Maxwell- Gleichungen im Vakuum

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Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Maxwell- Gleichungen im Vakuum basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 2) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Maxwell- Gleichungen im Vakuum	Die Maxwell-Gleichungen	Elektrodynamik Schöll
	TCP- Invarianz Maxwell- Gleichungen im Vakuum Induktionsgesetz Energiebilanz Impulsbilanz Eichinvarianz	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Die Forderungen an dynamische Gleichungen für zeitartige Felder

$\bar{E}(\bar{r},t),\bar{B}(\bar{r},t)$

lauten: 1) im quasistatischen Grenzfall sollen die statischen MWGl herauskommen:

$\begin{align} & {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \\ & {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}-\rho =0 \\ & {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\ & \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\bar{j}=0 \\ \end{align}$

2) die Gleichungen sollen linear in

$\bar{E}(\bar{r},t),\bar{B}(\bar{r},t)$

sein, um das Superpositionsprinzip zu erfüllen! Die Gleichungen sollen 1. Ordnung in t sein (um das Kausalitätsprinzip zu erfüllen!)

Die linke Seite der Maxwellgleichungen (oben) soll zur Zeit t=0 den Zustand für t> 0 vollständig festlegen!!

Somit sind

$\begin{align} & {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}={{a}_{1}}\dot{\bar{E}}+{{b}_{1}}\dot{\bar{B}} \\ & \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\bar{j}={{a}_{2}}\dot{\bar{E}}+{{b}_{2}}\dot{\bar{B}} \\ & {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}-\rho =0 \\ & {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\ \end{align}$

Dies sind 6 Vektorgleichungen, die

$\bar{E}(\bar{r},t),\bar{B}(\bar{r},t)$

für t> 0 festlegen und 2 skalare Gleichungen

3) Wir fordern TCP- Invarianz:

$\begin{align} & {{T}_{g}}oder\ {{P}_{g}}\Rightarrow {{a}_{1}}=0 \\ & {{T}_{u}}oder\ {{P}_{u}}\Rightarrow {{b}_{2}}=0 \\ \end{align}$

Also bleibt:

$\begin{align} & {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}={{b}_{1}}\dot{\bar{B}} \\ & \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\bar{j}={{a}_{2}}\dot{\bar{E}} \\ & {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}-\rho =0 \\ & {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\ \end{align}$

4) Ladungserhaltung:

$\begin{align} & 0=\frac{\partial }{\partial t}\left( {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}-\rho \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \dot{\bar{E}}-\dot{\rho }=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{a}_{2}}}\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\bar{j} \right)-\dot{\rho } \\ & \frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{a}_{2}}}\nabla \cdot \nabla \times \bar{B}=0 \\ & \Rightarrow \frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{a}_{2}}}\nabla \cdot \left( {{\mu }_{0}}\bar{j} \right)-\dot{\rho }=0 \\ & \Rightarrow {{a}_{2}}={{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}} \\ \end{align}$

Unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung! Somit (vergl. S. 32, §2.3 folgt die Verschiebungsstromdichte

${{\varepsilon }_{0}}\dot{\bar{E}}$

5) Lorentzkraft

$\bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B}$

soll aus einem Extremalprinzip, ergo dem Hamiltonschen Prinzip ableitbar sein. Suche also eine Lagrange- Funktion

$L(\bar{r},\bar{v},t)$

so dass die Lagrangegleichung

$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}} \right)-\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{x}_{k}}}=0$

die nichtrelativistische Bewegungsgleichung

$m\ddot{\bar{r}}=q\left[ \bar{E}(\bar{r},t)+\bar{v}\times \bar{B}(\bar{r},t) \right]$

ergibt!

Lösung:

$L=\frac{m}{2}{{v}^{2}}+q\left[ \bar{v}\bar{A}(\bar{r},t)-\Phi (\bar{r},t) \right]$

Tatsächlich gilt

${{p}_{k}}=\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}}=m{{v}_{k}}+q{{A}_{k}}(\bar{r},t)$

= kanonischer Impuls

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}}=m{{\ddot{x}}_{k}}+q\frac{d}{dt}{{A}_{k}}(\bar{r},t)$

Dabei ist die Zeitableitung von A als totales Differenzial entlang einer Bahn

$\bar{r}$

zu sehen!

$\begin{align} & \frac{d}{dt}\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}}=m{{{\ddot{x}}}_{k}}+q\left( \frac{\partial }{\partial t}{{A}_{k}}(\bar{r},t)+\frac{\partial {{A}_{k}}(\bar{r},t)}{\partial {{x}_{l}}}\frac{\partial {{x}_{l}}}{\partial t} \right)=m{{{\ddot{x}}}_{k}}+q\left( \frac{\partial }{\partial t}+\bar{v}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}(\bar{r},t) \\ & \frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{x}_{k}}}=q\left[ \frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( \bar{v}\bar{A} \right)-\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\Phi \right] \\ & \Rightarrow 0=\frac{d}{dt}\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}}-\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{x}_{k}}}=m{{{\ddot{x}}}_{k}}+q\left( \frac{\partial }{\partial t}+\bar{v}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}(\bar{r},t)-q\left[ \frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( \bar{v}\bar{A} \right)-\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\Phi \right] \\ & =m{{{\ddot{x}}}_{k}}+q\frac{\partial }{\partial t}{{A}_{k}}(\bar{r},t)+q\left[ \left( \bar{v}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}(\bar{r},t)-\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( \bar{v}\bar{A} \right) \right]+q\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\Phi \\ & \left[ \left( \bar{v}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}(\bar{r},t)-\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( \bar{v}\bar{A} \right) \right]=-{{\left[ \bar{v}\times \left( \nabla \times \bar{A} \right) \right]}_{k}} \\ & \Rightarrow 0=m\ddot{\bar{r}}+q\frac{\partial }{\partial t}A(\bar{r},t)-q\left[ \bar{v}\times \left( \nabla \times \bar{A} \right) \right]+q\nabla \Phi =m\ddot{\bar{r}}+q\left[ \frac{\partial }{\partial t}A(\bar{r},t)+\nabla \Phi -\left[ \bar{v}\times \left( \nabla \times \bar{A} \right) \right] \right] \\ \end{align}$

Vergleich mit der Lorentzkraft liefert:

$\begin{align} & \bar{E}(\bar{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}A(\bar{r},t)-\nabla \Phi \\ & \bar{B}(\bar{r},t)=\nabla \times A(\bar{r},t) \\ \end{align}$

und:

$\begin{align} & \nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times A(\bar{r},t)-\nabla \times \nabla \Phi \\ & \nabla \times A(\bar{r},t)=\bar{B}(\bar{r},t) \\ & \nabla \times \nabla \Phi =0 \\ & \Rightarrow {{b}_{1}}=-1 \\ \end{align}$

Vollständige (zeitabhängige) Maxwellgleichungen im Vakuum

mit den neuen Feldgrößen

$\bar{D}(\bar{r},t):={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}(\bar{r},t)$

dielektrische Verschiebung und

$\bar{H}(\bar{r},t):=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}(\bar{r},t)$ ,

Magnetfeld

ergibt sich:

$\begin{align} & {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\dot{\bar{B}}=0 \\ & {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\ & {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{D}=\rho \\ & {{\nabla }_{r}}\times \bar{H}-\dot{\bar{D}}=\bar{j} \\ \end{align}$

Dabei sind

$\begin{align} & {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\dot{\bar{B}}=0 \\ & {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\ \end{align}$

die homogenen Gleichungen, die die Wechselwirkung einer Punktladung mit gegebenen Feldern

$\bar{E},\bar{B}$

beschreiben und

$\begin{align} & {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{D}=\rho \\ & {{\nabla }_{r}}\times \bar{H}-\dot{\bar{D}}=\bar{j} \\ \end{align}$

die inhomogenen Gleichungen, die Erzeugung der Felder

$\bar{D},\bar{H}$

durch gegebene Ladungen und Ströme

Im Gauß- System:

$\begin{align} & {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\frac{1}{c}\dot{\bar{B}}=0 \\ & {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\ & {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=4\pi \rho \\ & {{\nabla }_{r}}\times \bar{B}-\dot{\bar{E}}=\frac{4\pi }{c}\bar{j} \\ \end{align}$

Mit

$\begin{align} & \bar{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}-\nabla \Phi \\ & \bar{B}=\nabla \times \bar{A} \\ & \bar{D}=\bar{E} \\ & \bar{H}=\bar{B} \\ \end{align}$

im Vakuum!

Fakten zu Maxwell- Gleichungen im VakuumRDF-Feed

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Kapitel	3 +
Urheber	Prof. Dr. E. Schöll, PhD +

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