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{p}}}_{i}}}</math>
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| Mittelung über ein kleines makroskopisches Volumen
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| <math>\Delta V:</math>
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| <math>{{\left( \Delta V \right)}^{\frac{1}{3}}}<<</math>
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| Längenskala der makroskopischen Dichtevariation
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| Somit:
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| <math>\rho \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)</math>
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| ( makroskopische Ladungsdichte)
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| <math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)</math>
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| Also: Die makroskopische Dipoldichte ist GLEICH DER POLARISATION !!
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| '''Beweis:'''
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| Betrachten wir das mikroskopische retardierte Potenzial:
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| <math>{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math>
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| wobei unter dem Integral die mikroskopische Ladungsdichte einzusetzen ist !
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| Das makroskopisch gemittelte Potenzial folgt dann gemäß
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| <math>\begin{align}
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| & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
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| & \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }:=\bar{r}\acute{\ }-\bar{s} \\
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| & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|} \\
| |
| & =\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
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| Wobei
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| <math>\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)=\rho \left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)</math>
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| Die makroskopische Ladungsdichte ist !
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| <math>\begin{align}
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| & \Rightarrow \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \\
| |
| & =\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\rho \left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \\
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| \end{align}</math>
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| '''Analog:'''
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| Das mikroskopische Potenzial der elektrischen Dipole
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| <math>{{\bar{p}}_{i}}</math>
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| :
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| <math>{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}{{\nabla }_{r}}\left\{ \sum\limits_{i}{{}}\frac{1}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{{{\bar{p}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right) \right\}</math>
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| mit dem mikroskopischen Dipolmoment
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| <math>{{\bar{p}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right)</math>
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| Analog:
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| <math>{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}</math>
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| | |
| mit der mikroskopischen Dipoldichte
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| <math>{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)</math>
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| Somit ergibt sich für das makroskopisch gemittelte elektrische Potenzial:
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| <math>\begin{align}
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| & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right) \\
| |
| & =-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\} \\
| |
| & =-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\} \\
| |
| \end{align}</math>
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| '''Umformung:'''
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| <math>{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}+Korrektur</math>
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| Dabei haben wir das Problem , dass beim Übergang zur gestrichenen Ableitung hier auch nach dem Argument r´ von P abgeleitet wird. Also müssen wir dies wieder abziehen:
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| <math>\begin{align}
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| & {{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}+\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \\
| |
| & t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}+\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \\
| |
| \end{align}</math>
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| Also folgt für das Potenzial:
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| Dies ist das makroskopische Potenzial einer Polarisationsladungsdichte
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| <math>{{\rho }_{p}}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)=\left( -{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \right)</math>
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| | |
| Damit können wir die makroskopische Dipoldichte
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| <math>\bar{P}</math>
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| mit der durch
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| <math>\bar{P}:=-{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}_{p}}</math>
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| bzw.
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| <math>\nabla \cdot \bar{P}=-{{\rho }_{p}}</math>
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| definierten Polarisation identifizieren.
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| =Magnetisierung=
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| Mirkoskopische Ursache für den Magnetismus der Materie sind mikroskopische Kreisströme bzw. mikroskopische magnetische Dipolmomente
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| <math>\bar{m}</math>
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| :
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| a) Für
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| <math>\bar{B}=0</math>
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| vorhandene, permanente magnetische Momente
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| <math>\bar{m}</math>
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| werden zur Minimierung der potenziellen Energie
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| <math>{{W}_{mag.}}=-\bar{m}\bar{B}</math>
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| vorzugsweise ( entgegen der thermischen Bewegung) parallel zum äußeren B- Feld orientiert. Beispiel: Spin- Bahn- Momente von Elektronen
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| * paramagnetisches Verhalten
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| # durch B können nach dem Faradayschen Induktionsgesetz Kreisströme freier oder gebundener Ladungen induziert werden. Wegen der Lenzschen Regel ist die induzierte Magnetisierung antiparallel zum äußeren B- Feld.
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| * diamagnetisches Verhalten !
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| <u>'''Makroskopisch gemittelte Felder'''</u>
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| mikroskopische magnetische Dipoldichte:
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| Wie bei Polarisationsdichte:
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| <math>\begin{align}
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| & {{{\bar{M}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{m}}}_{i}}(t)\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right) \\
| |
| & {{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{p}}}_{i}}(t)\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right)\quad el.Dipoldichte \\
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| \end{align}</math>
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| Mittelung über ein kleines, makroskopisches Volumen
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| <math>\Delta V</math>
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| :
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| <math>\bar{M}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\bar{M}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)</math>
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| '''makroskopische magnetische Dipoldichte:= Magnetisierung'''
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| <u>'''Ziel:'''</u>
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| Zusammenhang zwischen der magnetischen Dipoldichte
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| <math>\bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math>
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| und den effektiven Feldern
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| <math>\bar{B}</math>
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| in der Materie finden.
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| Hierzu zeige man, dass eine Magnetisierungsstromdichte
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| <math>{{\bar{j}}_{M}}</math>
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| als Quelle der Felder eingeführt werden kann:
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| <math>\nabla \times {{\bar{B}}_{M}}={{\mu }_{0}}{{\bar{j}}_{M}}</math>
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| | |
| bzw.
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| <math>\nabla \times \bar{M}={{\bar{j}}_{M}}</math>
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| | |
| '''effektive Gesamtinduktion ( im stationären Fall):'''
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{B}\acute{\ }=\bar{B}+{{{\bar{B}}}_{M}} \\
| |
| & \Rightarrow \nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\acute{\ } \right)=\nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B} \right)+{{{\bar{j}}}_{M}}=\bar{j}+{{{\bar{j}}}_{M}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Also: Erzeugung des B- Feldes ( Differenz aus effektiver Gesamtinduktion und Magnetisierung) durch den sogenannte freien Strom <u>j :</u>
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{B}\acute{\ }=\bar{B}+{{{\bar{B}}}_{M}} \\
| |
| & \nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\acute{\ }-\bar{M} \right)=\bar{j} \\
| |
| & \bar{H}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\acute{\ }-{{{\bar{B}}}_{M}} \right)=\frac{{\bar{B}}}{{{\mu }_{0}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Betrachten wir das Vektorpotenzial der mikroskopischen elektrischen und magnetischen Dipole:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{{\bar{A}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\sum\limits_{i}{{}}\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{{{\dot{\bar{p}}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right)+\nabla \times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{{{\bar{m}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right) \right) \right] \\
| |
| & {{{\bar{p}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right)\quad elektrDipolmoment \\
| |
| & {{{\bar{m}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right)\quad magnetDipolmoment \\
| |
| & \Rightarrow {{{\bar{A}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\dot{\bar{p}}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{M}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right) \right] \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| mit der mikroskopischen elektrischen Dipoldichte
| |
| | |
| <math>{{\bar{p}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)</math>
| |
| | |
| und der magnetischen Dipoldichte
| |
| | |
| <math>{{\bar{M}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)</math>
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| '''Als makroskopisch gemitteltes Potenzial:'''
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{{\bar{A}}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right) \\
| |
| & =\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\dot{\bar{p}}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{M}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right) \right] \\
| |
| & ==\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\dot{\bar{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right) \right] \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| '''Wobei '''nur die makroskopischen Dichten einzusetzen sind ( vergleiche oben)
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| Umformung liefert:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\dot{\bar{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right) \right] \\
| |
| & \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right)= \\
| |
| & =-\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right)+\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \\
| |
| & t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \\
| |
| & \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right)=0 \\
| |
| & \Rightarrow \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\dot{\bar{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \right] \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| '''Definition'''
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \dot{\bar{P}}={{{\bar{j}}}_{p}} \\
| |
| & {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)={{{\bar{j}}}_{M}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Ersteres: Polarisationsstromdichte
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| '''Letzteres: Magnetisierungsstromdichte'''
| |
| | |
| '''Also:'''
| |
| | |
| <math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\left[ {{{\bar{j}}}_{p}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{{\bar{j}}}_{M}}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \right]</math>
| |
| | |
| Das heißt, das makroskopisch gemittelte retardierte Vektorpotenzial wird durch die Polarisations- und Magnetisierungsstromdichten im Medium erzeugt !
| |
| | |
| es gilt der Erhaltungssatz:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{\partial }{\partial t\acute{\ }}{{\rho }_{p}}=-\nabla \cdot \dot{\bar{P}}=-\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{p}} \\
| |
| & \Rightarrow {{{\dot{\rho }}}_{p}}+\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{p}}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Kontinuitätsgleichung für die Erhaltung der Polarisationsladung !
| |
| | |
| =Maxwell- Gleichungen in Materie=
| |
| | |
| Die vollständigen Potenziale enthalten
| |
| * die freie Ladungs- und Stromdichten
| |
| * <math>\rho ,\bar{j}</math>
| |
| *
| |
| * die Polarisations- und Magnetisierungsbeiträge
| |
| * <math>{{\rho }_{p}},{{\bar{j}}_{p}},{{\bar{j}}_{m}}</math>
| |
| *
| |
| | |
| Somit folgt für die vollständigen Potenziale:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \\
| |
| & \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\left[ \bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{{\bar{j}}}_{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{{\bar{j}}}_{M}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right] \\
| |
| & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\left[ \rho \left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\rho }_{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right] \\
| |
| & \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Diese Potenziale sind Lösungen der inhomogenen Wellengleichung in Lorentz- Eichung
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{\acute{\ }0}}\left[ \bar{j}+{{{\bar{j}}}_{P}}+{{{\bar{j}}}_{M}} \right] \\
| |
| & \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left[ \rho +{{\rho }_{P}} \right] \\
| |
| & \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Für die Felder in Materie folgt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Daraus folgen die Maxwell- Gleichungen:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
| |
| & 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| * Wie im Vakuum
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & 3)\nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi \\
| |
| & \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \\
| |
| & \Rightarrow \nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi =\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi -\Delta \Phi =-\#\Phi \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| In Lorentz Eichung !
| |
| | |
| <math>\nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi =\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi -\Delta \Phi =-\#\Phi =\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left( \rho +{{\rho }_{p}} \right)=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left( \rho -\nabla \cdot \bar{P} \right)</math>
| |
| | |
| per Definition von
| |
| <math>{{\rho }_{p}}</math>
| |
| .
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Rightarrow 3)\nabla \cdot \left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}\left( \bar{r},t \right) \right)=\rho \left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}\left( \bar{r},t \right) \right):=\bar{D}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \Rightarrow \nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Die Dielektrische Verschiebung
| |
| | |
| 4) Letzte Gleichung:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \\
| |
| & \Rightarrow \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\nabla \Phi \\
| |
| & \nabla \Phi =-\bar{E}-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \Rightarrow \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E} \\
| |
| & ={{\mu }_{0}}\left( \bar{j}+{{{\bar{j}}}_{P}}+{{{\bar{j}}}_{M}} \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E} \\
| |
| & {{{\bar{j}}}_{P}}=\dot{\bar{P}} \\
| |
| & {{{\bar{j}}}_{M}}=\nabla \times \bar{M} \\
| |
| & \Rightarrow \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)={{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{P}+{{\varepsilon }_{0}}\bar{E} \right)+{{\mu }_{0}}\nabla \times \bar{M}+{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
| |
| & \Rightarrow 4) \\
| |
| & \Rightarrow \nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-\bar{M} \right)=\bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \\
| |
| & \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-\bar{M} \right)=H\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \Rightarrow \nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Mit dem Magnetfeld
| |
| <math>H\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| , welches so definiert wurde, dass es nur durch die FREIEN Ströme erzeugt wird:
| |
| | |
| <u>'''Zusammenfassung:'''</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
| |
| & 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| <math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}</math>
| |
| | |
| <math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\bar{j}</math>
| |
| | |
| Dabei beschreibt
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
| |
| & 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| die Wechselwirkung der Felder mit Probeladungen und
| |
| | |
| <math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| <math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\bar{j}</math>
| |
| | |
| die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme
| |
| | |
| Weiter:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{D}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \bar{H}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-\bar{M}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Im Gauß System ( weil so oft in diesem angegeben, vergl. Jackson):
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & 1)\nabla \times \bar{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=0 \\
| |
| & 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=4\pi \rho \left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| <math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\frac{4\pi }{c}\bar{j}</math>
| |
| | |
| die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme
| |
| | |
| Weiter:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & 5)\bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+4\pi \bar{P}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & 6)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)=\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-4\pi \bar{M}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Unsere 6 Feldgleichungen ( wenn man so will, also ( es kann nicht oft genug gezeigt werden):
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & 1)\nabla \times \bar{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=0 \\
| |
| & 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=4\pi \rho \left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| <math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\frac{4\pi }{c}\bar{j}</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & 5)\bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+4\pi \bar{P}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & 6)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)=\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-4\pi \bar{M}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| sind nicht vollständig. Es muss noch der Zusammenhang zwischen Polarisation und E- Feld, bzw. B- Feld und Magnetisierung angegeben werden. Dies sind die sogenannten " Materialgleichungen".
| |
| | |
| <u>'''Einfachster Fall:'''</u>
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| | |
| # isotrope Materie:
| |
| | |
| <math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)||\bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| und für paramagnetische Stoffe
| |
| <math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\uparrow \uparrow \bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| für diamagnetische Stoffe:
| |
| <math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\uparrow \downarrow \bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| ,
| |
| also ein skalarer Zusammenhang
| |
| | |
| # bei nicht zu hohen Feldern:
| |
| | |
| <math>\bar{E}\tilde{\ }\bar{P}</math>
| |
| | |
| <math>\bar{B}\tilde{\ }\bar{M}</math>
| |
| | |
| also ein linearer Zusammenhang
| |
| | |
| # ohne Gedächtniseffekte, keine nichtlokale Wechselwirkung ( keine Phasenkohärenzen):
| |
| | |
| <math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)\tilde{\ }\bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| <math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\tilde{\ }\bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| neben der Linearität also ein INSTANTANER, LOKALER Zusammenhang !
| |
| | |
| Dann kann man schreiben:
| |
| | |
| <math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\chi }_{e}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| <math>\bar{M}\left( \bar{r},t \right)={{\chi }_{M}}\bar{H}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| Mit den Suszeptibilitäten, der elektrischen Suszeptibilität
| |
| | |
| <math>{{\chi }_{e}}</math>
| |
| und der magnetischen Suszeptibilität
| |
| <math>{{\chi }_{M}}</math>
| |
| ( Materialkonstanten).
| |
| Die Materialkonstanten müssen aus den mikroskopischen Theorien ( z.B. Quantentheorie, Festkörperphysik) abgeleitet werden.
| |
| | |
| <math>\bar{D}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}={{\varepsilon }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{e}} \right)\bar{E}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\varepsilon \bar{E}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| mit
| |
| | |
| <math>\varepsilon =\left( 1+{{\chi }_{e}} \right)</math>
| |
| , der relativen Dielektrizitätskonstante ( permittivity)
| |
| | |
| <math>\bar{B}={{\mu }_{0}}\left( \bar{H}+\bar{M} \right)={{\mu }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)={{\mu }_{0}}\mu \bar{H}</math>
| |
| | |
| mit
| |
| | |
| <math>\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)=\mu </math>
| |
| , der relativen Permeabilität
| |
| | |
| <math>\Rightarrow \bar{M}={{\chi }_{M}}\bar{H}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{M}}}{\mu }\bar{B}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}\bar{B}</math>
| |
| | |
| Man sagt:
| |
| Ein Stoff ist paramagnetisch für
| |
| <math>\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}>0</math>
| |
| | |
| diamagnetisch für
| |
| <math>\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}<0</math>
| |
| | |
| paramagnetisch:
| |
| <math>{{\chi }_{M}}>0\Rightarrow \mu >1</math>
| |
| | |
| diamagnetisch
| |
| <math>0>{{\chi }_{M}}>-1\Rightarrow 0<\mu <1</math>
| |
| | |
| Bemerkungen
| |
| | |
| <math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)=0\Rightarrow \bar{P}=0</math>
| |
| beschreibt kein Ferroelektrikum
| |
| | |
| <math>\bar{B}=0\Rightarrow \bar{M}=0</math>
| |
| kein Ferromagnet
| |
| | |
| Es gilt stets
| |
| <math>{{\chi }_{e}}>0</math>
| |
| ( Dielektrischer Effekt, Polarisierbarkeit -> es existiert keine negative Polarisierbarkeit)
| |
| | |
| <math>{{\chi }_{M}}\begin{matrix}
| |
| > \\
| |
| < \\
| |
| \end{matrix}0</math>
| |
| Para- ODER Diamagnet
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| | |
| Ein Term
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| <math>\tilde{\ }\bar{B}</math>
| |
| in
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| <math>\bar{P}</math>
| |
| oder
| |
| <math>\tilde{\ }\bar{E}</math>
| |
| in
| |
| <math>\bar{M}</math>
| |
| kann gar nicht auftreten, schon wegen des falschen Raumspiegelverhaltens !
| |
| | |
| <math>\bar{E}</math>
| |
| ist polarer Vektor,
| |
| <math>\bar{B}</math>
| |
| ist axialer Vektor !
| |
| | |
| <math>{{\rho }_{P}}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \cdot \bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| ist ein Skalar
| |
| | |
| <math>{{\bar{j}}_{M}}=rot\bar{M}</math>
| |
| ist ein polarer Vektor.
| |
| | |
| <u>'''Abweichungen'''</u>
| |
| | |
| 1)Für anisotrope Kristalle :
| |
| <math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\bar{\bar{\chi }}}_{e}}\bar{E}</math>
| |
| | |
| drückt den anisotropen Charakter aus mit einem symmetrischen Tensor
| |
| <math>{{\bar{\bar{\chi }}}_{e}}</math>
| |
| .
| |
| | |
| 2) für starke Felder gibt es nichtlineare Effekte, die ebenfalls tensoriellen Charakter der Suszeptibilität bedingen:
| |
| | |
| <math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\left( {{{\bar{\bar{\chi }}}}_{e}}^{(1)}\bar{E}+{{{\bar{\bar{\chi }}}}_{e}}^{(2)}{{{\bar{E}}}^{2}}+{{{\bar{\bar{\chi }}}}_{e}}^{(3)}{{{\bar{E}}}^{3}}+... \right)</math>
| |
| | |
| Anwendung: optische Nichtlinearität,
| |
| Beispiel: optische Bistabilität, optische Schalter:
| |
| | |
| | |
| Für hochfrequente Felder folgt:
| |
| | |
| <math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }dt\acute{\ }{{\chi }_{e}}\left( \bar{r},\bar{r}\acute{\ },t,t\acute{\ } \right)\bar{E}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| ( räumliche bzw. zeitliche Dispersion):
| |
| | |
| <math>\hat{\bar{P}}\left( \bar{k},\omega \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\hat{\chi }}_{e}}\left( \bar{k},\omega \right)\hat{\bar{E}}\left( \bar{k},\omega \right)</math>
| |
| | |
| =Grenzbedingungen für Felder=
| |
| | |
| _ Frage ist: Wie verhalten sich
| |
| <math>\bar{B},\bar{H},\bar{D},\bar{E}</math>
| |
| an Grenzflächen, die verschiedene elektrische und magnetische Materialien ( Vakuum/ Materie) trennen ?
| |
| | |
| '''Integration der Maxwell- Gleichungen über ein Volumen V:'''
| |
| | |
| | |
| | |
| <math>\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho \left( \bar{r},t \right)=Q=\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| <math>\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\left( \bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \right)</math>
| |
| | |
| '''Bildlich:'''
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| | |
| '''Normalkomponenten:'''
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| '''Betrachte einen Zylinder, '''der senkrecht auf einer Grenzfläche steht.
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| Nun nimmt man die Maxwellgleichungen in integraler Schreibweise an und läßt den Zylinder unter Berücksichtigung von Integrationssätzen gegen Null- Höhe gehen:
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| also: Für die Normalkomponenten: h -> 0
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| Während also die Normalkomponente des B- Feldes an der Grenzfläche stetig ist,
| |
| springt die Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung um die Ladung, die an der Grenzfläche sitzt:
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| Unter der Annahme, dass die Grenzfläche die freie Flächenladungsdichte
| |
| <math>\sigma </math>
| |
| trägt:
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| <math>\begin{align}
| |
| & \rho \left( \bar{r},t \right)=\sigma \left( x,y,t \right)\delta \left( z \right) \\
| |
| & {{{\bar{e}}}_{z}}\equiv \bar{n} \\
| |
| & \Rightarrow \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho \left( \bar{r},t \right)=Q=\int_{F}^{{}}{{}}df\sigma \left( x,y,t \right) \\
| |
| & \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\left( {{{\bar{D}}}^{(1)}}-{{{\bar{D}}}^{(2)}} \right)=\int_{F}^{{}}{{}}df\bar{n}\left( {{{\bar{D}}}^{(1)}}-{{{\bar{D}}}^{(2)}} \right)=\int_{F}^{{}}{{}}df\sigma \left( x,y,t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>\begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{B}=\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\left( {{{\bar{B}}}^{(1)}}-{{{\bar{B}}}^{(2)}} \right)=\int_{F}^{{}}{{}}df\bar{n}\left( {{{\bar{B}}}^{(1)}}-{{{\bar{B}}}^{(2)}} \right)=0</math>
| |
| | |
| Somit müssen die Integranden übereinstimmen:
| |
| | |
| <math>\bar{n}\left( {{{\bar{B}}}^{(1)}}-{{{\bar{B}}}^{(2)}} \right)=0</math>
| |
| | |
| <math>\bar{n}\left( {{{\bar{D}}}^{(1)}}-{{{\bar{D}}}^{(2)}} \right)=\sigma \left( x,y,t \right)</math>
| |
| | |
| <u>'''Tangentialkomponenten'''</u>
| |
| | |
| <u>'''Anwendung des verallgemeinerten Gaußschen Satz:'''</u>
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| | |
| <math>1)\nabla \times \bar{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=0</math>
| |
| | |
| <math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\frac{4\pi }{c}\bar{j}</math>
| |
| | |
| <math>\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \times \bar{E}=-\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}</math>
| |
| | |
| <math>\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\left( \bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \right)</math>
| |
| | |
| Auch hier: h-> 0
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \times \bar{E}=\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times \bar{E}=-\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
| |
| & \int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times H\left( \bar{r},t \right)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\left( \bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \right) \\
| |
| & \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times \bar{E}=\oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( {{{\bar{E}}}^{(1)}}-{{{\bar{E}}}^{(2)}} \right) \\
| |
| & \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times H\left( \bar{r},t \right)=\oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(1)}}-H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(2)}} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| In beiden Fällen die Tangentialkomponenten der Felder ! senkrecht auf Flächenvektor und Feld
| |
| | |
| Wegen:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times \bar{E}=\oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( {{{\bar{E}}}^{(1)}}-{{{\bar{E}}}^{(2)}} \right)=-\begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
| |
| & \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times H\left( \bar{r},t \right)=\oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(1)}}-H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(2)}} \right)=\begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\left( \bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Annahme: Grenzfläche trägt (freie) Flächenstromdichte
| |
| <math>\begin{align}
| |
| & {\bar{g}} \\
| |
| & \Rightarrow \bar{j}\left( \bar{r},t \right)=\bar{g}\left( x,y,t \right)\delta \left( z \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| wie es bei metallen der Fall ist !,
| |
| dann:
| |
| | |
| <math>\begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\bar{j}=\int_{F}^{{}}{{}}df\bar{g}</math>
| |
| | |
| Weiter:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
| |
| & \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| können für Volumenintegrale mit verschwindendem Volumen nur einen Beitrag liefern, wenn
| |
| <math>\frac{\partial }{\partial t}\bar{B},\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}</math>
| |
| Unendlichkeitsstellen besitzen.
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| | |
| Annahme:
| |
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| <math>\bar{B},\bar{D}</math>
| |
| und
| |
| <math>\frac{\partial }{\partial t}\bar{B},\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}</math>
| |
| sind beschränkt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=0 \\
| |
| & \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=0 \\
| |
| & \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\left( \bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \right)=\int_{F}^{{}}{{}}df\bar{g}(x,y,t) \\
| |
| & \oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( {{{\bar{E}}}^{(1)}}-{{{\bar{E}}}^{(2)}} \right)=0 \\
| |
| & \oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(1)}}-H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(2)}} \right)=\int_{F}^{{}}{{}}df\bar{g}(x,y,t) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Somit haben wir die Grenzbedingungen für die Tangentialkomponenten:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{n}\times \left( {{{\bar{E}}}^{(1)}}-{{{\bar{E}}}^{(2)}} \right)=0 \\
| |
| & \bar{n}\times \left( H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(1)}}-H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(2)}} \right)=\bar{g}(x,y,t) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Das heißt:
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| | |
| Die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes E ist am Grenzübergang stetig
| |
| Die Tangentialkomponente des magnetischen Feldes H springt am Grenzübergang um die Flächenstromdichte !
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| | |
| Bildlich:
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| Sitzen Ladungen an einer Grenzfläche, so ist die Normalkomponente von D ( wichtig: Polarisationseffekt -> Polarisation muss irgendwo mit auftauchen) nicht stetig !
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| Fließen flächenartige Ströme entlang einer Grenzfläche, so ist die Tangentialkomponente von H nicht stetig !
| |
| | |
| <u>'''Zusammenfassung:'''</u>
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| <math>\delta \bar{E}:=\left( {{{\bar{E}}}^{(1)}}-{{{\bar{E}}}^{(2)}} \right)</math>
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| <u>'''Maxwellgleichung Grenzbedingung'''</u>
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| | |
| <math>\begin{align}
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| & 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \bar{n}\times \delta \bar{E}=0 \\
| |
| & 2)\nabla \cdot \bar{B}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \bar{n}\cdot \delta \bar{B}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \bar{n}\cdot \delta \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\sigma </math>
| |
| | |
| <math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \bar{n}\times \delta H\left( \bar{r},t \right)=\bar{g}</math>
| |
| | |
| Also: die Tangenzialkomponente von E ist stetig
| |
| Die Normalkomponente von D springt um die Flächenladungsdichte ( Flächendivergenz)
| |
| Die Tangentialkomponente von H springt ( Flächenrotation) um die Flächenstromdichte
| |
| Die Normalkomponente von B ist stetig.
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| | |
| '''Beispiele:'''
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| # Grenzfläche zwischen 2 dielektrischen Materialien mit
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| | |
| <math>\begin{align}
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| & {{\varepsilon }^{(1)}}<{{\varepsilon }^{(2)}} \\
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| & \sigma =0 \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Zuerst zeichne man sich ein derartiges Diagramm hin !
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{{\bar{E}}}_{t}}^{(1)}={{{\bar{E}}}_{t}}^{(2)} \\
| |
| & {{{\bar{D}}}_{n}}^{(1)}={{{\bar{D}}}_{n}}^{(2)} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| letzteres wegen der verschwindenden Flächenladungsdichte !
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{{\bar{E}}}_{t}}^{(1)}={{{\bar{E}}}_{t}}^{(2)} \\
| |
| & {{{\bar{D}}}_{n}}^{(1)}={{{\bar{D}}}_{n}}^{(2)}\Rightarrow {{\varepsilon }_{1}}{{{\bar{E}}}_{n}}^{(1)}={{\varepsilon }_{2}}{{{\bar{E}}}_{n}}^{(2)} \\
| |
| & \Rightarrow {{{\bar{E}}}_{n}}^{(2)}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}}{{{\varepsilon }_{2}}}{{{\bar{E}}}_{n}}^{(1)} \\
| |
| & \tan {{\alpha }_{1}}=\frac{{{{\bar{E}}}_{t}}^{(1)}}{{{{\bar{E}}}_{n}}^{(1)}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}}{{{\varepsilon }_{2}}}\frac{{{{\bar{E}}}_{t}}^{(2)}}{{{{\bar{E}}}_{n}}^{(2)}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}}{{{\varepsilon }_{2}}}\tan {{\alpha }_{2}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dies ist das Brechungsgesetz für die Feldlinien
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| Achtung ! Das Snelliussche Brechungsgesetz müsste man sich für den Verlauf des Energiestroms berechnen
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| # <u>'''Grenzfläche zwischen Vakuum ( Luft) und magnetischem Material'''</u>
| |
| | |
| <u>'''2.1 Sei '''</u>speziell
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| <math>\bar{B}\bot </math>
| |
| Grenzfläche ( z.B. zwischen den Polschuhen eines Ringmagneten mit Luft dazwischen / Material genauso !)):
| |
| In diesem Fall (keine Oberflächenströme) ist
| |
| <math>\bar{B}</math>
| |
| grundsätzlich stetig !
| |
| B ist eh immer grundsätzlich stetig ! Wegen der Divergenzgleichung wird B immer ( wie D´) für Normalkomponenten herangezogen.
| |
| | |
| # <u>'''Paramagnetisch:'''</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}=\bar{M}+\bar{H} \\
| |
| & \bar{M}\uparrow \uparrow \bar{H} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| | |
| # <u>'''Paramagnetisch:'''</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}=\bar{M}+\bar{H} \\
| |
| & \bar{M}\uparrow \downarrow \bar{H} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| | |
| <u>'''2.2 Sei '''</u>speziell
| |
| <math>\bar{B}||</math>
| |
| Grenzfläche ( z.B. lange Spule mit Luft dazwischen / Material genauso !)):
| |
| Wir müssen nun Tangentialkomponenten untersuchen. Dazu nimmt man die Rotationsgleichungen ( E und H):
| |
| | |
| In diesem Fall ist
| |
| <math>\bar{H}</math>
| |
| stetig für
| |
| <math>\bar{g}=0</math>
| |
| ( kein Oberflächenstrom)
| |
| | |
| =Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit=
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| | |
| Ziel: Berechnung der Materialkonstanten
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| | |
| <u>'''5.5 Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit'''</u>
| |
| | |
| Ziel: Berechnung der Materialkonstanten
| |
| <math>{{\chi }_{e}}</math>
| |
| aus einfachen mikroskopischen Modellen
| |
| Methode: Berechne die induzierte mittlere elektrische Dipoldichte
| |
| <math>\bar{P}</math>
| |
| für ein gegebenes Feld
| |
| <math>\bar{E}</math>
| |
| .
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| | |
| '''Nebenbemerkung: '''Die Orientierungspolarisation ist nur mittels einer thermodynamischen- statistischen Theorie zu berechnen: Hier: Auseinandersetzung nur mit der " induzierten" Polarisation
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| | |
| <u>'''Klassisches Atommodell:'''</u>
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| homogen geladene Kugel mit Radius R und Elektronenladung
| |
| <math>{{Q}_{e}}=-Ze<0</math>
| |
| | |
| Außerdem ein punktförmiger Kern mit
| |
| <math>{{Q}_{k}}=+Ze>0</math>
| |
| am Ort
| |
| <math>{{\bar{r}}_{k}}</math>
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| '''Merke:'''
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| Auch diese Berechnungen geschehen, wie im NOTFALL grundsätzlich zu empfehlen, durch Lösen integraler Darstellungen der Maxwellgleichungen
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| | |
| Ziel: Berechnung des elektrischen Feldes
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| <math>{{\bar{E}}_{el.}}\left( {\bar{r}} \right)</math>
| |
| der Elektronen nach außen:
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| | |
| Gauß- Gesetz
| |
| | |
| | |
| <math>\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho \left( \bar{r},t \right)=Q=\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| Wir müssen aber zurückkehren zu den mikroskopischen Maxwellgleichungen
| |
| | |
| | |
| Wichtig ! Integration immer über das Gebiet, in dem die Ladung vorhanden ist, aber ! Betrachtung des elektrischen Feldes an einem gewissen Aufpunkt r! Die Ladung ist eigentlich von r´ abhängig , aber hier homogen verteilt !-> einfache Integration.
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| | |
| Auswertung liefert
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\varepsilon }_{0}}\oint\limits_{\partial V(r\acute{\ })}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{E}\left( \bar{r},t \right)=\int_{V(r\acute{\ })}^{{}}{{}}\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}}=\frac{r{{\acute{\ }}^{3}}}{{{R}^{3}}}Q \\
| |
| & \Rightarrow 4r{{\acute{\ }}^{2}}\pi {{\varepsilon }_{0}}\left| \bar{E}\left( \bar{r},t \right) \right|=\frac{r{{\acute{\ }}^{3}}}{{{R}^{3}}}Q \\
| |
| & \Rightarrow \left| \bar{E}\left( \bar{r},t \right) \right|=\frac{r\acute{\ }}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}Q \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Natürlich nur für
| |
| | |
| <math>r\acute{\ }\le R</math>
| |
| | |
| setzt man
| |
| <math>\bar{r}\acute{\ }=\bar{r}-{{\bar{r}}_{e}}</math>
| |
| , wobei
| |
| <math>{{\bar{r}}_{e}}</math>
| |
| das Zentrum der elektrischen Ladung angibt,
| |
| | |
| so gewinnt man das rotationssymmetrische Ergebnis
| |
| | |
| <math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)=\frac{\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{e}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}{{Q}_{e}}</math>
| |
| | |
| und die Kraft auf den Kern folgt gemäß:
| |
| | |
| <math>{{\bar{F}}_{K}}={{Q}_{K}}\bar{E}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)=\frac{{{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}{{Q}_{e}}{{Q}_{k}}=-\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)</math>
| |
| | |
| wegen actio = reactio folgt dann für die Kraft auf die Elektronen:
| |
| | |
| <math>{{\bar{F}}_{e}}=-{{\bar{F}}_{K}}</math>
| |
| | |
| Aufstellen der Bewegungsgleichungen ( inklusive einem äußeren Feld
| |
| <math>{{\bar{E}}_{a}}</math>
| |
| ):
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{m}_{K}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{k}}={{{\bar{F}}}_{K}}+{{Q}_{K}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)=-\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+{{Q}_{K}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)=-\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+Ze{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right) \\
| |
| & Z{{m}_{e}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{e}}=-{{{\bar{F}}}_{K}}+{{Q}_{e}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)=\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+{{Q}_{e}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)=\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)-Ze{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Also folgt für die Relativbewegung:
| |
| | |
| <math>\bar{r}={{\bar{r}}_{k}}-{{\bar{r}}_{e}}</math>
| |
| | |
| als relativer Abstand
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \ddot{\bar{r}}={{{\ddot{\bar{r}}}}_{k}}-{{{\ddot{\bar{r}}}}_{e}}=-\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}{{m}_{K}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+\frac{Ze}{{{m}_{K}}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)-\frac{Z{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}{{m}_{e}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+\frac{e}{{{m}_{e}}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right) \\
| |
| & =-\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( \frac{1}{{{m}_{K}}}+\frac{1}{Z{{m}_{e}}} \right)\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+Ze\left( \frac{1}{{{m}_{K}}}+\frac{1}{Z{{m}_{e}}} \right){{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right) \\
| |
| & \left( \frac{1}{{{m}_{K}}}+\frac{1}{Z{{m}_{e}}} \right)\approx \frac{1}{Z{{m}_{e}}} \\
| |
| & \left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)=\bar{r} \\
| |
| & \Rightarrow \ddot{\bar{r}}=-\frac{Z{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}{{R}^{3}}}\bar{r}+\frac{e}{{{m}_{e}}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right) \\
| |
| & \frac{Z{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}{{R}^{3}}}:={{\omega }_{0}}^{2} \\
| |
| & \Rightarrow \ddot{\bar{r}}+{{\omega }_{0}}^{2}\bar{r}=\frac{e}{{{m}_{e}}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Also ergibt sich ein harmonischer Oszillator mit quadratischem Potenzial ! was wir schon an der Bestimmung des Potenzials sofort hätten sehen können !
| |
| | |
| Jedenfalls im stationären Zustand gilt:
| |
| | |
| <math>\bar{r}=\frac{e}{{{\omega }_{0}}^{2}{{m}_{e}}}{{\bar{E}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right)</math>
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| | |
| ( Dynamik mit Dämpfung)
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| | |
| <math>\Rightarrow {{\chi }_{e}}\left( \omega \right)</math>
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| Als Ergebnis gewinnen wir ein statisch mikroskopisch elektrisches Dipolmoment, welches sich über p=qd bereits hinschreiben läßt und welches auch übereinstimmt mit Gleichungen von oben zur exakten Berechnung des elektrischen Dipolmoments:
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{p}=Ze\bar{r}=\frac{Z{{e}^{2}}}{{{\omega }_{0}}^{2}{{m}_{e}}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\alpha {{{\bar{E}}}_{a}} \\
| |
| & \alpha :=\frac{Z{{e}^{2}}}{{{\omega }_{0}}^{2}{{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}} \\
| |
| & \frac{Z{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}{{R}^{3}}}:={{\omega }_{0}}^{2} \\
| |
| & \Rightarrow \alpha :=\frac{Z{{e}^{2}}}{{{\omega }_{0}}^{2}{{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}}=4\pi {{R}^{3}}=3{{V}_{Atom}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Die Polarisierbarkeit des Atoms, ein mikroskopischer Parameter.
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| Entsprechend:
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{p}=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\rho }_{e}}(r\acute{\ })\bar{r}\acute{\ }+Ze\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }) \\
| |
| & Ze\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=Ze\bar{r} \\
| |
| & \int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\rho }_{e}}(r\acute{\ })\bar{r}\acute{\ }=-\frac{Ze}{\frac{4\pi }{3}{{R}^{3}}}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ } \\
| |
| & \int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }=0 \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| wegen Symmetrie
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| <math>\bar{p}=Ze\bar{r}</math>
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| makroskopisch gemittelte Energiedichte:
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| <math>\bar{P}=n\bar{p}={{\varepsilon }_{0}}n\alpha {{\bar{E}}_{a}}</math>
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| mit der mittleren Atomdichte n
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| <u>'''Selbstkonsistente Berechnung des Lokalfeldes Ea:'''</u>
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| Wichtig: Berücksichtigung der Felder, die durch andere elektrische Dipole erzeugt werden:
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| <u>'''Gedankenexperiment'''</u>
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| <u>Feld einer homogenen polarisierten Kugel:</u>
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| Ansatz: homogen geladene Kugel:
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| <math>{{\bar{E}}_{0}}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix}
| |
| \frac{{\bar{r}}}{{{a}^{3}}}r\le a \\
| |
| \frac{{\bar{r}}}{{{r}^{3}}}r\ge a \\
| |
| \end{matrix} \right.</math>
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| | |
| Also:
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| <math>{{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix}
| |
| c-\frac{{{{\bar{r}}}^{2}}}{2{{a}^{3}}}r\le a \\
| |
| \frac{1}{r}r\ge a \\
| |
| \end{matrix} \right.</math>
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| | |
| Bestimmung der Integrationskonstanten:
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| <math>\begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| \varepsilon ->0 \\
| |
| \end{matrix}{{\Phi }_{0}}\left( a-\varepsilon \right)={{\Phi }_{0}}\left( a+\varepsilon \right)\Rightarrow c=\frac{3}{2a}</math>
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| <u>'''die homogen polarisierte Kugel'''</u>
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| Bei der homogen polarisierten Kugel kann man 2 entgegegengesetzt homogen geladene Kugeln mit Abstand ro annehmen.
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| Dann: ro -> 0
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| Bilde:
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| <math>\begin{align}
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| & {{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right)={{\Phi }_{0}}\left( \bar{r}-\frac{1}{2}{{{\bar{r}}}_{0}} \right)-{{\Phi }_{0}}\left( \bar{r}+\frac{1}{2}{{{\bar{r}}}_{0}} \right) \\
| |
| & \approx -{{{\bar{r}}}_{0}}\nabla {{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right) \\
| |
| & \nabla {{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right)=-{{{\bar{E}}}_{0}} \\
| |
| & \Rightarrow {{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right)\approx {{{\bar{r}}}_{0}}{{{\bar{E}}}_{0}}=\frac{Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix}
| |
| \frac{{{{\bar{r}}}_{0}}\bar{r}}{{{a}^{3}}}r\le a \\
| |
| \frac{{{{\bar{r}}}_{0}}\bar{r}}{{{r}^{3}}}r\ge a \\
| |
| \end{matrix} \right.=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix}
| |
| \frac{\bar{p}\bar{r}}{{{a}^{3}}}r\le a \\
| |
| \frac{\bar{p}\bar{r}}{{{r}^{3}}}r\ge a \\
| |
| \end{matrix} \right. \\
| |
| & \bar{p}:=Q{{{\bar{r}}}_{0}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Das Dipolmoment der herausgeschnittenen Kugel.
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| Als Näherung wurde taylorentwickelt. Dabei allerdings nur bis zur ersten Ordnung und Nullte Ordnung verschwindet.
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| Verwendet wurde das Dipolmoment der Kugel. Man kann auf Polarisation ( eigentlich Dipoldichte) umschreiben:
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{P}=\frac{{\bar{p}}}{\frac{4}{3}{{a}^{3}}\pi } \\
| |
| & \Rightarrow {{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right)\approx {{{\bar{r}}}_{0}}{{{\bar{E}}}_{0}}=\frac{Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix}
| |
| \frac{{{{\bar{r}}}_{0}}\bar{r}}{{{a}^{3}}}r\le a \\
| |
| \frac{{{{\bar{r}}}_{0}}\bar{r}}{{{r}^{3}}}r\ge a \\
| |
| \end{matrix} \right.=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix}
| |
| \frac{\bar{P}\bar{r}}{3}r\le a \\
| |
| \bar{P}\bar{r}\frac{{{a}^{3}}}{{{r}^{3}}}r\ge a \\
| |
| \end{matrix} \right. \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Wir gewinnen innerhalb der Kugel homogene Polarisation und außerhalb ein Dipolpotenzial.
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| <math>{{\bar{E}}_{Kugel}}=-\nabla \Phi =-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\frac{{\bar{P}}}{3}r\le a</math>
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| für das elektrische Feld im Inneren der Kugel ( homogen polarisiert).
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| <u>'''Gesamtes Lokalfeld am Ort des Atoms ergibt sich nach:'''</u>
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| das äußere Feld wird erzeugt durch Atome, die sich außerhalb der Hohlkugel befinden.
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| Das innere Feld durch Atome im Inneren der Hohlkugel.
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| Gezeichnet: Lokalfeld einer polarisierten dielektrischen Kugel im homogenen elektrischen Feld
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| Das Lokalfeld im INNEREN des KugelHOHLRAUMS, welcher aus dem Volumen herausgeschnitten wurde:
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| <math>{{\bar{E}}_{a}}\left( {\bar{r}} \right)=\bar{E}-{{\bar{E}}_{KUgel}}</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{{\bar{E}}}_{a}}\left( {\bar{r}} \right):Lokalfeld \\
| |
| & \bar{E}:makroskopisch \\
| |
| & {{{\bar{E}}}_{a}}\left( {\bar{r}} \right)=\bar{E}+\frac{1}{3{{\varepsilon }_{0}}}\bar{P} \\
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| \end{align}</math>
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| | |
| Letztes wurde von Lorentz eingeführt als "Korrekturfeld"
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| weil
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| <math>{{\bar{E}}_{a}}+{{\bar{E}}_{Kugel}}=\bar{E}</math>
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| sein muss
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| Das Lokalfeld am Ort des Atoms mit dem Innenfeld der dielektrischen Kugel ( wieder in den Hohlraum eingesetzt) ergibt das mittlere makroskopische Feld !
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| | |
| '''Zusammenhang zwischen P und makroskopischem Feld E:'''
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{P}={{\varepsilon }_{0}}n\alpha {{{\bar{E}}}_{a}}={{\varepsilon }_{0}}n\alpha \left( \bar{E}+\frac{1}{3{{\varepsilon }_{0}}}\bar{P} \right) \\
| |
| & \bar{P}={{\varepsilon }_{0}}{{\chi }_{e}}\bar{E} \\
| |
| & \Rightarrow {{\chi }_{e}}=\frac{n\alpha }{1-\frac{1}{3}n\alpha } \\
| |
| & n\alpha =\frac{{{\chi }_{e}}}{1+\frac{1}{3}{{\chi }_{e}}}=\frac{\varepsilon -1}{1+\frac{\varepsilon -1}{3}}=3\frac{\varepsilon -1}{\varepsilon +2} \\
| |
| \end{align}</math>
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| Formel von Clausius - Masotti für polarisierte Kugel
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| =Wellenausbreitung in Materie=
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| Annahme: homogene, isotrope, lineare Medien mit skalaren Materialparametern
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| <math>\varepsilon ,\mu ,\sigma </math>
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| :
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{D}=\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\quad \varepsilon >1 \\
| |
| & \bar{B}={{\mu }_{0}}\mu \bar{H}\quad i.a.\mu \tilde{\ }1 \\
| |
| & \bar{j}=\sigma \bar{E} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| ( ohmsches Gesetz)
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| | |
| <u>'''Wellen in leitenden Medien ohne Dispersion:'''</u>
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| | |
| <u>'''Das heißt:'''</u>
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| <math>\varepsilon ,\mu ,\sigma </math>
| |
| nicht frequenzabhängig !
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| | |
| Sei
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \rho =0 \\
| |
| & \nabla \times \bar{E}+\dot{\bar{B}}=0 \\
| |
| & \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\mu \varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\dot{\bar{E}}={{\mu }_{0}}\mu \bar{j}={{\mu }_{0}}\mu \sigma \bar{E} \\
| |
| & \nabla \cdot \bar{E}=0 \\
| |
| & \nabla \cdot \bar{B}=0 \\
| |
| & \Rightarrow \nabla \times \left( \nabla \times \bar{E} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{E} \right)-\Delta \bar{E}=-\Delta \bar{E}=-\nabla \times \dot{\bar{B}}=-{{\mu }_{0}}\mu \sigma \dot{\bar{E}}-{{\mu }_{0}}\mu \varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\ddot{\bar{E}} \\
| |
| & \\
| |
| & \Delta \bar{E}={{\mu }_{0}}\mu \sigma \dot{\bar{E}}+{{\mu }_{0}}\mu \varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\ddot{\bar{E}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Somit erhalten wir die Gleichung einer gedämpften Welle
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Delta \bar{E}-\frac{1}{{{c}_{m}}^{2}}\left( \frac{\sigma }{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}}\dot{\bar{E}}+\ddot{\bar{E}} \right)=0 \\
| |
| & {{c}_{m}}:=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\mu {{\mu }_{0}}}}=c\frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu }} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Für den eindimensionalen Fall: sogenannte Telegraphengleichung. Beschreibt die Drahtwellenausbreitung !
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| | |
| <u>'''Spezielle Lösung dieses Problems:'''</u>
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| | |
| <u>homogene, ebene Welle:</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
| |
| & \Rightarrow {{k}^{2}}=\varepsilon \mu \frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\left( 1+i\frac{1}{\omega \tau } \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dispersionsrelation für den Fall der frequenzunabhängigen Parameter
| |
| Durch die Dämpfung
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| <math>\sigma </math>
| |
| ist der Wellenvektor ein komplexer Parameter.
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| | |
| <math>k\in C</math>
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| | |
| Setze:
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| | |
| <math>k=\frac{\omega }{c}\tilde{n}=\frac{\omega }{c}\left( n+i\gamma \right)</math>
| |
| | |
| mit c: Vakuumlichtgeschwindigkeit
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| | |
| <math>\tilde{n}=\left( n+i\gamma \right)</math>
| |
| komplexer Brechungsindex !
| |
| Somit:
| |
| | |
| <math>{{k}^{2}}=\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}{{\tilde{n}}^{2}}=\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\left( {{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}+2in\gamma \right)=\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\varepsilon \mu \left( 1+i\frac{1}{\omega \tau } \right)</math>
| |
| | |
| Damit können Real- und Imaginärteil durch Vergleich herangezogen werden, um Gamma und n zu bestimmen:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}=\varepsilon \mu \\
| |
| & n\gamma =\frac{\varepsilon \mu }{2\omega \tau } \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| * Bestimmung von
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| * <math>n,\gamma </math>
| |
| * :
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| | |
| o.B.d.A.:
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| | |
| <math>\bar{k}||{{\bar{x}}_{3}}</math>
| |
| :
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| | |
| Ausschreiben der Welle:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
| |
| & \bar{E}({{{\bar{x}}}_{3}},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{-\frac{{{x}_{3}}}{\lambda }}}{{e}^{-i\omega \left( t-\frac{n}{c}{{x}_{3}} \right)}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Also eine gedämpfte Welle mit der Phasengeschwindigkeit
| |
| <math>\frac{c}{n}</math>
| |
| und dem Extinktionskoeffizienten
| |
| | |
| <math>\lambda =\frac{c}{\omega \gamma }</math>
| |
| | |
| '''Lineare Polarisation:'''
| |
| | |
| <math>{{\bar{E}}_{0}}||{{\bar{x}}_{1}}\Rightarrow {{\bar{B}}_{0}}||{{\bar{x}}_{2}}</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\left( \nabla \times \bar{E} \right)}_{2}}=\frac{\partial {{E}_{1}}}{\partial {{x}_{3}}}=-{{{\dot{B}}}_{2}} \\
| |
| & \Leftrightarrow i\frac{\omega }{c}\left( n+i\gamma \right){{E}_{1}}=i\omega {{B}_{2}} \\
| |
| & \Leftrightarrow {{B}_{2}}=\frac{\left( n+i\gamma \right)}{c}{{E}_{1}}=\frac{\sqrt{{{n}^{2}}+{{\gamma }^{2}}}}{c}{{e}^{i\phi }}{{E}_{1}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Somit existiert eine Phasenverschiebung
| |
| <math>\phi </math>
| |
| zwischen E und B
| |
| | |
| <u>'''Der Isolator'''</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \sigma =0 \\
| |
| & \tau \to \infty \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Folgen:
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| <math>\gamma =0</math>
| |
| keine Dämpfung
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| <math>\phi </math>
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| =0 keine Phasenverschiebung zwischen E und B
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| * kommt erst durch die Dämpfung !
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| * i m Isolator schwingen E und B in Phase !
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| | |
| reeller Brechungsindex:
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| | |
| <math>n=\sqrt{\varepsilon \mu }\approx \sqrt{\varepsilon }>1</math>
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| | |
| * Phasengeschwindigkeit :
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| * <math>\frac{c}{n}<c</math>
| |
| *
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| Nebenbemerkung:
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| Nur OHNE DISPERSION ist
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| <math>\varepsilon </math>
| |
| reell
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| | |
| <u>'''Metalle'''</u>
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| | |
| | |
| <math>\tau =\frac{{{\varepsilon }_{0}}\varepsilon }{\sigma }<<\frac{1}{\omega }</math>
| |
| für alle Frequenzen bis UV
| |
| Somit:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{k}^{2}}=\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\left( {{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}+2in\gamma \right)\approx \frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\varepsilon \mu \frac{i}{\omega \tau } \\
| |
| & \Rightarrow {{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}\approx 0 \\
| |
| & n\gamma \approx {{n}^{2}}\approx {{\gamma }^{2}}\approx \frac{\varepsilon \mu }{2\omega \tau }\Rightarrow n=\gamma =\sqrt{\frac{\varepsilon \mu }{2\omega \tau }} \\
| |
| & \tan \phi =\frac{\gamma }{n}\approx 1\Rightarrow \phi \approx \frac{\pi }{4} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Extinktionskoeffizient
| |
| | |
| <math>d<<\frac{c}{\omega \gamma }\tilde{\ }cm</math>
| |
| für 100 Hz
| |
| ( hochfrequente Wellen dringen nicht in Metall ein, Grund: Verschiebungsstrom << Leitungsstrom)
| |
| | |
| <u>'''Dielektrische Dispersion'''</u>
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| | |
| Annahme:
| |
| <math>\mu =1</math>
| |
| | |
| Betrachte nun zeitliche Dispersion, also
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \hat{\chi }\left( \omega \right): \\
| |
| & \hat{\bar{P}}\left( \omega \right)={{\varepsilon }_{0}}\hat{\chi }\left( \omega \right)\hat{\bar{E}}\left( \omega \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| mit:
| |
| | |
| <math>\hat{\chi }\left( \omega \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\chi \left( t \right){{e}^{i\omega t}}</math>
| |
| | |
| dynamische elektrische Suszeptibilität
| |
| | |
| '''Fourier- Trafo:'''
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \hat{\bar{P}}\left( \bar{r},\omega \right){{e}^{-i\omega t}} \\
| |
| & \hat{\bar{E}}\left( \bar{r},\omega \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\bar{E}\left( \bar{r},t \right){{e}^{+i\omega t}} \\
| |
| & \Rightarrow \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega {{\varepsilon }_{0}}\hat{\chi }\left( \omega \right)\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\acute{\ }\bar{E}\left( \bar{r},t\acute{\ } \right){{e}^{+i\omega \left( t\acute{\ }-t \right)}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Betrachte:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega {{\varepsilon }_{0}}\hat{\chi }\left( \omega \right)\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\acute{\ }{{e}^{+i\omega \left( t\acute{\ }-t \right)}}:=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{\sqrt{2\pi }}\chi \left( t-t\acute{\ } \right) \\
| |
| & \Rightarrow \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega {{\varepsilon }_{0}}\hat{\chi }\left( \omega \right)\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\acute{\ }\bar{E}\left( \bar{r},t\acute{\ } \right){{e}^{+i\omega \left( t\acute{\ }-t \right)}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{t}{{}}dt\acute{\ }\chi \left( t-t\acute{\ } \right)\bar{E}\left( \bar{r},t\acute{\ } \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Nachwirkungseffekt: Faltungsintegral -> Berücksichtigung des Nachwirkungseffekts über Faltungsintegral.
| |
| | |
| '''Nebenbemerkung: Kausalität verlangt:'''
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \chi \left( t-t\acute{\ } \right)=0 \\
| |
| & f\ddot{u}r \\
| |
| & t\acute{\ }>t \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Aus mikroskopischen Modellen folgt i.A. ein komplexes
| |
| <math>\hat{\chi }\left( \omega \right)\in C</math>
| |
| | |
| * Komplexe dielektrische Funktion:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \varepsilon \left( \omega \right)=1+\hat{\chi }\left( \omega \right)=\varepsilon \acute{\ }\left( \omega \right)+i\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega \right) \\
| |
| & \varepsilon \acute{\ },\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\in R \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Aus:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \varepsilon \left( \omega \right)=1+\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{0}^{\infty }{{}}dt\chi \left( t \right){{e}^{i\omega t}} \\
| |
| & \Rightarrow \varepsilon *(\omega )=\varepsilon (-\omega ) \\
| |
| & \varepsilon \acute{\ }(\omega )=\varepsilon \acute{\ }(-\omega ) \\
| |
| & \varepsilon \acute{\ }\acute{\ }(\omega )=-\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }(-\omega ) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Monochromatische ebene Welle:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
| |
| & \Rightarrow {{k}^{2}}=\varepsilon \left( \omega \right)\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\left( 1+i\frac{1}{\omega \tau } \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| '''Isolator ( dispersives Dielektrikum)'''
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
| |
| & \Rightarrow {{k}^{2}}=\varepsilon \left( \omega \right)\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \tilde{n}\left( \omega \right)=n\left( \omega \right)+i\gamma \left( \omega \right) \\
| |
| & \tilde{n}{{\left( \omega \right)}^{2}}=\varepsilon \left( \omega \right)\equiv \varepsilon \acute{\ }+i\varepsilon \acute{\ }\acute{\ } \\
| |
| & \varepsilon \acute{\ }\left( \omega \right)={{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}} \\
| |
| & \varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega \right)=2n\gamma \\
| |
| & \Rightarrow \left. \begin{matrix}
| |
| \gamma \\
| |
| n \\
| |
| \end{matrix} \right\}=\frac{1}{\sqrt{2}}{{\left( \sqrt{\varepsilon {{\acute{\ }}^{2}}+\varepsilon \acute{\ }{{\acute{\ }}^{2}}}\mp \varepsilon \acute{\ } \right)}^{\frac{1}{2}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dabei
| |
| | |
| <math>\left. \begin{matrix}
| |
| \gamma \\
| |
| n \\
| |
| \end{matrix} \right\}=\frac{1}{\sqrt{2}}{{\left( \sqrt{\varepsilon {{\acute{\ }}^{2}}+\varepsilon \acute{\ }{{\acute{\ }}^{2}}}\mp \varepsilon \acute{\ } \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>
| |
| | |
| Als Absorptionskoeffizient
| |
| <math>\gamma </math>
| |
| ( reeller Brechungsindex n)
| |
| | |
| '''Absorption'''
| |
| | |
| <math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }=0\Rightarrow \gamma =0,n=\sqrt{\varepsilon \acute{\ }}</math>
| |
| | |
| Absorptionskoeffizient Null, reeller Brechungsindex: Wurzel epsilon
| |
| Also: für
| |
| <math>\varepsilon \acute{\ }>0</math>
| |
| -> ungedämpfte Welle
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| <math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }>0\Rightarrow \gamma >0</math>
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| * in jedem Fall gedämpfte Welle ( Energiedissipation).
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| Der Frequenzbereich mit
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| <math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }<<\varepsilon \acute{\ }</math>
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| heißt Transparenzgebiet der Substanz ( besonders wenig Absorption).
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| '''Dispersion'''
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| <math>\operatorname{Re}k=k\acute{\ }=\frac{\omega }{c}n(\omega )</math>
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| nichtlineare Dispersion ( nur in erster Näherung ist n(w) linear !)
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| * Definition der Gruppengeschwindigkeit:
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| <math>\begin{align}
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| & {{v}_{g}}:=\frac{d\omega }{dk\acute{\ }}=\frac{1}{\frac{dk\acute{\ }}{d\omega }}=\frac{c}{\frac{d\left( \omega n \right)}{d\omega }} \\
| |
| & {{v}_{g}}=\frac{c}{n+\omega \frac{dn}{d\omega }}\ne \frac{c}{n\left( \omega \right)}={{v}_{ph.}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| <u>'''Typische Frequenzabhängigkeit: ( sogenanntes Resonanzverhalten):'''</u>
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| <u>'''Normale Dispersion'''</u>
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| <math>\frac{dn}{d\omega }>0</math>
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| Stets im Transparenzgebiet, also wenn
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| <math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\tilde{\ }0</math>
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| <math>{{v}_{g}}<{{v}_{ph.}}</math>
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| '''Anormale Dispersion'''
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| <math>\frac{dn}{d\omega }<0</math>
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| bei Absorption !
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| <u>'''Beziehung zwischen'''</u>
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| <math>\varepsilon \acute{\ }\left( \omega \right)</math>
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| und
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| <math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega \right)</math>
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| <u>'''Kramers- Kronig- Relation'''</u>
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| * Allgemein gültiger Zusammenhang zwischen Dispersion
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| * <math>n\left( \omega \right)</math>
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| * und Absorption
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| * <math>\gamma \left( \omega \right)</math>
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| * .
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| * erlaubt z.B. dann die Berechnung von Dispersionsrelationen aus dem Absorptionsspektrum und auch umgekehrt
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| * Folgt alleine aus dem Kausalitätsprinzip !
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| <u>'''Beweis ( Funktionenthorie)'''</u>
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| Für kausale Funktion gilt:
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| <math>\begin{align}
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| & \chi \left( t \right)=\Theta \left( t \right)\chi \left( t \right) \\
| |
| & \Theta \left( t \right)=\left\{ \begin{matrix}
| |
| \begin{align}
| |
| & 0t<0 \\
| |
| & 1t\ge 0 \\
| |
| \end{align} \\
| |
| {} \\
| |
| \end{matrix} \right. \\
| |
| \end{align}</math>
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| Heavyside
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| '''Fourier- Trafo:'''
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| <math>\hat{\chi }\left( \omega \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{{}}^{{}}{{}}d\omega \acute{\ }\Theta \left( \omega -\omega \acute{\ } \right)\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \hat{\Theta }\left( \omega \right):=\begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| \sigma ->0+ \\
| |
| \end{matrix}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{0}^{\infty }{dt{{e}^{i\omega t-\sigma t}}}=\begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| \sigma ->0+ \\
| |
| \end{matrix}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{1}{i\omega -\sigma } \\
| |
| & \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Mit dem konvergenzerzeugenden Faktor
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| <math>\sigma </math>
| |
| :
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| Also:
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| <math>\hat{\chi }\left( \omega \right)=\frac{1}{2\pi i}\begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| \sigma ->0+ \\
| |
| \end{matrix}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega -i\sigma }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>
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| | |
| '''Der Integrand hat einen Pol für'''
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| <math>\omega \acute{\ }=\omega +i\sigma </math>
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| | |
| Also:
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| '''Äquivalenter Integrationsweg:'''
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| '''Zerlegung:'''
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| <math>\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)=\begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| \varepsilon ->{{0}^{+}} \\
| |
| \end{matrix}\left[ \int_{-\infty }^{\omega -\varepsilon }{+\int_{\omega +\varepsilon }^{\infty }{{}}} \right]d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)+\int\limits_{Kreisbogen}{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| Man sagt:
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| | |
| <math>\begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| \varepsilon ->{{0}^{+}} \\
| |
| \end{matrix}\left[ \int_{-\infty }^{\omega -\varepsilon }{+\int_{\omega +\varepsilon }^{\infty }{{}}} \right]d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)=P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| = Hauptwertintegral ( principal Value), entsteht nur direkt an der Polstelle !
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| | |
| <math>\int\limits_{Kreisbogen}{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>
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| | |
| Integral längs des Halbkreis mit Radius
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| <math>\varepsilon </math>
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| um den Pol !
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| <math>\begin{align}
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| & \int\limits_{Kreisbogen}{{}}ds\frac{f(s)}{s}=f(0)\int\limits_{Kreisbogen}{{}}\frac{ds}{s} \\
| |
| & s=\varepsilon {{e}^{i\phi }}\Rightarrow ds=isd\phi \\
| |
| & f(0)\int\limits_{Kreisbogen}{{}}\frac{ds}{s}=f(0)i\int\limits_{0}^{\pi }{{}}d\phi =i\pi f(0) \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| sogenanntes " Halbes Residuum!"
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| | |
| Also:
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| <math>\begin{align}
| |
| & \hat{\chi }\left( \omega \right)=\frac{1}{2\pi i}\begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| \sigma ->0+ \\
| |
| \end{matrix}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega -i\sigma }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right) \\
| |
| & =\frac{1}{2\pi i}P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)+\frac{1}{2}\hat{\chi }\left( \omega \right) \\
| |
| & \Rightarrow \hat{\chi }\left( \omega \right)=\frac{1}{\pi i}P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right) \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Nun: Zerlegung in Re und Im mit
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \operatorname{Re}\hat{\chi }\left( \omega \right)=\varepsilon \acute{\ }\left( \omega \right)-1 \\
| |
| & \operatorname{Im}\hat{\chi }\left( \omega \right)=\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Also:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \operatorname{Re}\hat{\chi }\left( \omega \right)=\varepsilon \acute{\ }\left( \omega \right)-1=\frac{1}{\pi }P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega \acute{\ } \right) \\
| |
| & \operatorname{Im}\hat{\chi }\left( \omega \right)=\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega \right)=-\frac{1}{\pi }P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\left( \varepsilon \acute{\ }\left( \omega \acute{\ } \right)-1 \right) \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Dies ist die Kramers- Kronig- Relation. Sie verknüpft Real- und Imaginärteil des komplexen Brechungsindex miteinander !
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| Titchmask- Theorem:
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| <math>\hat{\chi }\left( z \right)</math>
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| sollte regulär sein auf der oberen komplexen z- Halbebene
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| Somit:
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| <math>\hat{\chi }\left( z \right)\to 0</math>
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| für
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| <math>\operatorname{Im}z\to \infty </math>
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| =Brechung und Reflexion=
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| Wir haben bereits gesehen, wie man aus den Stetigkeitsbedingungen mit Hilfe der integralen Maxwellgleichungen die Brechungsrelationen für die Feldvektoren herleiten kann. Nun soll dies für Lichtwellen wiederholt / vertieft werden:
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| Sogenannte Wellenausbreitung in geschichteten Medien
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| Transparent ->
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| <math>{{\varepsilon }_{i}}\in R</math>
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| <math>\begin{align}
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| & \frac{\omega }{{{c}_{1}}}=\left| {\bar{k}} \right|=\left| \bar{k}\acute{\ } \right|=\frac{\omega \acute{\ }}{{{c}_{1}}} \\
| |
| & \left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|=\frac{\omega \acute{\ }\acute{\ }}{{{c}_{2}}} \\
| |
| & {{c}_{i}}=\frac{c}{{{n}_{i}}}=\frac{c}{\sqrt{{{\varepsilon }_{i}}}}\quad i=1,2 \\
| |
| & \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Einfallende Welle:
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| | |
| <math>\bar{E}(\bar{r},t)={{\bar{E}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}}</math>
| |
| | |
| Reflektierte Welle:
| |
| | |
| <math>\bar{E}\acute{\ }(\bar{r},t)={{\bar{E}}_{0}}\acute{\ }{{e}^{i\left( \bar{k}\acute{\ }\bar{r}-\omega \acute{\ }t \right)}}</math>
| |
| | |
| Transmittierte Welle:
| |
| | |
| <math>\bar{E}\acute{\ }\acute{\ }(\bar{r},t)={{\bar{E}}_{0}}\acute{\ }\acute{\ }{{e}^{i\left( \bar{k}\acute{\ }\acute{\ }\bar{r}-\omega \acute{\ }\acute{\ }t \right)}}</math>
| |
| | |
| <u>'''Grenzbedingungen für'''</u>
| |
| <math>\bar{E}(\bar{r},t)</math>
| |
| . Annahme: linear polarisiert:
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| <math>{{\left. {{E}_{1}}+{{E}_{1}}\acute{\ } \right|}_{{{x}_{3}}=0}}={{\left. {{E}_{1}}\acute{\ }\acute{\ } \right|}_{{{x}_{3}}=0}}</math>
| |
| -> Stetigkeit der Tangenzialkomponenten
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| Diese Bedingungen werden nur an die Amplituden gestellt. Für die Phasen gibt es keine Bedingungen, besser gesagt:
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| | |
| Betrachte Situation für r=0
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{{\bar{E}}}_{01}}{{e}^{i\omega t}}+{{{\bar{E}}}_{01}}\acute{\ }{{e}^{i\omega \acute{\ }t}}={{{\bar{E}}}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }{{e}^{i\omega \acute{\ }\acute{\ }t}} \\
| |
| & \Rightarrow \omega =\omega \acute{\ }=\omega \acute{\ }\acute{\ } \\
| |
| & {{{\bar{E}}}_{01}}+{{{\bar{E}}}_{01}}\acute{\ }={{{\bar{E}}}_{01}}\acute{\ }\acute{\ } \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Das Snelliussche Brechungsgesetz können wir uns nicht als Amplitudenverhältnis anschauen, weil wir sonst wieder nur die Brechung der elektrischen Feldvektoren gewinnen.
| |
| Aber: Wenn man ein Verhältnis der Beträge der k- Vektoren ( Ausbreitungsrichtung des Energiestroms) betrachtet, so ergibt sich das richtige Ausbreitungsgesetz:
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| | |
| Betrachte für t=0
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| | |
| <math>{{E}_{01}}{{e}^{i{{k}_{1}}{{x}_{1}}}}+{{E}_{01}}\acute{\ }{{e}^{ik{{\acute{\ }}_{1}}{{x}_{1}}}}={{E}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }{{e}^{i{{k}_{1}}\acute{\ }\acute{\ }{{x}_{1}}}}</math>
| |
| | |
| Also:
| |
| | |
| <math>{{k}_{1}}={{k}_{1}}\acute{\ }={{k}_{1}}\acute{\ }\acute{\ }</math>
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| | |
| Aber: ( Siehe Skizze) ! Dies gilt ja genau für die Anteile entlang x^1, also:
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| muss man den Winkel dazunehmen und man gewinnt:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \left| {\bar{k}} \right|\sin \gamma =\left| \bar{k}\acute{\ } \right|\sin \gamma \acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|\sin \gamma \acute{\ }\acute{\ } \\
| |
| & \left| {\bar{k}} \right|=\frac{\omega }{{{c}_{1}}} \\
| |
| & \left| \bar{k}\acute{\ } \right|=\frac{\omega }{{{c}_{1}}} \\
| |
| & \left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|=\frac{\omega }{{{c}_{2}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Somit gewinnen wir Reflexions und Snelliussches Brechungsgesetz:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \sin \gamma =\sin \gamma \acute{\ } \\
| |
| & \frac{\sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }}{\sin \gamma }=\frac{{{c}_{2}}}{{{c}_{1}}}=\frac{{{n}_{1}}}{{{n}_{2}}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Reflexions- und Brechungsgesetz
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| <u>'''Bestimmung der Amplituden:'''</u>
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| | |
| # <u>'''Polarisation von E in der Einfallsebene'''</u>
| |
| Stetigkeitsbedingungen: Normalkomponenten sind keine vorhanden -> Nur Tangentialkomponenten:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{E}_{01}}={{E}_{01}}\acute{\ }={{E}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }=0 \\
| |
| & {{E}_{03}}={{E}_{03}}\acute{\ }={{E}_{03}}\acute{\ }\acute{\ }=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Für die Tangentialkomp.:
| |
| | |
| <math>{{E}_{02}}+{{E}_{02}}\acute{\ }={{E}_{02}}\acute{\ }\acute{\ }</math>
| |
| | |
| Mit
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| | |
| <math>{{\bar{B}}_{0}}=\frac{c}{\omega }\bar{k}\times {{\bar{E}}_{0}}=\frac{c}{\omega }{{E}_{02}}\left( \begin{matrix}
| |
| -{{k}_{3}} \\
| |
| 0 \\
| |
| {{k}_{1}} \\
| |
| \end{matrix} \right)</math>
| |
| | |
| Somit folgt dann für die Tangentialkomponente von B:
| |
| | |
| <math>{{B}_{01}}+{{B}_{01}}\acute{\ }={{B}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }\Rightarrow {{k}_{3}}{{E}_{02}}+{{k}_{3}}\acute{\ }E{{\acute{\ }}_{02}}={{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }{{E}_{02}}\acute{\ }\acute{\ }</math>
| |
| | |
| mit dem Reflexionsgesetz.
| |
| | |
| <math>{{k}_{3}}=-{{k}_{3}}\acute{\ }</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Rightarrow {{k}_{3}}\left( {{E}_{02}}-E{{\acute{\ }}_{02}} \right)={{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }\left( {{E}_{02}}+{{E}_{02}}\acute{\ } \right) \\
| |
| & \Rightarrow \frac{E{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}}=\frac{{{k}_{3}}-{{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }}{{{k}_{3}}+{{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }} \\
| |
| & \frac{E\acute{\ }{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}}=\frac{2{{k}_{3}}}{{{k}_{3}}+{{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Man muss nun nur
| |
| <math>{{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }</math>
| |
| über den Brechungswinkel
| |
| <math>\gamma \acute{\ }\acute{\ }</math>
| |
| ausdrücken und man gewinnt die Fresnelschen Formeln:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|\cos \gamma \acute{\ }\acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ } \right|\frac{{{n}_{2}}}{{{n}_{1}}}\cos \gamma \acute{\ }\acute{\ } \\
| |
| & \frac{{{n}_{2}}}{{{n}_{1}}}=\frac{\sin \gamma }{\sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }} \\
| |
| & \Rightarrow {{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|\cos \gamma \acute{\ }\acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ } \right|\frac{\sin \gamma }{\sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }}\cos \gamma \acute{\ }\acute{\ } \\
| |
| & {{k}_{3}}=\left| {\bar{k}} \right|\cos \gamma \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Also können wir dies in die gefundenen Formeln für die Amplitudenverhältnisse einsetzen und erhalten die Brechungsformeln ( Fresnelsche Formeln) nur noch in Abhängigkeit von den Winkeln:
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| | |
| Also:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{E{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}}=\frac{\cos \gamma \sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\sin \gamma \cos \gamma \acute{\ }\acute{\ }}{\cos \gamma \sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\sin \gamma \cos \gamma \acute{\ }\acute{\ }}=\frac{\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma \right)}{\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)} \\
| |
| & \frac{E\acute{\ }{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}}=\frac{2{{k}_{3}}}{{{k}_{3}}+{{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }}=\frac{2\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ } \right)\cos \gamma }{\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <u>'''Intensitätsverhältnisse:'''</u>
| |
| | |
| <u>'''betrachte: Zeitmittel des Poynting- Vektors:'''</u>
| |
| | |
| <math>\left\langle {\bar{S}} \right\rangle =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{{}}dt\left( \bar{E}\times \bar{H} \right)</math>
| |
| | |
| '''Reflexionskoeffizient: ( bei senkrechter Polarisation)'''
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{R}_{\bot }}={{\left| \frac{E{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}} \right|}^{2}}=\frac{{{\sin }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma \right)}{{{\sin }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)} \\
| |
| & \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Transmissionskoeffizient ( bei senkrechter Polarisation)
| |
| | |
| <math>{{T}_{\bot }}={{\left| \frac{E\acute{\ }{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}} \right|}^{2}}=\frac{4{{\sin }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ } \right){{\cos }^{2}}\gamma }{{{\sin }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)}=1-{{R}_{\bot }}</math>
| |
| | |
| # <u>'''Polarisation von'''</u>
| |
| # <math>\bar{E}||</math>
| |
| # Einfallsebene:
| |
| <u>'''Dadurch:'''</u>
| |
| <math>\bar{B}\bot </math>
| |
| Einfallsebene
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| | |
| * Analoge Argumentation:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{B}_{01}}={{B}_{01}}\acute{\ }={{B}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }=0 \\
| |
| & {{B}_{03}}={{B}_{03}}\acute{\ }={{B}_{03}}\acute{\ }\acute{\ }=0 \\
| |
| & {{B}_{02}}+{{B}_{02}}\acute{\ }={{B}_{02}}\acute{\ }\acute{\ } \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| usw... ebenfalls Bildung der Verhältnisse in Abhängigkeit von k -> wie beim Vorgehen in a) weiter rechnen.
| |
| k durch Zwischenwinkel ausdrücken:
| |
| Zur Übung berechnen, es ergibt sich:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{E{{\acute{\ }}_{||}}}{{{E}_{||}}}=\frac{\tan \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma \right)}{\tan \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)} \\
| |
| & \frac{E\acute{\ }{{\acute{\ }}_{||}}}{{{E}_{||}}}=\frac{2\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ } \right)\cos \gamma }{\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)\cos \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma \right)} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Ebenso:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{R}_{||}}={{\left| \frac{E{{\acute{\ }}_{||}}}{{{E}_{||}}} \right|}^{2}}=\frac{{{\tan }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma \right)}{{{\tan }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)}=1-{{T}_{||}} \\
| |
| & \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| '''Bemerkung'''
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| Bei Reflexion und Brechung wird im Allgemeinen die Polarisationsrichtung gedreht. Speziell für den Fall
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| <math>\begin{align}
| |
| & \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma =\frac{\pi }{2} \\
| |
| & ->\tan \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)\to \infty \\
| |
| & {{R}_{||}}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| In diesem Fall kommt es nicht zu Teilpolarisation sondern: die reflektierte Welle wird vollständig polarisiert ( senkrecht zur Einfallsebene)
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| * Dies ist der Brewsterwinkel:
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| *
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| * <math>\begin{align}
| |
| * & \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma =\frac{\pi }{2}->\gamma =\left( {{\gamma }_{Brew}} \right) \\
| |
| * & \tan {{\gamma }_{B}}=\sqrt{\frac{{{\varepsilon }_{2}}}{{{\varepsilon }_{1}}}} \\
| |
| * \end{align}</math>
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| *
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| | |
| '''Totalreflexion'''
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| '''Sei'''
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| <math>\begin{align}
| |
| & {{\varepsilon }_{2}}<{{\varepsilon }_{1}} \\
| |
| & \sin {{\gamma }_{G}}=\sqrt{\frac{{{\varepsilon }_{2}}}{{{\varepsilon }_{1}}}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Totalreflexion unter diesem Winkel oder flacher !
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| | |
| Grenzwinkel der Totalreflexion ->
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| <math>\gamma \acute{\ }\acute{\ }=\frac{\pi }{2}</math>
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| | |
| <math>\begin{align}
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| & {{R}_{\bot }}={{R}_{||}}=1 \\
| |
| & {{T}_{\bot }}={{T}_{||}}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\varepsilon }_{2}}<{{\varepsilon }_{1}} \\
| |
| & \gamma >{{\gamma }_{G}}\Rightarrow \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>k\acute{\ }\acute{\ }</math>
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| wird imaginär -> es dringt kein reeller Strahl mehr ins Medium ein !
| |
