Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 1) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen	Quantenmechanische Modellsysteme	Thermodynamik und Statistik
	Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen Das ideale Fermigas Das ideale Bosegas Das Photonengas im Strahlungshohlraum Spezifische Wärme zweiatomiger idealer Gase Spezifische Wärme von Festkörpern Paramagnetismus Ferromagnetismus	Grundlagen der Statistik Statistische Begründung der Gleichgewichtsthermodynamik Phänomenologische Thermodynamik Klassische Modellsysteme Quantenmechanische Modellsysteme

Betrachte N ununterscheidbare / identische Teilchen:

N- Teilchenzustand:

$\left|{{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{i}},...,{{a}_{N}}\right\rangle$

dabei ist $a_{i}$ der Satz der 1- Teilchen - Quantenzahlen.

Die Teilchennummer ist lediglich ein Platzhalter für die Stellung im Ket:

Führe ein:

Permutationsoperator: ${{\hat {P}}_{ij}}\Psi \left({{\bar {x}}_{1}},{{\bar {x}}_{2}},...,{{\bar {x}}_{i}},...,{{\bar {x}}_{j}},....\right):=\Psi \left({{\bar {x}}_{1}},{{\bar {x}}_{2}},...,{{\bar {x}}_{j}},...,{{\bar {x}}_{i}},....\right)$

Ununterscheidbarkeit verlangt:

${\begin{aligned}&{{\hat {P}}_{ij}}\Psi \left({{\bar {x}}_{1}},{{\bar {x}}_{2}},...,{{\bar {x}}_{i}},...,{{\bar {x}}_{j}},....\right):=\Psi \left({{\bar {x}}_{1}},{{\bar {x}}_{2}},...,{{\bar {x}}_{j}},...,{{\bar {x}}_{i}},....\right)={{e}^{i\nu }}\Psi \left({{\bar {x}}_{1}},{{\bar {x}}_{2}},...,{{\bar {x}}_{i}},...,{{\bar {x}}_{j}},....\right)\\&{{\hat {P}}_{ij}}^{2}={\bar {\bar {1}}}\\\end{aligned}}$

Wegen der Ununterscheidbarkeit müssen alle Observablen mit ${{\hat {P}}_{ij}}$ vertauschen, insbesondere

$\left[{\hat {H}},{{\hat {P}}_{ij}}\right]=0\Rightarrow {{\hat {P}}_{ij}}$ ist Erhaltungsgröße!

Es gilt:

${{\hat {P}}_{ij}}^{2}={\bar {\bar {1}}}$

Somit folgt:

${\begin{aligned}&\Rightarrow {{\hat {P}}_{ij}}\Psi ={{\lambda }_{ij}}\Psi \\&{{\lambda }_{ij}}^{2}=1\\\end{aligned}}$

Wichtig:

${{\left|\Psi \left({{\bar {x}}_{1}},{{\bar {x}}_{2}}\right)\right|}^{2}}={{\left|\Psi \left({{\bar {x}}_{2}},{{\bar {x}}_{1}}\right)\right|}^{2}}$

Ansonsten wären die Teilchen unterscheidbar! Also:

${\begin{aligned}&{{\left|{{\hat {P}}_{ij}}\Psi \left({{\bar {x}}_{1}},{{\bar {x}}_{2}}\right)\right|}^{2}}={{\left|\Psi \left({{\bar {x}}_{2}},{{\bar {x}}_{1}}\right)\right|}^{2}}={{\left|\Psi \left({{\bar {x}}_{1}},{{\bar {x}}_{2}}\right)\right|}^{2}}\Rightarrow {{\left|{{\lambda }_{ij}}\right|}^{2}}=1\\&\Rightarrow {{\lambda }_{ij}}=\pm 1\\\end{aligned}}$

Charakteristikum des Zustandes, bzw. der Teilchensorte!

Betrachte speziell: 2- Teilchen- System: Sei $\left|a,b\right\rangle ={{\left|a\right\rangle }_{1}}{{\left|b\right\rangle }_{2}}\in H\times H$ Dann ist ${{\left|a,b\right\rangle }_{s}}={\frac {1}{2}}\left(1+{{\hat {P}}_{12}}\right)\left|a,b\right\rangle$ ein Eigenzustand von ${{\hat {P}}_{12}}$ zum Eigenwert +1, der symmetrische Zustand! denn: ${{\hat {P}}_{12}}{{\left|a,b\right\rangle }_{s}}={{\hat {P}}_{12}}{\frac {1}{2}}\left(1+{{\hat {P}}_{12}}\right)\left|a,b\right\rangle ={\frac {1}{2}}\left({{\hat {P}}_{12}}+{{\hat {P}}_{12}}^{2}\right)\left|a,b\right\rangle ={\frac {1}{2}}\left({{\hat {P}}_{12}}+1\right)\left|a,b\right\rangle ={{\left|a,b\right\rangle }_{s}}$ und ${{\left|a,b\right\rangle }_{a}}={\frac {1}{2}}\left(1-{{\hat {P}}_{12}}\right)\left|a,b\right\rangle$ ist der antisymmetrische Zustand von ${{\hat {P}}_{12}}$z zum Eigenwert -1, denn: ${{\hat {P}}_{12}}{{\left|a,b\right\rangle }_{a}}={\frac {1}{2}}\left({{\hat {P}}_{12}}-1\right)\left|a,b\right\rangle =-{{\left|a,b\right\rangle }_{a}}$

N- Teilchensystem

Alle ${{\hat {P}}_{\left(ij\right)}}$ kommutieren mit dem Hamiltonoperator H, im Allgemeinen jedoch nicht untereinander! Daher wären an sich komplizierte Symmetrieeigenschaften denkbar. Aber: In der Natur sind scheinbar nur die Zustände realisiert, die bei Vertauschung beliebiger ununterscheidbarer Teilchen symmetrisch (${{\lambda }_{ij}}=+1$)oder antisymmetrisch ${{\lambda }_{ij}}=-1$ sind!

Reduktion des Hilbertraumes $H\times H\times ...\times H$(N- mal) auf einen symmetrischen Hilbertraumteilraum (also ${{H}_{N}}^{+}$) und einen antisymmetrischen Himbertteilraum (also ${{H}_{N}}^{-}$) erlaubter Zustände!

Bosonen

wie Photonen, Phononen oder $^{4}{{H}_{e}}$ →Bose-Einstein-Statistik

Fermionen

wie Elektronen, Proton, Neutron, $^{3}{{H}_{e}}$ →Fermi-Dirac-Statistik

Erfahrungstatsache! Beweis folgt erst aus der relativistischen Quantenfeldtheorie!

Bosonen- Hilbertraum:

${{H}_{N}}^{+}={\hat {S}}{{H}_{N}}={\frac {1}{N!}}\sum \limits _{\rho =1}^{N!}{}{{\hat {P}}_{\left(\rho \right)}}{{H}_{N}}$

Dabei charakterisiert der Index $\rho$ die $\rho$- te Permutation von (123...N)

${\hat {S}}$ ist der sogenannte Symmetrisierungsoperator

${{\hat {S}}^{2}}={\hat {S}}$ → ${\hat {S}}$ ist ein Projektor er projiziert auf den symmetrisierten Unterraum des Hilbertraums!

Fermionen- Hilbertraum:

${{H}_{N}}^{-}={\hat {A}}{{H}_{N}}={\frac {1}{N!}}\sum \limits _{\rho =1}^{N!}{}{{\left(-1\right)}^{\rho }}{{\hat {P}}_{\left(\rho \right)}}{{H}_{N}}$

Dabei charakterisiert der Index $\rho$ die $\rho$- te Permutation von (123...N)

${\hat {A}}$ ist der sogenannte Antisymmetrisierungsoperator

${{\hat {A}}^{2}}={\hat {A}}$→${\hat {A}}$ ist ein Projektor er projiziert auf den antisymmetrisierten Unterraum des Hilbertraums!

Pauli- Prinzip

Wellenfunktionen total antisymmetrisch → 2 identische Fermionen können sich nicht im identischen Einteilchenzustand befinden!

Hilbertraum variabler Teilchenzahl

(großkanonisches Ensemble)

$H=\sum \limits _{N=0}^{\infty }{}{{H}_{N}}^{+}$

• Die Summe aller Hilberträume aller denkbaren N- Teilchenzustände und zwar jeweils einmal des symmetrisierten Hilbertraums und je einmal antisymmetrisierter Hilbertraum!

$H=\sum \limits _{N=0}^{\infty }{}{{H}_{N}}^{+}$ ist der sogenannte Fock-Raum!

Ideales Gas (WW- freie, identische Teilchen):

Übergang zur Besetzungszahldarstellung:

$\left|{{a}_{1}},...,{{a}_{N}}\right\rangle \to \left|{{N}_{1}},...,{{N}_{j}},...,{{N}_{l}}\right\rangle$

links: Teilchen Nr. 1...N im Einteilchenzustand a_i

rechts: Besetzungzahl des 1- Teilchenzustandes $\left|j\right\rangle$ durch $\left|{{N}_{j}}\right\rangle$ charakterisiert (inkl. Spin!)

Bosonen:

${{N}_{j}}=0,1,2,...$

Fermionen

${{N}_{j}}=0,1$

dabei sind die Nj die Eigenwerte des Besetzungszahloperators ${{\hat {N}}_{j}}={{a}_{j}}^{+}{{a}_{j}}$