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| {{Scripthinweis|Elektrodynamik|3}}
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| Ziel: Beschreibung der Dynamik der Felder | | Ziel: Beschreibung der Dynamik der Felder |
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| Invarianz- Prinzipien sind / können sein: | | Invarianz- Prinzipien sind / können sein: |
| | | <noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|3|0}}</noinclude> |
| =3.1 TCP- Invarianz=
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| Zeitumkehr T: t -> t´=-t
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| Ladungsumkehr / Konjugation : C : Q Q´= - Q
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| Paritätsumkehr P : r - > r´= -r ( für den Ortsvektor)
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| <u>'''Die Zeitumkehr- Transformation'''</u>
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| <math>\begin{align}
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| & {{T}_{g}}:=\left\{ T-in\operatorname{var}iante\ ObservableA:TA=A \right\} \\
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| & =\left\{ \bar{r},d\bar{r},a:=\frac{{{d}^{2}}\bar{r}}{d{{t}^{2}}},m,q,\rho :=\begin{matrix}
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| \lim \\
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| \Delta V\to 0 \\
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| \end{matrix}\frac{\Delta q}{\Delta V},\bar{F}=m\bar{a},\bar{E}=\frac{{\bar{F}}}{q},\Phi ... \right\} \\
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| \end{align}</math>
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| Diese Observablen sind "gerade" unter T
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| Daneben gibt es auch Observablen, die "ungerade" unter T sind:
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| <math>{{T}_{u}}:=\left\{ A:TA=-A \right\}=\left\{ \bar{v}:=\frac{d\bar{r}}{dt},\bar{j}=\rho \bar{v},\bar{B},\bar{A} \right\}</math>
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| Denn:
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B} \\
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| & \bar{F}\in {{T}_{g}},\bar{v}\in {{T}_{u}},q\in {{T}_{g}}\Rightarrow \bar{B}\in {{T}_{u}} \\
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| & \bar{B}=\nabla \times \bar{A},\nabla \in {{T}_{g}} \\
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| \end{align}</math>
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| Somit folgt jedoch vollständige T- Invarianz der elektromagnetischen Grundgleichungen:
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| <math>\begin{align}
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| & T:\left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\}\to \left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\} \\
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| & T:\left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho \right\}\to \left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho \right\} \\
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| & T:\left\{ {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\}\to \left\{ -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\}\Leftrightarrow \left\{ {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\} \\
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| & T:\left\{ \nabla \times \bar{B}={{\mu }_{0}}\bar{j} \right\}\to \left\{ -\nabla \times \bar{B}=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \right\} \\
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| & \\
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| \end{align}</math>
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| Kontinuitätsgleichung:
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| <math>T:\left\{ \frac{\partial }{\partial t}\rho +{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}\to \left\{ -\frac{\partial }{\partial t}\rho -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}</math>
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| Die Gleichungen sind FORMINVARIANT !
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| '''Ladungsumkehr ( Konjugation)'''
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| <math>\begin{align}
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| & {{C}_{g}}:=\left\{ C-in\operatorname{var}iante\ ObservableA:CA=A \right\} \\
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| & {{C}_{g}}=\left\{ \bar{F},m,\bar{r},\bar{v},\bar{a} \right\} \\
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| \end{align}</math>
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| sind gerade unter C
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| '''Ungerade unter c sind:'''
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| <math>\begin{align} | |
| & {{C}_{u}}:=\left\{ A:CA=-A \right\}=\left\{ \bar{E}=\frac{1}{q}\bar{F},\bar{B},\bar{j},\rho \right\} \\
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| & \bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B} \\
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| \end{align}</math>
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| * C- Invarianz der Elektro- Magnetostatik:
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| <math>\begin{align}
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| & C:\left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\}\to \left\{ -{{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\} \\
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| & C:\left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho \right\}\to \left\{ -{{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=-\rho \right\} \\
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| & C:\left\{ {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\}\to \left\{ -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\} \\
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| & C:\left\{ \nabla \times \bar{B}={{\mu }_{0}}\bar{j} \right\}\to \left\{ -\nabla \times \bar{B}=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \right\} \\
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| \end{align}</math>
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| <math>C:\left\{ \frac{\partial }{\partial t}\rho +{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}\to \left\{ -\frac{\partial }{\partial t}\rho -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}</math>
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| <u>'''Paritätsumkehr: Räumliche Spiegelung/ Inversion'''</u>
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| Vertauschung: rechts <-> links
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| Man unterscheidet:
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| <math>P\bar{r}=-\bar{r}</math>
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| -> polarer Vektor
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| und
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| <math>P\left( \bar{a}\times \bar{b} \right)=\left( -\bar{a}\times -\bar{b} \right)=\left( \bar{a}\times \bar{b} \right)</math>
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| P- invariant = " axialer Vektor", sogenannter Pseudovektor !!
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| Seien:
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| <math>\bar{a},\bar{b}</math>
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| polar,
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| <math>\bar{w},\bar{\sigma }</math>
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| axial
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| Dann ist
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{a}\times \bar{w}\quad polar \\
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| & \bar{a}\times \bar{b},\bar{w}\times \bar{\sigma }\quad axial \\
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| & \bar{a}\bar{b}\ skalar:P(\bar{a}\bar{b})=\bar{a}\bar{b} \\
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| & \bar{w}\bar{\sigma }\ pseudoskalarP(\bar{w}\bar{\sigma })=-\bar{w}\bar{\sigma } \\
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| \end{align}</math>
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| <math>\begin{align}
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| & {{C}_{g}}:=\left\{ C-in\operatorname{var}iante\ ObservableA:CA=A \right\} \\
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| & {{C}_{g}}=\left\{ \bar{F},m,\bar{r},\bar{v},\bar{a} \right\} \\
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| \end{align}</math>
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| Wegen
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B} \\
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| & \bar{F}\in {{P}_{u}} \\
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| & q\in {{P}_{g}} \\
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| & \bar{v}\in {{P}_{u}} \\
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| \end{align}</math>
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| ungerade Parität dagegen:
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| <math>{{P}_{u}}=\left\{ polareVektoren,\bar{r},d\bar{r},\bar{v},\bar{a},\bar{F},\bar{E}=\frac{1}{q}\bar{F},\bar{j}=\rho \bar{v},\bar{A},Pseudoskalare\quad \nabla \cdot \bar{B} \right\}</math>
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| Wegen
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{B}=\nabla \times \bar{A} \\
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| & \nabla \in {{P}_{u}} \\
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| & \bar{B}\in {{P}_{g}} \\
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| \end{align}</math>
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| P- Invarianz der Elektro- / Magnetostatik:
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| <math>\begin{align}
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| & P:\left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\}\to \left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\} \\
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| & P:\left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho \right\}\to \left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho \right\} \\
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| & P:\left\{ {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\}\to \left\{ -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\} \\
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| & P:\left\{ \nabla \times \bar{B}={{\mu }_{0}}\bar{j} \right\}\to \left\{ -\nabla \times \bar{B}=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \right\} \\
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| \end{align}</math>
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| <math>P:\left\{ \frac{\partial }{\partial t}\rho +{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}\to \left\{ \frac{\partial }{\partial t}\rho +{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}</math>
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| Nebenbemerkung: Gäbe es magnetische Ladungen, dann wären sie pseudoskalare
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| Außerdem ( Weinberg e.a.) : Schwache Wechselwirkung verletzt die Paritätserhaltung!
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| =Maxwell- Gleichungen im Vakuum=
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| Die Forderungen an dynamische Gleichungen für zeitartige Felder
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| <math>\bar{E}(\bar{r},t),\bar{B}(\bar{r},t)</math>
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| lauten:
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| 1) im quasistatischen Grenzfall sollen die statischen MWGl herauskommen:
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| <math>\begin{align}
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| & {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \\
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| & {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}-\rho =0 \\
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| & {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
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| & \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\bar{j}=0 \\
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| \end{align}</math>
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| 2) die Gleichungen sollen linear in
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| <math>\bar{E}(\bar{r},t),\bar{B}(\bar{r},t)</math>
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| sein, um das Superpositionsprinzip zu erfüllen !
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| Die Gleichungen sollen 1. Ordnung in t sein ( um das Kausalitätsprinzip zu erfüllen !)
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| Die linke Seite der Maxwellgleichungen ( oben) soll zur Zeit t=0 den Zustand für t> 0 vollständig festlegen !!
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| Somit sind
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| <math>\begin{align}
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| & {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}={{a}_{1}}\dot{\bar{E}}+{{b}_{1}}\dot{\bar{B}} \\
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| & \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\bar{j}={{a}_{2}}\dot{\bar{E}}+{{b}_{2}}\dot{\bar{B}} \\
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| & {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}-\rho =0 \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
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| \end{align}</math>
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| Dies sind 6 Vektorgleichungen, die
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| <math>\bar{E}(\bar{r},t),\bar{B}(\bar{r},t)</math>
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| für t> 0 festlegen und 2 skalare Gleichungen
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| 3) Wir fordern TCP- Invarianz:
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| <math>\begin{align}
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| & {{T}_{g}}oder\ {{P}_{g}}\Rightarrow {{a}_{1}}=0 \\
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| & {{T}_{u}}oder\ {{P}_{u}}\Rightarrow {{b}_{2}}=0 \\
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| \end{align}</math>
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| Also bleibt:
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| <math>\begin{align}
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| & {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}={{b}_{1}}\dot{\bar{B}} \\
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| & \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\bar{j}={{a}_{2}}\dot{\bar{E}} \\
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| & {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}-\rho =0 \\
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| & {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
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| \end{align}</math>
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| 4) Ladungserhaltung:
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| <math>\begin{align}
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| & 0=\frac{\partial }{\partial t}\left( {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}-\rho \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \dot{\bar{E}}-\dot{\rho }=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{a}_{2}}}\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\bar{j} \right)-\dot{\rho } \\
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| & \frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{a}_{2}}}\nabla \cdot \nabla \times \bar{B}=0 \\
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| & \Rightarrow \frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{a}_{2}}}\nabla \cdot \left( {{\mu }_{0}}\bar{j} \right)-\dot{\rho }=0 \\
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| & \Rightarrow {{a}_{2}}={{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}} \\
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| \end{align}</math>
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| Unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung !
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| Somit ( vergl. S. 32, §2.3 folgt die Verschiebungsstromdichte
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| <math>{{\varepsilon }_{0}}\dot{\bar{E}}</math>
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| 5) Lorentzkraft
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| <math>\bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B}</math>
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| soll aus einem Extremalprinzip, ergo dem Hamiltonschen Prinzip ableitbar sein.
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| Suche also eine Lagrange- Funktion
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| <math>L(\bar{r},\bar{v},t)</math>
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| so dass die Lagrangegleichung
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| <math>\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}} \right)-\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{x}_{k}}}=0</math>
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| | |
| die nichtrelativistische Bewegungsgleichung
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| <math>m\ddot{\bar{r}}=q\left[ \bar{E}(\bar{r},t)+\bar{v}\times \bar{B}(\bar{r},t) \right]</math>
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| ergibt !
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| Lösung:
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| <math>L=\frac{m}{2}{{v}^{2}}+q\left[ \bar{v}\bar{A}(\bar{r},t)-\Phi (\bar{r},t) \right]</math>
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| Tatsächlich gilt
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| <math>{{p}_{k}}=\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}}=m{{v}_{k}}+q{{A}_{k}}(\bar{r},t)</math>
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| = kanonischer Impuls
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| <math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}}=m{{\ddot{x}}_{k}}+q\frac{d}{dt}{{A}_{k}}(\bar{r},t)</math>
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| Dabei ist die Zeitableitung von A als totales Differenzial entlang einer Bahn
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| <math>\bar{r}</math>
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| zu sehen !
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| <math>\begin{align}
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| & \frac{d}{dt}\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}}=m{{{\ddot{x}}}_{k}}+q\left( \frac{\partial }{\partial t}{{A}_{k}}(\bar{r},t)+\frac{\partial {{A}_{k}}(\bar{r},t)}{\partial {{x}_{l}}}\frac{\partial {{x}_{l}}}{\partial t} \right)=m{{{\ddot{x}}}_{k}}+q\left( \frac{\partial }{\partial t}+\bar{v}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}(\bar{r},t) \\
| |
| & \frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{x}_{k}}}=q\left[ \frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( \bar{v}\bar{A} \right)-\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\Phi \right] \\
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| & \Rightarrow 0=\frac{d}{dt}\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}}-\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{x}_{k}}}=m{{{\ddot{x}}}_{k}}+q\left( \frac{\partial }{\partial t}+\bar{v}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}(\bar{r},t)-q\left[ \frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( \bar{v}\bar{A} \right)-\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\Phi \right] \\
| |
| & =m{{{\ddot{x}}}_{k}}+q\frac{\partial }{\partial t}{{A}_{k}}(\bar{r},t)+q\left[ \left( \bar{v}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}(\bar{r},t)-\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( \bar{v}\bar{A} \right) \right]+q\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\Phi \\
| |
| & \left[ \left( \bar{v}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}(\bar{r},t)-\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( \bar{v}\bar{A} \right) \right]=-{{\left[ \bar{v}\times \left( \nabla \times \bar{A} \right) \right]}_{k}} \\
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| & \Rightarrow 0=m\ddot{\bar{r}}+q\frac{\partial }{\partial t}A(\bar{r},t)-q\left[ \bar{v}\times \left( \nabla \times \bar{A} \right) \right]+q\nabla \Phi =m\ddot{\bar{r}}+q\left[ \frac{\partial }{\partial t}A(\bar{r},t)+\nabla \Phi -\left[ \bar{v}\times \left( \nabla \times \bar{A} \right) \right] \right] \\
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| \end{align}</math>
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| Vergleich mit der Lorentzkraft liefert:
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{E}(\bar{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}A(\bar{r},t)-\nabla \Phi \\
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| & \bar{B}(\bar{r},t)=\nabla \times A(\bar{r},t) \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| und:
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| <math>\begin{align}
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| & \nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times A(\bar{r},t)-\nabla \times \nabla \Phi \\
| |
| & \nabla \times A(\bar{r},t)=\bar{B}(\bar{r},t) \\
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| & \nabla \times \nabla \Phi =0 \\
| |
| & \Rightarrow {{b}_{1}}=-1 \\
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| \end{align}</math>
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| <u>'''Vollständige ( zeitabhängige) Maxwellgleichungen im Vakuum'''</u>
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| mit den neuen Feldgrößen
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| <math>\bar{D}(\bar{r},t):={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}(\bar{r},t)</math>
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| dielektrische Verschiebung
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| und
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| <math>\bar{H}(\bar{r},t):=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}(\bar{r},t)</math>
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| , Magnetfeld
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| ergibt sich:
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| <math>\begin{align}
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| & {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\dot{\bar{B}}=0 \\
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| & {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{D}=\rho \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\times \bar{H}-\dot{\bar{D}}=\bar{j} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Dabei sind
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| <math>\begin{align}
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| & {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\dot{\bar{B}}=0 \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
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| die homogenen Gleichungen, die die Wechselwirkung einer Punktladung mit gegebenen Feldern
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| <math>\bar{E},\bar{B}</math>
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| beschreiben
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| und
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| <math>\begin{align}
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| & {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{D}=\rho \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\times \bar{H}-\dot{\bar{D}}=\bar{j} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| die inhomogenen Gleichungen, die Erzeugung der Felder
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| <math>\bar{D},\bar{H}</math>
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| durch gegebene Ladungen und Ströme
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| Im Gauß- System:
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| <math>\begin{align}
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| & {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\frac{1}{c}\dot{\bar{B}}=0 \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=4\pi \rho \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\times \bar{B}-\dot{\bar{E}}=\frac{4\pi }{c}\bar{j} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Mit
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}-\nabla \Phi \\
| |
| & \bar{B}=\nabla \times \bar{A} \\
| |
| & \bar{D}=\bar{E} \\
| |
| & \bar{H}=\bar{B} \\
| |
| \end{align}</math>
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| im Vakuum !
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| =Induktionsgesetz=
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| | |
| Die Maxwellgleichung
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| <math>{{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=-\dot{\bar{B}}</math>
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| wird über eine ortsfeste Fläche F ( nicht geschlossen) mit Rand
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| <math>\partial F</math>
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| integriert:
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| | |
| <math>\begin{align}
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| & \int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\left( {{\nabla }_{r}}\times \bar{E} \right)=-\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\dot{\bar{B}} \\
| |
| & \Rightarrow \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Wobei Differenziation und Integration genau dann vertauscht werden kann, wenn die Variablen unabhängig sind, also die Fläche ortsfest !
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| Damit folgt die integrale Form dieser Maxwellgleichung
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| <math>\begin{align}
| |
| & \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\Phi (t) \\
| |
| & \Phi (t)=\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}=\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{A} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Der magnetische Fluß !
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| Der magnetische Fluß
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| <math>\Phi (t)</math>
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| hängt nur vom Rand
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| <math>\partial F</math>
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| der Fläche ab !
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| Seien F und F´ zwei Flächen mit dem selben Rand, die das Volumen V einschließen :
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| | |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}-\int_{F\acute{\ }}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}=\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{B}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
| |
| & \nabla \cdot \bar{B}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Die Potenzialdifferenz bei einem Umlauf um
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| <math>\partial F</math>
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| beträgt:
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| <math>\Delta \Phi :=-\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}</math>
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| Dies entspricht einer induzierten Spannung ( als Wirbelfeld)
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| Somit folgt das
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| Faradaysche Induktionsgesetz:
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| <math>\Delta \Phi =\frac{\partial }{\partial t}{{\Phi }_{mag}}</math>
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| | |
| mit dem magnetischen Fluß
| |
| | |
| <math>{{\Phi }_{mag}}</math>
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| | |
| <u>'''Die Lenzsche Regel:'''</u>
| |
| | |
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| <math>\begin{align}
| |
| & \dot{\bar{B}}\to \bar{E} \\
| |
| & \nabla \times \bar{E}=-\bar{B} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| induziert
| |
| | |
| <math>\bar{E}\to \bar{j}\tilde{\ }\bar{E}</math>
| |
| Ladungsverschiebung/- Bewegung
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{j}\to \bar{H} \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\times \bar{H}=\bar{j} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| erzeugt
| |
| Also:
| |
| <math>\bar{H}</math>
| |
| ist
| |
| <math>\dot{\bar{B}}</math>
| |
| entgegengerichtet !
| |
| | |
| <u>'''Zusammenfassung'''</u>
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| | |
| | |
| <math>\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\Phi (t)</math>
| |
| Zirkulation des elektrischen Feldes entlang einer geschlossenen Linie ist gleich der zeitlichen Abnahme des eingeschlossenen magnetischen Flusses:
| |
| <math>\Phi (t)=\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}=\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{A}</math>
| |
| | |
| <math>\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{B}=0</math>
| |
| Der Nettofluss des magnetischen Feldes durch eine geschlossene Oberfläche ist NULL
| |
| | |
| <math>\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{E}=\frac{Q}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
| |
| Der Fluß des elektrischen Feldes durch
| |
| <math>\partial V</math>
| |
| ist gleich der eingeschlossenen Ladung
| |
| <math>\frac{Q}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
| |
| | |
| <math>\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{H}=\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \dot{\bar{D}}+I</math>
| |
| Die Zirkulation des magnetischen Feldes entlang einer eingeschlossenen Linie ist gleich der Summe aus dem dielektrischen Verschiebungsstrom
| |
| <math>\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \dot{\bar{D}}</math>
| |
| und dem Konvektionsstrom
| |
| <math>I=\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{j}</math>
| |
| | |
| | |
| | |
| =Energiebilanz=
| |
| | |
| Die Maxwell- Gleichungen enthalten die Kontinuitätsgleichung für die elektrische Ladung
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \dot{\rho }+\nabla \cdot \bar{j}=0 \\
| |
| & \dot{\rho }+\nabla \cdot \bar{j}=\nabla \cdot \left( \dot{\bar{D}}+\bar{j} \right)=\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{H} \right)=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| '''Frage:'''
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| | |
| Enthalten die Maxwell- Gleichungen weitere Erhaltungssätze für extensive physikalische Observablen, wie Energie, Impuls, Drehimpuls.
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| ( Extensiv: Additiv bei Systemzusammensetzung)
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| <u>'''Energietransport durch das elektromagnetische Feld:'''</u>
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\dot{\bar{B}}=0\left. {} \right|\cdot \bar{H} \\
| |
| & \nabla \times \bar{H}-\dot{\bar{D}}=\bar{j}\left. {} \right|\cdot \bar{E} \\
| |
| & \Rightarrow \bar{H}\cdot \left( \nabla \times \bar{E} \right)-\bar{E}\cdot \left( \nabla \times \bar{H} \right)+\bar{H}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{B}+\bar{E}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=-\bar{j}\cdot \bar{E} \\
| |
| & \bar{H}\cdot \left( \nabla \times \bar{E} \right)-\bar{E}\cdot \left( \nabla \times \bar{H} \right)=\nabla \cdot \left( \bar{E}\times \bar{H} \right) \\
| |
| & \bar{H}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{1}{2{{\mu }_{0}}}{{{\bar{B}}}^{2}} \right) \\
| |
| & \bar{E}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{D}={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{E}=\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{{\bar{E}}}^{2}} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Also:
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| | |
| <math>\frac{\partial }{\partial t}w+\nabla \cdot \bar{S}=-\bar{j}\cdot \bar{E}</math>
| |
| | |
| Als Kontinuitätsgleichung ( Bilanzgleichung) für den Energietransport
| |
| | |
| mit
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| | |
| <math>w:=\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{1}{2{{\mu }_{0}}}{{{\bar{B}}}^{2}} \right)+\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{{\bar{E}}}^{2}} \right)=\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{D}+\bar{B}\cdot \bar{H} \right)</math>
| |
| | |
| Als Energiedichte des elektromagnetischen Feldes
| |
| Remember:
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| | |
| Elektrostatik:
| |
| | |
| <math>\frac{1}{2}\bar{E}\cdot \bar{D}</math>
| |
| | |
| Magnetostatik:
| |
| | |
| <math>\frac{1}{2}\bar{B}\cdot \bar{H}</math>
| |
| | |
| <math>\bar{S}:=\bar{E}\times \bar{H}</math>
| |
| als Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes ( Poynting- Vektor)
| |
| | |
| <math>\sigma =-\bar{j}\cdot \bar{E}</math>
| |
| als Quelldichte der Feldenergie ( Leistungsdichte)
| |
| | |
| <math>\bar{j}\cdot \bar{E}>0</math>
| |
| bedingt die Abnahme der Feldenergie bei
| |
| <math>(\bar{r},t)</math>
| |
| | |
| <math>\bar{j}\cdot \bar{E}<0</math>
| |
| bedingt die Zunahme der Feldenergie bei
| |
| <math>(\bar{r},t)</math>
| |
| | |
| Beispiel: Beschleunigung von Teilchen durch die Felder
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| <math>\bar{E},\bar{B}</math>
| |
| :
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| | |
| Kraft auf die Ladung q:
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| <math>\bar{F}=q\left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right)</math>
| |
| | |
| Kraftdichte:
| |
| <math>\bar{f}=\rho \left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right)</math>
| |
| | |
| Als Leistungsdichte der Felder auf die Ladungsdichte
| |
| <math>\rho </math>
| |
| folgt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{f}\bar{v}=\rho \bar{v}\left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right)=\rho \bar{v}\bar{E}+\rho \bar{v}\left( \bar{v}\times \bar{B} \right) \\
| |
| & \rho \bar{v}\left( \bar{v}\times \bar{B} \right)=0 \\
| |
| & \Rightarrow \bar{f}\bar{v}=\rho \bar{v}\bar{E}=\bar{j}\bar{E} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Das Magnetfeld leistet keine Arbeit, da die Kraft senkrecht auf die Geschwindigkeit steht
| |
| | |
| Es verbleibt die Kraftdichte, die vom Feld auf Ladungen übertragen wird ( sogenannte Verlustdichte der Feldenergie)
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| | |
| Also ist die Feldenergie keine Erhaltungsgröße !!
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| | |
| <u>'''Beispiel: '''</u> Ohmsches Gesetz:
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| | |
| <math>\sigma \cdot \bar{E}=\bar{j}</math>
| |
| mit der konstanten LEITFÄHIGKEIT
| |
| <math>\sigma >0</math>
| |
| ( nicht wie oben Oberflächenladungsdichte)
| |
| | |
| Das Ohmsche Gesetz ist ein phänomenologisches MATERIALGESETZ.
| |
| Es gilt in Metallen und Halbleitern für hinreichend kleine Felder
| |
| <math>\bar{E}</math>
| |
| | |
| Die Energiebilanz lautet:
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| | |
| <math>\frac{\partial }{\partial t}w+\nabla \cdot \bar{S}=-\sigma \cdot {{\bar{E}}^{2}}<0</math>
| |
| | |
| Das heißt: Es gibt stets den VERLUST von Feldenergie !
| |
| Eine Konsequenz des 2. Hauptsatz der Thermodynamik
| |
| Im Gegensatz zur Elektrodynamik ist das Ohmsche Gesetz also nicht zeitumkehrinvariant !
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| | |
| Das bedeutet:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & t\to -t \\
| |
| & \bar{j}\to -\bar{j} \\
| |
| & aber \\
| |
| & \bar{E}\to \bar{E} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>\sigma \cdot {{\bar{E}}^{2}}>0</math>
| |
| wird dann als Joulsche Wärme im Leiter dissipiert
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| | |
| <u>'''2. Beispiel:'''</u>
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| | |
| Antennenstrahlung ( offenes System)
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| <math>\bar{j}</math>
| |
| in der metallischen Antenne ist dem Wechselfeld
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| <math>\bar{E}</math>
| |
| außerhalb entgegengesetzt.
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| | |
| <math>\Rightarrow \bar{j}\bar{E}<0</math>
| |
| | |
| <math>\Rightarrow </math>
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| Energiegewinn des Feldes
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| | |
| =Impulsbilanz=
| |
| | |
| Aus den Maxwell Gleichungen folgt eine weitere Bilanzgleichung für den Impulstransport durch das elektromagnetische Feld:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)=\dot{\bar{D}}\times \bar{B}+\bar{D}\times \dot{\bar{B}} \\
| |
| & \dot{\bar{D}}=\nabla \times \bar{H}-\bar{j} \\
| |
| & \dot{\bar{B}}=-\nabla \times \bar{E} \\
| |
| & \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)=-\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\times \left( \nabla \times \bar{B} \right)-\bar{j}\times \bar{B}-{{\varepsilon }_{o}}\bar{E}\times \left( \nabla \times \bar{E} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Mittels
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{B}\times \left( \nabla \times \bar{B} \right)=\frac{1}{2}\nabla \left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\left( \bar{B}\cdot \nabla \right)\bar{B} \\
| |
| & \bar{B}\times \left( \nabla \times \bar{B} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}+\bar{B}\left( \nabla \cdot \bar{B} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\bar{B}\otimes \bar{B} \right\} \\
| |
| & \bar{B}\left( \nabla \cdot \bar{B} \right)=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dabei bezeichnet
| |
| <math>\left( 1 \right)</math>
| |
| den Einheitstensor 1. Stufe und
| |
| <math>\bar{B}\otimes \bar{B}</math>
| |
| das Tensorprodukt (dyadisches Produkt).
| |
| Außerdem ist
| |
| <math>\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}</math>
| |
| die Divergenz eines Tensors
| |
| <math>\left( T \right)</math>
| |
| zweiter Stufe.
| |
| In Komponenten gilt:
| |
| <math>{{\left( \nabla \cdot T \right)}_{\beta }}:={{\partial }_{\alpha }}{{T}_{\alpha }}_{\beta }</math>
| |
| | |
| Analog:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}\times \left( \nabla \times \bar{E} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{E} \right)-\bar{E}\otimes \bar{E} \right\}+\bar{E}\left( \nabla \cdot \bar{E} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{E} \right)-\bar{E}\otimes \bar{E} \right\}+\bar{E}\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
| |
| & \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)+\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( {{\varepsilon }_{0}}{{E}^{2}}+\frac{1}{{{\mu }_{0}}}{{B}^{2}} \right)-{{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\otimes \bar{E}-\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}=-\left( \bar{E}\rho +\bar{j}\times \bar{B} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dabei beschreibt
| |
| | |
| <math>\left( \bar{E}\rho +\bar{j}\times \bar{B} \right)</math>
| |
| den Kraftdichtefluß, der von den Feldern auf Ströme und Ladungen übertragen wird
| |
| | |
| Als Bilanzgleichung für den Impulstransport ergibt sich:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{\partial }{\partial t}\bar{g}+\nabla \cdot \left( {\bar{\bar{T}}} \right)=-\left( \bar{E}\rho +\bar{j}\times \bar{B} \right) \\
| |
| & \bar{g}:=\left( \bar{D}\times \bar{B} \right) \\
| |
| & \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( {{\varepsilon }_{0}}{{E}^{2}}+\frac{1}{{{\mu }_{0}}}{{B}^{2}} \right)-{{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\otimes \bar{E}-\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}:=\left( {\bar{\bar{T}}} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dabei ist
| |
| | |
| <math>\bar{g}:=\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)</math>
| |
| die Impulsdichte des Feldes.
| |
| Nach Newton gilt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{d}{dt}\bar{p}=\bar{F} \\
| |
| & \Rightarrow \frac{d}{dt}\bar{g}=\bar{f} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Es ergibt sich
| |
| | |
| <math>\left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{D}+\bar{B}\cdot \bar{H} \right)-\bar{E}\otimes \bar{D}-\bar{B}\otimes \bar{H} \right\}:=\left( {\bar{\bar{T}}} \right)</math>
| |
| | |
| Als der
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| IMPULSSTROMDICHTE- Tensor des Feldes ( Maxwellscher Spannungstensor)
| |
| | |
| in Komponenten:
| |
| | |
| <math>{{T}_{\alpha \beta }}=\left\{ {{\delta }_{\alpha \beta }}\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{D}+\bar{B}\cdot \bar{H} \right)-{{{\bar{E}}}_{\alpha }}{{{\bar{D}}}_{\beta }}-{{{\bar{B}}}_{\alpha }}{{{\bar{H}}}_{\beta }} \right\}</math>
| |
| | |
| Dies ist die Stromrichtung der
| |
| <math>\beta </math>
| |
| - Komponente der Impulsdichte in
| |
| <math>\alpha </math>
| |
| - Richtung.
| |
| Eine Impulsdichte, die in eine feste Richtung weist wird somit entlang einer anderen Richtung transportiert !
| |
| | |
| <math>tr\left( {\bar{\bar{T}}} \right)={{T}_{\alpha \alpha }}=w</math>
| |
| Energiedichte
| |
| Außerdem ist T symmetrisch:
| |
| | |
| <math>{{T}_{\alpha \beta }}={{T}_{\beta \alpha }}</math>
| |
| | |
| Die komponentenweise Darstellung der Bilanzgleichung
| |
| | |
| <math>\frac{\partial }{\partial t}{{g}_{\beta }}+\frac{\partial }{\partial {{x}_{\alpha }}}{{T}_{\alpha \beta }}=-{{f}_{\beta }}</math>
| |
| | |
| beschriebt den Impulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen.
| |
| | |
| '''Bemerkung:'''
| |
| Eine analoge Bilanzgleichung gibt es für die Drehimpulsdichte des Feldes. Sie beschreibt den Drehimpulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen !
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| | |
| =Eichinvarianz=
| |
| | |
| Die Felder
| |
| <math>\bar{E},\bar{B}</math>
| |
| werden durch die Potenziale
| |
| <math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| dargestellt.:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dabei drängt sich die Frage auf, welche die allgemeinste Transformation
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Phi \left( \bar{r},t \right)\to \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\to \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| ist, welche die Felder E und B unverändert läßt.
| |
| | |
| Also:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \Rightarrow \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right)=\bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\nabla G\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \Rightarrow -\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\nabla G\left( \bar{r},t \right) \right) \\
| |
| & \Rightarrow \nabla \left( \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)-\Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}G\left( \bar{r},t \right) \right)=0 \\
| |
| & \Rightarrow \left( \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)-\Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}G\left( \bar{r},t \right) \right)=g(t)(r-unabh\ddot{a}ngig) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Mit
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & F\left( \bar{r},t \right):=G\left( \bar{r},t \right)-\int_{to}^{t}{dt\acute{\ }g(t\acute{\ })} \\
| |
| & \Rightarrow \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right)=\bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\nabla F\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)=\Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}F\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| mit eine völlig beliebigen Eichfunktion
| |
| <math>F\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| .
| |
| Alle physikalischen Aussagen müssen invariant sein ! Aber nicht nur
| |
| <math>\bar{E},\bar{B}</math>
| |
| sondern auch
| |
| <math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| sind physikalisch relevant.
| |
| So muss auch
| |
| <math>\oint\limits_{\partial F}{d\bar{s}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\int_{F}^{{}}{d\bar{f}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\Phi \left( \bar{r},t \right)}</math>
| |
| erfüllt sein.
| |
| | |
| Dies ist gewährleistet, wenn die Maxwellgleichungen erfüllt sind.
| |
| Durch
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| sind die '''homogenen '''Maxwellgleichungen bereits erfüllt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \nabla \times \bar{E}=-\nabla \times \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
| |
| & \nabla \cdot \bar{B}=\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Auch die Umkehrung gilt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \nabla \cdot \bar{B}=0 \\
| |
| & \Rightarrow \exists \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\Rightarrow \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\bar{B} \\
| |
| & \nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=-\nabla \times \frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)\Rightarrow \nabla \times \left( \bar{E}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=0 \\
| |
| & \Rightarrow \exists \Phi \left( \bar{r},t \right)\Rightarrow \bar{E}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Wähle nun eine Eichung derart, dass die inhomogenen Maxwellgleichungen besonders einfach werden
| |
| | |
| Ziel: Entkopplung der DGLs für
| |
| <math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right),\Phi \left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| :
| |
| | |
| # <u>'''Lorentz- Eichung:'''</u>
| |
| | |
| <math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=0</math>
| |
| | |
| Genau dadurch werden die Feldgleichungen entkoppelt:
| |
| 1)
| |
| <math>\begin{align}
| |
| & -\nabla \cdot \bar{E}=\nabla \cdot \left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
| |
| & \Delta \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Was mit Hilfe der Lorentzeichung wird zu
| |
| | |
| <math>\Delta \Phi \left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
| |
| | |
| '''Für A:'''
| |
| 2)
| |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\nabla \times \bar{B}-{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}=\bar{j} \\
| |
| & \Rightarrow \nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)={{\mu }_{0}}\bar{j} \\
| |
| & \nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=+\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \Rightarrow \Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right) \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Was mit der Lorentz- Eichung
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| <math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=0</math>
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| wird zu
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| <math>\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j}</math>
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| Dies kann in Viererschreibweise mit dem dÁlembertschen Operator # mit
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| <math>\#:=\Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}</math>
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| zusammengefasst werden:
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| <math>\begin{align}
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| & \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
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| & \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
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| \end{align}</math>
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| Dies sind die inhomogenen Wellengleichungen für die Potenziale ( entkoppelt mittels Lorentz- Eichung)
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| Es ergibt sich im SI- System:
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| <math>\frac{1}{\sqrt{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}}:=c=2,994\cdot {{10}^{8}}\frac{m}{s}</math>
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| als Lichtgeschwindigkeit
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| Dies ist einfach die ermittelte Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen im Vakuum !
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| <u>'''Coulomb- Eichung'''</u>
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| ( sogenannte Strahlungseichung):
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| <math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0</math>
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| Vergleiche Kapitel 2.3 ( Magnetostatik):
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| Für
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| <math>\begin{align}
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| & \dot{\bar{D}}=0 \\
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| & \Rightarrow \nabla \times \bar{B}=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A} \right)-\Delta \bar{A}={{\mu }_{0}}\bar{j} \\
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| \end{align}</math>
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| (Poissongleichung der Magnetostatik)
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| <u>'''Zerlegung in longitudinale und transversale Anteile :'''</u>
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| Allgemein kann man
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| <math>\bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
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| in ein wirbelfreies Longitudinalfeld:
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| <math>{{\bar{E}}_{l}}:=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)</math>
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| und ein quellenfreies Transversalfeld
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| <math>{{\bar{E}}_{t}}=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
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| zerlegen.
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| Tatsächlich gilt:
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| <math>\nabla \times {{\bar{E}}_{l}}:=-\nabla \times \left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right) \right)=0</math>
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| <math>\nabla \cdot {{\bar{E}}_{t}}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0</math>
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| Da
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| <math>\bar{B}</math>
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| quellenfrei ist, ist B auch immer transversal:
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| <math>\nabla \cdot \bar{B}:=\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{A} \right)=0</math>
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| Also:
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| <math>\Phi \left( \bar{r},t \right)</math>
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| ergibt die longitudinalen Felder und
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| <math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
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| die transversalen Felder.
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| Merke: Felder , die Rotation eines Vektorfeldes sind ( Vektorpotenzials) sind grundsätzlich transversaler Natur. (Divergenz verschwindet). Divergenzfelder ( als Gradienten eines Skalars) sind immer longitudinal ! ( Rotation verschwindet).
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| <u>'''Zerlegung der Stromdichte:'''</u>
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| <math>\bar{j}={{\bar{j}}_{l}}+{{\bar{j}}_{t}}</math>
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| mit
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| <math>\nabla \times {{\bar{j}}_{l}}=0</math>
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| <math>\nabla \cdot {{\bar{j}}_{t}}=0</math>
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| Mit
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| <math>\begin{align}
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| & \frac{\partial }{\partial t}\rho +\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{l}}+\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{t}}=0 \\
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| & \rho ={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {{{\bar{E}}}_{l}} \\
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| & \nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{t}}=0 \\
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| & \Rightarrow \nabla \cdot \left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=0 \\
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| \end{align}</math>
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| Außerdem gilt nach der Definition von longitudinal:
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| <math>\nabla \times \left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=0</math>
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| Also:
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| <math>\left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=const</math>
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| Da beide Felder aber für r-> 0 verschwinden folgt:
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| <math>\left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=0</math>
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| Also:
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| <math>{{\bar{j}}_{l}}={{\varepsilon }_{0}}\nabla \frac{\partial \Phi }{\partial t}</math>
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| Also:
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| Die Feldgleichungen
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| <math>\begin{align}
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| & \Delta \Phi +\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
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| & \nabla \cdot \bar{A}=0 \\
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| & \Rightarrow \Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
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| \end{align}</math>
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| und
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| <math>\begin{align}
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| & \Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right) \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
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| & \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0 \\
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| & \nabla {{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)={{{\bar{j}}}_{l}} \\
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| \end{align}</math>
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| erhalten dann die Form:
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| <math>\Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
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| und
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| <math>\begin{align}
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| & \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}{{{\bar{j}}}_{t}} \\
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| & \\
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| \end{align}</math>
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| In der Coulomb- Eichung !
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| Also.
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| <math>\Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
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| : longitudinale Felder entsprechend der Elektrostatik
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| <math>\#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}{{\bar{j}}_{t}}</math>
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| als transversale Felder entsprechend elektromagnetischen Wellen.
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| Das bedeutet : Die Coulombeichung ist zweckmäßig bei Strahlungsproblemen !
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| Sie liefert eine Poissongleichung für
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| <math>\Phi </math>
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| und eine Wellengleichung für
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| <math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
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| .
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