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| 2) die Gleichungen sollen linear in | | 2) die Gleichungen sollen linear in |
| :<math>\bar{E}(\bar{r},t),\bar{B}(\bar{r},t)</math> | | :<math>\bar{E}(\bar{r},t),\bar{B}(\bar{r},t)</math> |
| sein, um das Superpositionsprinzip zu erfüllen ! | | sein, um das Superpositionsprinzip zu erfüllen! |
| Die Gleichungen sollen 1. Ordnung in t sein ( um das Kausalitätsprinzip zu erfüllen !) | | Die Gleichungen sollen 1. Ordnung in t sein (um das Kausalitätsprinzip zu erfüllen!) |
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| Die linke Seite der Maxwellgleichungen ( oben) soll zur Zeit t=0 den Zustand für t> 0 vollständig festlegen !! | | Die linke Seite der Maxwellgleichungen (oben) soll zur Zeit t=0 den Zustand für t> 0 vollständig festlegen!! |
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| Somit sind | | Somit sind |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung ! | | Unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung! |
| Somit ( vergl. S. 32, §2.3 folgt die Verschiebungsstromdichte | | Somit (vergl. S. 32, §2.3 folgt die Verschiebungsstromdichte |
| :<math>{{\varepsilon }_{0}}\dot{\bar{E}}</math> | | :<math>{{\varepsilon }_{0}}\dot{\bar{E}}</math> |
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| :<math>m\ddot{\bar{r}}=q\left[ \bar{E}(\bar{r},t)+\bar{v}\times \bar{B}(\bar{r},t) \right]</math> | | :<math>m\ddot{\bar{r}}=q\left[ \bar{E}(\bar{r},t)+\bar{v}\times \bar{B}(\bar{r},t) \right]</math> |
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| ergibt ! | | ergibt! |
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| Lösung: | | Lösung: |
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| Dabei ist die Zeitableitung von A als totales Differenzial entlang einer Bahn | | Dabei ist die Zeitableitung von A als totales Differenzial entlang einer Bahn |
| :<math>\bar{r}</math> | | :<math>\bar{r}</math> |
| zu sehen ! | | zu sehen! |
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| :<math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| <u>'''Vollständige ( zeitabhängige) Maxwellgleichungen im Vakuum'''</u> | | <u>'''Vollständige (zeitabhängige) Maxwellgleichungen im Vakuum'''</u> |
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| mit den neuen Feldgrößen | | mit den neuen Feldgrößen |
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| und | | und |
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| :<math>\bar{H}(\bar{r},t):=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}(\bar{r},t)</math> | | :<math>\bar{H}(\bar{r},t):=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}(\bar{r},t)</math>, |
| , Magnetfeld
| | Magnetfeld |
| ergibt sich: | | ergibt sich: |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| im Vakuum ! | | im Vakuum! |
Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Maxwell- Gleichungen im Vakuum basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 2) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Die Forderungen an dynamische Gleichungen für zeitartige Felder
lauten:
1) im quasistatischen Grenzfall sollen die statischen MWGl herauskommen:
2) die Gleichungen sollen linear in
sein, um das Superpositionsprinzip zu erfüllen!
Die Gleichungen sollen 1. Ordnung in t sein (um das Kausalitätsprinzip zu erfüllen!)
Die linke Seite der Maxwellgleichungen (oben) soll zur Zeit t=0 den Zustand für t> 0 vollständig festlegen!!
Somit sind
Dies sind 6 Vektorgleichungen, die
für t> 0 festlegen und 2 skalare Gleichungen
3) Wir fordern TCP- Invarianz:
Also bleibt:
4) Ladungserhaltung:
Unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung!
Somit (vergl. S. 32, §2.3 folgt die Verschiebungsstromdichte
5) Lorentzkraft
soll aus einem Extremalprinzip, ergo dem Hamiltonschen Prinzip ableitbar sein.
Suche also eine Lagrange- Funktion
so dass die Lagrangegleichung
die nichtrelativistische Bewegungsgleichung
ergibt!
Lösung:
Tatsächlich gilt
= kanonischer Impuls
Dabei ist die Zeitableitung von A als totales Differenzial entlang einer Bahn
zu sehen!
Vergleich mit der Lorentzkraft liefert:
und:
Vollständige (zeitabhängige) Maxwellgleichungen im Vakuum
mit den neuen Feldgrößen
dielektrische Verschiebung
und
- ,
Magnetfeld
ergibt sich:
Dabei sind
die homogenen Gleichungen, die die Wechselwirkung einer Punktladung mit gegebenen Feldern
beschreiben
und
die inhomogenen Gleichungen, die Erzeugung der Felder
durch gegebene Ladungen und Ströme
Im Gauß- System:
Mit
im Vakuum!