Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen: Unterschied zwischen den Versionen

Aus PhysikWiki
Zur Navigation springen Zur Suche springen
*>SchuBot
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Zeile 7: Zeile 7:
:<math>\left| {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{i}},...,{{a}_{N}} \right\rangle </math>
:<math>\left| {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{i}},...,{{a}_{N}} \right\rangle </math>


dabei ist ai  der Satz der 1- Teilchen - Quantenzahlen
dabei ist <math>a_i</math> der Satz der 1- Teilchen - Quantenzahlen.


Die Teilchennummer ist lediglich ein Platzhalter für die Stellung im Ket:
Die Teilchennummer ist lediglich ein Platzhalter für die Stellung im Ket:


Führe ein: Permutationsoperator:
Führe ein:
 
{{Def|'''Permutationsoperator''':
:<math>{{\hat{P}}_{ij}}\Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}},...,{{{\bar{x}}}_{i}},...,{{{\bar{x}}}_{j}},.... \right):=\Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}},...,{{{\bar{x}}}_{j}},...,{{{\bar{x}}}_{i}},.... \right)</math>
:<math>{{\hat{P}}_{ij}}\Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}},...,{{{\bar{x}}}_{i}},...,{{{\bar{x}}}_{j}},.... \right):=\Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}},...,{{{\bar{x}}}_{j}},...,{{{\bar{x}}}_{i}},.... \right)</math>|Permutationsoperator}}


Ununterscheidbarkeit verlangt:
Ununterscheidbarkeit verlangt:
Zeile 25: Zeile 25:
\end{align}</math>
\end{align}</math>


Wegen der Ununterscheidbarkeit müssen alle Observablen mit <math>{{\hat{P}}_{ij}}</math>
Wegen der Ununterscheidbarkeit müssen alle Observablen mit <math>{{\hat{P}}_{ij}}</math> vertauschen, insbesondere
 
vertauschen, insbesondere
 
:<math>\left[ \hat{H},{{{\hat{P}}}_{ij}} \right]=0\Rightarrow {{\hat{P}}_{ij}}</math>


ist Erhaltungsgröße !
:<math>\left[ \hat{H},{{{\hat{P}}}_{ij}} \right]=0\Rightarrow {{\hat{P}}_{ij}}</math> ist {{FB|Erhaltungsgröße}}!


Es gilt:
Es gilt:
Zeile 59: Zeile 55:


Charakteristikum des Zustandes, bzw. der '''Teilchensorte !'''
Charakteristikum des Zustandes, bzw. der '''Teilchensorte !'''
 
{{Beispiel|Betrachte speziell: 2- Teilchen- System:
Betrachte speziell: 2- Teilchen- System:
Sei
Sei
:<math>\left| a,b \right\rangle ={{\left| a \right\rangle }_{1}}{{\left| b \right\rangle }_{2}}\in H\times H</math>
:<math>\left| a,b \right\rangle ={{\left| a \right\rangle }_{1}}{{\left| b \right\rangle }_{2}}\in H\times H</math>
Zeile 67: Zeile 62:
:<math>{{\left| a,b \right\rangle }_{s}}=\frac{1}{2}\left( 1+{{{\hat{P}}}_{12}} \right)\left| a,b \right\rangle </math>
:<math>{{\left| a,b \right\rangle }_{s}}=\frac{1}{2}\left( 1+{{{\hat{P}}}_{12}} \right)\left| a,b \right\rangle </math>


ein Eigenzustand von
ein Eigenzustand von <math>{{\hat{P}}_{12}}</math> zum Eigenwert '''+1''', der '''symmetrische Zustand''' !
:<math>{{\hat{P}}_{12}}</math>
zum Eigenwert +1, der symmetrische Zustand !


denn:
denn:
Zeile 79: Zeile 72:
:<math>{{\left| a,b \right\rangle }_{a}}=\frac{1}{2}\left( 1-{{{\hat{P}}}_{12}} \right)\left| a,b \right\rangle </math>
:<math>{{\left| a,b \right\rangle }_{a}}=\frac{1}{2}\left( 1-{{{\hat{P}}}_{12}} \right)\left| a,b \right\rangle </math>


ist der antisymmetrische Zustand  von <math>{{\hat{P}}_{12}}</math>
ist der '''antisymmetrische''' Zustand  von <math>{{\hat{P}}_{12}}</math>z zum Eigenwert '''-1''', denn:
zum Eigenwert -1, denn:
:<math>{{\hat{P}}_{12}}{{\left| a,b \right\rangle }_{a}}=\frac{1}{2}\left( {{{\hat{P}}}_{12}}-1 \right)\left| a,b \right\rangle =-{{\left| a,b \right\rangle }_{a}}</math>
:<math>{{\hat{P}}_{12}}{{\left| a,b \right\rangle }_{a}}=\frac{1}{2}\left( {{{\hat{P}}}_{12}}-1 \right)\left| a,b \right\rangle =-{{\left| a,b \right\rangle }_{a}}</math>
}}
==N- Teilchensystem==


====N- Teilchensystem====
Alle <math>{{\hat{P}}_{\left( ij \right)}}</math> kommutieren mit dem Hamiltonoperator H, im Allgemeinen jedoch '''nicht''' untereinander! Daher wären an sich komplizierte Symmetrieeigenschaften denkbar. Aber: In der Natur sind <u>scheinbar nur die Zustände realisiert</u>, die bei Vertauschung '''beliebiger ''' ununterscheidbarer Teilchen '''symmetrisch''' (<math>{{\lambda }_{ij}}=+1</math>)oder '''antisymmetrisch''' <math>{{\lambda }_{ij}}=-1</math> sind !


Alle <math>{{\hat{P}}_{\left( ij \right)}}</math>
Reduktion des Hilbertraumes <math>H\times H\times ...\times H</math>( N- mal) auf einen {{FB|symmetrischen Hilbertraumteilraum}} (also <math>{{H}_{N}}^{+}</math>) und einen {{FB|antisymmetrischen Himbertteilraum}} (also <math>{{H}_{N}}^{-}</math>) erlaubter Zustände !
kommutieren mit dem Hamiltonoperator H, im Allgemeinen jedoch nicht untereinander !. Daher wären an sich komplizierte Symmetrieeigenschaften denkbar. Aber: In der Natur sind scheinbar nur die Zustände realisiert, die bei Vertauschung '''beliebiger ''' ununterscheidbarer Teilchen symmetrisch
:<math>{{\lambda }_{ij}}=+1</math>
oder antisymmetrisch <math>{{\lambda }_{ij}}=-1</math>


sind !
{{Def|'''Bosonen ''' ( Teilchen mit symmetrischem Zustand), sind alle Teilchen mit ganzzahligem Spin:  s=0,1,2,....,|Bosonen}}


* Reduktion des Hilbertraumes <math>H\times H\times ...\times H</math>
: wie Photonen, Phononen oder <math>^{4}{{H}_{e}}</math> -->{{FB|Bose-Einstein-Statistik}}
*  ( N- mal) auf einen symmetrischen, also <math>{{H}_{N}}^{+}</math>
*  und einen antisymmetrischen , also <math>{{H}_{N}}^{-}</math>
* Teilraum erlaubter Zustände !


<u>'''Bosonen '''</u> ( Teilchen mit symmetrischem Zustand), sind alle Teilchen mit ganzzahligem Spin: s=0,1,2,...., wie Photonen, Phononen oder <math>^{4}{{H}_{e}}</math>
{{Def|'''Fermionen ''' = Teilchen mit antisymmetrischem Zustand sind alle Teilchen mit '''halbzahligem Spin: '''s= 1/2, 3/2, etc...,|Fermionen}}


* <u>'''Bose- Einstein- Statistik'''</u>
:wie Elektronen, Proton, Neutron, <math>^{3}{{H}_{e}}</math> -->{{FB|Fermi-Dirac-Statistik}}


<u>'''Fermionen '''</u> = Teilchen mit antisymmetrischem Zustand  sind alle Teilchen mit '''halbzahligem Spin: '''s= 1/2, 3/2, etc..., wie
Erfahrungstatsache! Beweis folgt erst aus der relativistischen Quantenfeldtheorie !
Elektronen, Proton, Neutron, <math>^{3}{{H}_{e}}</math>


* <u>'''Fermi - Dirac- Statistik'''</u>
{{FB|Bosonen- Hilbertraum}}:
 
Erfahrungstatsache ! Beweis folgt erst aus der relativistischen Quantenfeldtheorie !
 
'''Bosonen- Hilbertraum:'''
:<math>{{H}_{N}}^{+}=\hat{S}{{H}_{N}}=\frac{1}{N!}\sum\limits_{\rho =1}^{N!}{{}}{{\hat{P}}_{\left( \rho  \right)}}{{H}_{N}}</math>
:<math>{{H}_{N}}^{+}=\hat{S}{{H}_{N}}=\frac{1}{N!}\sum\limits_{\rho =1}^{N!}{{}}{{\hat{P}}_{\left( \rho  \right)}}{{H}_{N}}</math>


Dabei charakterisiert der Index <math>\rho </math>
Dabei charakterisiert der Index <math>\rho </math> die <math>\rho </math>- te Permutation von (123...N)
die <math>\rho </math>
- te Permutation von (123...N)


:<math>\hat{S}</math>
:<math>\hat{S}</math> ist der sogenannte {{FB|Symmetrisierungsoperator}}
ist der sogenannte Symmetrisierungsoperator
:<math>{{\hat{S}}^{2}}=\hat{S}</math> -> <math>\hat{S}</math> ist ein {{FB|Projektor}}  er projiziert auf den symmetrisierten Unterraum des Hilbertraums !
:<math>{{\hat{S}}^{2}}=\hat{S}</math>
-><math>\hat{S}</math>
ist ein Projektor
* er projiziert auf den symmetrisierten Unterraum des Hilbertraums !


'''Fermionen- Hilbertraum:'''
{{FB|Fermionen- Hilbertraum}}:
:<math>{{H}_{N}}^{-}=\hat{A}{{H}_{N}}=\frac{1}{N!}\sum\limits_{\rho =1}^{N!}{{}}{{\left( -1 \right)}^{\rho }}{{\hat{P}}_{\left( \rho  \right)}}{{H}_{N}}</math>
:<math>{{H}_{N}}^{-}=\hat{A}{{H}_{N}}=\frac{1}{N!}\sum\limits_{\rho =1}^{N!}{{}}{{\left( -1 \right)}^{\rho }}{{\hat{P}}_{\left( \rho  \right)}}{{H}_{N}}</math>


Dabei charakterisiert der Index <math>\rho </math>
Dabei charakterisiert der Index <math>\rho </math> die <math>\rho </math>- te Permutation von (123...N)
die <math>\rho </math>
- te Permutation von (123...N)


:<math>\hat{A}</math>
:<math>\hat{A}</math> ist der sogenannte {{FB|Antisymmetrisierungsoperator}}
ist der sogenannte Antisymmetrisierungsoperator
:<math>{{\hat{A}}^{2}}=\hat{A}</math>-><math>\hat{A}</math> ist ein Projektor er projiziert auf den antisymmetrisierten Unterraum des Hilbertraums !
:<math>{{\hat{A}}^{2}}=\hat{A}</math>
-><math>\hat{A}</math>
ist ein Projektor
* er projiziert auf den antisymmetrisierten Unterraum des Hilbertraums !


'''Pauli- Prinzip'''
{{FB|Pauli- Prinzip}}


Wellenfunktionen total antisymmetrisch  -> 2 identische Fermionen können sich nicht im identischen Einteilchenzustand befinden !
Wellenfunktionen total antisymmetrisch  -> 2 identische Fermionen können sich nicht im identischen Einteilchenzustand befinden !


====Hilbertraum  variabler Teilchenzahl ( großkanonisches Ensemble)====
==Hilbertraum  variabler Teilchenzahl==
(großkanonisches Ensemble)


:<math>H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}_{N}}^{+}</math>
:<math>H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}_{N}}^{+}</math>
Zeile 146: Zeile 118:
* Die Summe aller Hilberträume aller denkbaren N- Teilchenzustände und zwar jeweils einmal des symmetrisierten Hilbertraums und je einmal antisymmetrisierter Hilbertraum !
* Die Summe aller Hilberträume aller denkbaren N- Teilchenzustände und zwar jeweils einmal des symmetrisierten Hilbertraums und je einmal antisymmetrisierter Hilbertraum !


:<math>H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}_{N}}^{+}</math>
:<math>H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}_{N}}^{+}</math> ist der sogenannte {{FB|Fock-Raum}} !
ist der sogenannte Fock- Raum !


<u>'''Ideales Gas'''</u>
'''Ideales Gas''' (WW- freie, identische Teilchen):
( WW- freie, identische Teilchen):


Übergang zur Besetzungszahldarstellung:
Übergang zur {{FB|Besetzungszahldarstellung}}:
:<math>\left| {{a}_{1}},...,{{a}_{N}} \right\rangle \to \left| {{N}_{1}},...,{{N}_{j}},...,{{N}_{l}} \right\rangle </math>
:<math>\left| {{a}_{1}},...,{{a}_{N}} \right\rangle \to \left| {{N}_{1}},...,{{N}_{j}},...,{{N}_{l}} \right\rangle </math>


links: Teilchen Nr. 1...N im Einteilchenzustand ai
links: Teilchen Nr. 1...N im Einteilchenzustand a<sub>i</sub>


rechts:  Besetzungzahl des 1- Teilchenzustandes <math>\left| j \right\rangle </math>
rechts:  Besetzungzahl des 1- Teilchenzustandes <math>\left| j \right\rangle </math> durch <math>\left| {{N}_{j}} \right\rangle </math> charakterisiert  ( inkl. Spin!)
durch <math>\left| {{N}_{j}} \right\rangle </math>
charakterisiert  ( inkl. Spin!)


Bosonen:
Bosonen:
Zeile 167: Zeile 135:
:<math>{{N}_{j}}=0,1</math>
:<math>{{N}_{j}}=0,1</math>


dabei sind die Nj die Eigenwerte des Besetzungszahloperators <math>{{\hat{N}}_{j}}={{a}_{j}}^{+}{{a}_{j}}</math>
dabei sind die Nj die Eigenwerte des {{FB|Besetzungszahloperators}} <math>{{\hat{N}}_{j}}={{a}_{j}}^{+}{{a}_{j}}</math>

Version vom 12. September 2010, 22:03 Uhr




Betrachte N ununterscheidbare / identische Teilchen:

N- Teilchenzustand:

dabei ist der Satz der 1- Teilchen - Quantenzahlen.

Die Teilchennummer ist lediglich ein Platzhalter für die Stellung im Ket:

Führe ein:

Permutationsoperator:


Ununterscheidbarkeit verlangt:

Wegen der Ununterscheidbarkeit müssen alle Observablen mit vertauschen, insbesondere

ist Erhaltungsgröße!

Es gilt:

Somit folgt:

Wichtig:

Ansonsten wären die Teilchen unterscheidbar ! Also:

Charakteristikum des Zustandes, bzw. der Teilchensorte !

Betrachte speziell: 2- Teilchen- System:

Sei

Dann ist

ein Eigenzustand von zum Eigenwert +1, der symmetrische Zustand !

denn:

und

ist der antisymmetrische Zustand von z zum Eigenwert -1, denn:

N- Teilchensystem

Alle kommutieren mit dem Hamiltonoperator H, im Allgemeinen jedoch nicht untereinander! Daher wären an sich komplizierte Symmetrieeigenschaften denkbar. Aber: In der Natur sind scheinbar nur die Zustände realisiert, die bei Vertauschung beliebiger ununterscheidbarer Teilchen symmetrisch ()oder antisymmetrisch sind !

Reduktion des Hilbertraumes ( N- mal) auf einen symmetrischen Hilbertraumteilraum (also ) und einen antisymmetrischen Himbertteilraum (also ) erlaubter Zustände !


Bosonen


wie Photonen, Phononen oder -->Bose-Einstein-Statistik


Fermionen


wie Elektronen, Proton, Neutron, -->Fermi-Dirac-Statistik

Erfahrungstatsache! Beweis folgt erst aus der relativistischen Quantenfeldtheorie !

Bosonen- Hilbertraum:

Dabei charakterisiert der Index die - te Permutation von (123...N)

ist der sogenannte Symmetrisierungsoperator
-> ist ein Projektor er projiziert auf den symmetrisierten Unterraum des Hilbertraums !

Fermionen- Hilbertraum:

Dabei charakterisiert der Index die - te Permutation von (123...N)

ist der sogenannte Antisymmetrisierungsoperator
-> ist ein Projektor er projiziert auf den antisymmetrisierten Unterraum des Hilbertraums !

Pauli- Prinzip

Wellenfunktionen total antisymmetrisch -> 2 identische Fermionen können sich nicht im identischen Einteilchenzustand befinden !

Hilbertraum variabler Teilchenzahl

(großkanonisches Ensemble)

  • Die Summe aller Hilberträume aller denkbaren N- Teilchenzustände und zwar jeweils einmal des symmetrisierten Hilbertraums und je einmal antisymmetrisierter Hilbertraum !
ist der sogenannte Fock-Raum !

Ideales Gas (WW- freie, identische Teilchen):

Übergang zur Besetzungszahldarstellung:

links: Teilchen Nr. 1...N im Einteilchenzustand ai

rechts: Besetzungzahl des 1- Teilchenzustandes durch charakterisiert ( inkl. Spin!)

Bosonen:

Fermionen

dabei sind die Nj die Eigenwerte des Besetzungszahloperators