Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen: Unterschied zwischen den Versionen
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Erfahrungstatsache! Beweis folgt erst aus der relativistischen Quantenfeldtheorie ! | Erfahrungstatsache! Beweis folgt erst aus der relativistischen Quantenfeldtheorie ! | ||
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Wellenfunktionen total antisymmetrisch | Wellenfunktionen total antisymmetrisch → 2 identische Fermionen können sich nicht im identischen Einteilchenzustand befinden ! | ||
==Hilbertraum variabler Teilchenzahl== | ==Hilbertraum variabler Teilchenzahl== |
Version vom 12. September 2010, 22:21 Uhr
Der Artikel Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 1) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen | Quantenmechanische Modellsysteme | Thermodynamik und Statistik |
---|---|---|
Betrachte N ununterscheidbare / identische Teilchen:
N- Teilchenzustand:
dabei ist der Satz der 1- Teilchen - Quantenzahlen.
Die Teilchennummer ist lediglich ein Platzhalter für die Stellung im Ket:
Führe ein:
Permutationsoperator:
|
Ununterscheidbarkeit verlangt:
Wegen der Ununterscheidbarkeit müssen alle Observablen mit vertauschen, insbesondere
- ist Erhaltungsgröße!
Es gilt:
Somit folgt:
Wichtig:
Ansonsten wären die Teilchen unterscheidbar ! Also:
Charakteristikum des Zustandes, bzw. der Teilchensorte !
Betrachte speziell: 2- Teilchen- System:
Sei Dann ist ein Eigenzustand von zum Eigenwert +1, der symmetrische Zustand ! denn: und ist der antisymmetrische Zustand von z zum Eigenwert -1, denn: |
N- Teilchensystem
Alle kommutieren mit dem Hamiltonoperator H, im Allgemeinen jedoch nicht untereinander! Daher wären an sich komplizierte Symmetrieeigenschaften denkbar. Aber: In der Natur sind scheinbar nur die Zustände realisiert, die bei Vertauschung beliebiger ununterscheidbarer Teilchen symmetrisch ()oder antisymmetrisch sind !
Reduktion des Hilbertraumes ( N- mal) auf einen symmetrischen Hilbertraumteilraum (also ) und einen antisymmetrischen Himbertteilraum (also ) erlaubter Zustände !
Bosonen |
- wie Photonen, Phononen oder →Bose-Einstein-Statistik
Fermionen |
- wie Elektronen, Proton, Neutron, →Fermi-Dirac-Statistik
Erfahrungstatsache! Beweis folgt erst aus der relativistischen Quantenfeldtheorie !
Dabei charakterisiert der Index die - te Permutation von (123...N)
- ist der sogenannte Symmetrisierungsoperator
- → ist ein Projektor er projiziert auf den symmetrisierten Unterraum des Hilbertraums !
Dabei charakterisiert der Index die - te Permutation von (123...N)
- ist der sogenannte Antisymmetrisierungsoperator
- → ist ein Projektor er projiziert auf den antisymmetrisierten Unterraum des Hilbertraums !
Wellenfunktionen total antisymmetrisch → 2 identische Fermionen können sich nicht im identischen Einteilchenzustand befinden !
Hilbertraum variabler Teilchenzahl
(großkanonisches Ensemble)
- Die Summe aller Hilberträume aller denkbaren N- Teilchenzustände und zwar jeweils einmal des symmetrisierten Hilbertraums und je einmal antisymmetrisierter Hilbertraum !
- ist der sogenannte Fock-Raum !
Ideales Gas (WW- freie, identische Teilchen):
Übergang zur Besetzungszahldarstellung:
links: Teilchen Nr. 1...N im Einteilchenzustand ai
rechts: Besetzungzahl des 1- Teilchenzustandes durch charakterisiert ( inkl. Spin!)
Bosonen:
Fermionen
dabei sind die Nj die Eigenwerte des Besetzungszahloperators