Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Betrachte N ununterscheidbare / identische Teilchen:
N- Teilchenzustand:
dabei ist ai der Satz der 1- Teilchen - Quantenzahlen
Die Teilchennummer ist lediglich ein Platzhalter für die Stellung im Ket:
Führe ein: Permutationsoperator:
Ununterscheidbarkeit verlangt:
Wegen der Ununterscheidbarkeit müssen alle Observablen mit
vertauschen, insbesondere
ist Erhaltungsgröße !
Es gilt:
Somit folgt:
Wichtig:
Ansonsten wären die Teilchen unterscheidbar !
Also:
Charakteristikum des Zustandes, bzw. der Teilchensorte !
Betrachte speziell: 2- Teilchen- System:
Sei
Dann ist
ein Eigenzustand von
zum Eigenwert +1, der symmetrische Zustand !
denn:
und
ist der antisymmetrische Zustand von
zum Eigenwert -1, denn:
N- Teilchensystem
Alle
kommutieren mit dem Hamiltonoperator H, im Allgemeinen jedoch nicht untereinander !. Daher wären an sich komplizierte Symmetrieeigenschaften denkbar. Aber: In der Natur sind scheinbar nur die Zustände realisiert, die bei Vertauschung beliebiger ununterscheidbarer Teilchen symmetrisch
oder antisymmetrisch
sind !
- Reduktion des Hilbertraumes
- ( N- mal) auf einen symmetrischen, also
- und einen antisymmetrischen , also
- Teilraum erlaubter Zustände !
Bosonen ( Teilchen mit symmetrischem Zustand), sind alle Teilchen mit ganzzahligem Spin: s=0,1,2,...., wie Photonen, Phononen oder
- Bose- Einstein- Statistik
Fermionen = Teilchen mit antisymmetrischem Zustand sind alle Teilchen mit halbzahligem Spin: s= 1/2, 3/2, etc..., wie
Elektronen, Proton, Neutron,
Erfahrungstatsache ! Beweis folgt erst aus der relativistischen Quantenfeldtheorie !
Bosonen- Hilbertraum:
Dabei charakterisiert der Index
die
- te Permutation von (123...N)
ist der sogenannte Symmetrisierungsoperator
->
ist ein Projektor
- er projiziert auf den symmetrisierten Unterraum des Hilbertraums !
Fermionen- Hilbertraum:
Dabei charakterisiert der Index
die
- te Permutation von (123...N)
ist der sogenannte Antisymmetrisierungsoperator
->
ist ein Projektor
- er projiziert auf den antisymmetrisierten Unterraum des Hilbertraums !
Pauli- Prinzip
Wellenfunktionen total antisymmetrisch -> 2 identische Fermionen können sich nicht im identischen Einteilchenzustand befinden !
Hilbertraum variabler Teilchenzahl ( großkanonisches Ensemble)
- Die Summe aller Hilberträume aller denkbaren N- Teilchenzustände und zwar jeweils einmal des symmetrisierten Hilbertraums und je einmal antisymmetrisierter Hilbertraum !
ist der sogenannte Fock- Raum !
Ideales Gas
( WW- freie, identische Teilchen):
Übergang zur Besetzungszahldarstellung:
links: Teilchen Nr. 1...N im Einteilchenzustand ai
rechts: Besetzungzahl des 1- Teilchenzustandes
durch
charakterisiert ( inkl. Spin!)
Bosonen:
Fermionen
dabei sind die Nj die Eigenwerte des Besetzungszahloperators