TCP- Invarianz

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Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel TCP- Invarianz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 1) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

TCP- Invarianz

Die Maxwell-Gleichungen

Elektrodynamik Schöll

Inhaltsverzeichnis

1 Die Zeitumkehr- Transformation
2 Ladungsumkehr (Konjugation)
3 Paritätsumkehr: Räumliche Spiegelung/ Inversion

Zeitumkehr T: t → t´=-t
Ladungsumkehr / Konjugation: C : Q → Q´= - Q
Paritätsumkehr P: r → r´= -r (für den Ortsvektor)

Die Zeitumkehr- Transformation

$\begin{align} & {{T}_{g}}:=\left\{ T-in\operatorname{var}iante\ ObservableA:TA=A \right\} \\ & =\left\{ \bar{r},d\bar{r},a:=\frac{{{d}^{2}}\bar{r}}{d{{t}^{2}}},m,q,\rho :=\begin{matrix} \lim \\ \Delta V\to 0 \\ \end{matrix}\frac{\Delta q}{\Delta V},\bar{F}=m\bar{a},\bar{E}=\frac{{\bar{F}}}{q},\Phi ... \right\} \\ \end{align}$

Diese Observablen sind "gerade" unter T

Daneben gibt es auch Observablen, die "ungerade" unter T sind:

${{T}_{u}}:=\left\{ A:TA=-A \right\}=\left\{ \bar{v}:=\frac{d\bar{r}}{dt},\bar{j}=\rho \bar{v},\bar{B},\bar{A} \right\}$

Denn:

$\begin{align} & \bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B} \\ & \bar{F}\in {{T}_{g}},\bar{v}\in {{T}_{u}},q\in {{T}_{g}}\Rightarrow \bar{B}\in {{T}_{u}} \\ & \bar{B}=\nabla \times \bar{A},\nabla \in {{T}_{g}} \\ \end{align}$

Somit folgt jedoch vollständige T- Invarianz der elektromagnetischen Grundgleichungen:

$\begin{align} & T:\left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\}\to \left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\} \\ & T:\left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho \right\}\to \left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho \right\} \\ & T:\left\{ {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\}\to \left\{ -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\}\Leftrightarrow \left\{ {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\} \\ & T:\left\{ \nabla \times \bar{B}={{\mu }_{0}}\bar{j} \right\}\to \left\{ -\nabla \times \bar{B}=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \right\} \\ & \\ \end{align}$

Kontinuitätsgleichung:

$T:\left\{ \frac{\partial }{\partial t}\rho +{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}\to \left\{ -\frac{\partial }{\partial t}\rho -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}$

Die Gleichungen sind forminvariant!

Ladungsumkehr (Konjugation)

$\begin{align} & {{C}_{g}}:=\left\{ C-in\operatorname{var}iante\ ObservableA:CA=A \right\} \\ & {{C}_{g}}=\left\{ \bar{F},m,\bar{r},\bar{v},\bar{a} \right\} \\ \end{align}$

sind gerade unter C Ungerade unter c sind:

$\begin{align} & {{C}_{u}}:=\left\{ A:CA=-A \right\}=\left\{ \bar{E}=\frac{1}{q}\bar{F},\bar{B},\bar{j},\rho \right\} \\ & \bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B} \\ \end{align}$

C- Invarianz der Elektro- Magnetostatik:

$\begin{align} & C:\left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\}\to \left\{ -{{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\} \\ & C:\left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho \right\}\to \left\{ -{{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=-\rho \right\} \\ & C:\left\{ {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\}\to \left\{ -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\} \\ & C:\left\{ \nabla \times \bar{B}={{\mu }_{0}}\bar{j} \right\}\to \left\{ -\nabla \times \bar{B}=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \right\} \\ \end{align}$

$C:\left\{ \frac{\partial }{\partial t}\rho +{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}\to \left\{ -\frac{\partial }{\partial t}\rho -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}$

Paritätsumkehr: Räumliche Spiegelung/ Inversion

Vertauschung: rechts ↔ links

Man unterscheidet:

$P\bar{r}=-\bar{r}$

→ polarer Vektor und

$P\left( \bar{a}\times \bar{b} \right)=\left( -\bar{a}\times -\bar{b} \right)=\left( \bar{a}\times \bar{b} \right)$

P- invariant = " axialer Vektor", sogenannter Pseudovektor!!

Seien:

$\bar{a},\bar{b}$

polar,

$\bar{w},\bar{\sigma }$

axial Dann ist

$\begin{align} & \bar{a}\times \bar{w}\quad polar \\ & \bar{a}\times \bar{b},\bar{w}\times \bar{\sigma }\quad axial \\ & \bar{a}\bar{b}\ skalar:P(\bar{a}\bar{b})=\bar{a}\bar{b} \\ & \bar{w}\bar{\sigma }\ pseudoskalarP(\bar{w}\bar{\sigma })=-\bar{w}\bar{\sigma } \\ \end{align}$

$\begin{align} & {{C}_{g}}:=\left\{ C-in\operatorname{var}iante\ ObservableA:CA=A \right\} \\ & {{C}_{g}}=\left\{ \bar{F},m,\bar{r},\bar{v},\bar{a} \right\} \\ \end{align}$

Wegen

$\begin{align} & \bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B} \\ & \bar{F}\in {{P}_{u}} \\ & q\in {{P}_{g}} \\ & \bar{v}\in {{P}_{u}} \\ \end{align}$

ungerade Parität dagegen:

${{P}_{u}}=\left\{ polareVektoren,\bar{r},d\bar{r},\bar{v},\bar{a},\bar{F},\bar{E}=\frac{1}{q}\bar{F},\bar{j}=\rho \bar{v},\bar{A},Pseudoskalare\quad \nabla \cdot \bar{B} \right\}$

Wegen

$\begin{align} & \bar{B}=\nabla \times \bar{A} \\ & \nabla \in {{P}_{u}} \\ & \bar{B}\in {{P}_{g}} \\ \end{align}$

P- Invarianz der Elektro- / Magnetostatik:

$\begin{align} & P:\left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\}\to \left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\} \\ & P:\left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho \right\}\to \left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho \right\} \\ & P:\left\{ {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\}\to \left\{ -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\} \\ & P:\left\{ \nabla \times \bar{B}={{\mu }_{0}}\bar{j} \right\}\to \left\{ -\nabla \times \bar{B}=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \right\} \\ \end{align}$

$P:\left\{ \frac{\partial }{\partial t}\rho +{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}\to \left\{ \frac{\partial }{\partial t}\rho +{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}$

Nebenbemerkung: Gäbe es magnetische Ladungen, dann wären sie pseudoskalare Außerdem (Weinberg e.a.) : Schwache Wechselwirkung verletzt die Paritätserhaltung!

Fakten zu TCP- InvarianzRDF-Feed

Abschnitt	1 +
Fachbegriff	Kontinuitätsgleichung + und Forminvariant +
Index	Kontinuitätsgleichung + und Forminvariant +
Inhaltstyp	Script +
Kapitel	3 +
Urheber	Prof. Dr. E. Schöll, PhD +

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