Impulsbilanz

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Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Impulsbilanz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 5) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Impulsbilanz	Die Maxwell-Gleichungen	Elektrodynamik Schöll
	TCP- Invarianz Maxwell- Gleichungen im Vakuum Induktionsgesetz Energiebilanz Impulsbilanz Eichinvarianz	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Aus den Maxwell Gleichungen folgt eine weitere Bilanzgleichung für den Impulstransport durch das elektromagnetische Feld:

$\begin{align} & \frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)=\dot{\bar{D}}\times \bar{B}+\bar{D}\times \dot{\bar{B}} \\ & \dot{\bar{D}}=\nabla \times \bar{H}-\bar{j} \\ & \dot{\bar{B}}=-\nabla \times \bar{E} \\ & \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)=-\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\times \left( \nabla \times \bar{B} \right)-\bar{j}\times \bar{B}-{{\varepsilon }_{o}}\bar{E}\times \left( \nabla \times \bar{E} \right) \\ \end{align}$

Mittels

$\begin{align} & \bar{B}\times \left( \nabla \times \bar{B} \right)=\frac{1}{2}\nabla \left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\left( \bar{B}\cdot \nabla \right)\bar{B} \\ & \bar{B}\times \left( \nabla \times \bar{B} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}+\bar{B}\left( \nabla \cdot \bar{B} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\bar{B}\otimes \bar{B} \right\} \\ & \bar{B}\left( \nabla \cdot \bar{B} \right)=0 \\ \end{align}$

Dabei bezeichnet

$\left( 1 \right)$

den Einheitstensor 1. Stufe und

$\bar{B}\otimes \bar{B}$

das Tensorprodukt (dyadisches Produkt). Außerdem ist

$\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}$

die Divergenz eines Tensors

$\left( T \right)$

zweiter Stufe. In Komponenten gilt:

${{\left( \nabla \cdot T \right)}_{\beta }}:={{\partial }_{\alpha }}{{T}_{\alpha }}_{\beta }$

Analog:

$\begin{align} & \bar{E}\times \left( \nabla \times \bar{E} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{E} \right)-\bar{E}\otimes \bar{E} \right\}+\bar{E}\left( \nabla \cdot \bar{E} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{E} \right)-\bar{E}\otimes \bar{E} \right\}+\bar{E}\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\ & \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)+\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( {{\varepsilon }_{0}}{{E}^{2}}+\frac{1}{{{\mu }_{0}}}{{B}^{2}} \right)-{{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\otimes \bar{E}-\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}=-\left( \bar{E}\rho +\bar{j}\times \bar{B} \right) \\ \end{align}$

Dabei beschreibt

$\left( \bar{E}\rho +\bar{j}\times \bar{B} \right)$

den Kraftdichtefluß, der von den Feldern auf Ströme und Ladungen übertragen wird

Als Bilanzgleichung für den Impulstransport ergibt sich:

$\begin{align} & \frac{\partial }{\partial t}\bar{g}+\nabla \cdot \left( {\bar{\bar{T}}} \right)=-\left( \bar{E}\rho +\bar{j}\times \bar{B} \right) \\ & \bar{g}:=\left( \bar{D}\times \bar{B} \right) \\ & \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( {{\varepsilon }_{0}}{{E}^{2}}+\frac{1}{{{\mu }_{0}}}{{B}^{2}} \right)-{{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\otimes \bar{E}-\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}:=\left( {\bar{\bar{T}}} \right) \\ \end{align}$

Dabei ist

$\bar{g}:=\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)$

die Impulsdichte des Feldes. Nach Newton gilt:

$\begin{align} & \frac{d}{dt}\bar{p}=\bar{F} \\ & \Rightarrow \frac{d}{dt}\bar{g}=\bar{f} \\ \end{align}$

Es ergibt sich

$\left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{D}+\bar{B}\cdot \bar{H} \right)-\bar{E}\otimes \bar{D}-\bar{B}\otimes \bar{H} \right\}:=\left( {\bar{\bar{T}}} \right)$

Als der IMPULSSTROMDICHTE- Tensor des Feldes (Maxwellscher Spannungstensor)

in Komponenten:

${{T}_{\alpha \beta }}=\left\{ {{\delta }_{\alpha \beta }}\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{D}+\bar{B}\cdot \bar{H} \right)-{{{\bar{E}}}_{\alpha }}{{{\bar{D}}}_{\beta }}-{{{\bar{B}}}_{\alpha }}{{{\bar{H}}}_{\beta }} \right\}$

Dies ist die Stromrichtung der

β

- Komponente der Impulsdichte in

α

- Richtung. Eine Impulsdichte, die in eine feste Richtung weist wird somit entlang einer anderen Richtung transportiert!

$tr\left( {\bar{\bar{T}}} \right)={{T}_{\alpha \alpha }}=w$

Energiedichte Außerdem ist T symmetrisch:

T αβ = T βα

Die komponentenweise Darstellung der Bilanzgleichung

$\frac{\partial }{\partial t}{{g}_{\beta }}+\frac{\partial }{\partial {{x}_{\alpha }}}{{T}_{\alpha \beta }}=-{{f}_{\beta }}$

beschriebt den Impulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen.

Bemerkung: Eine analoge Bilanzgleichung gibt es für die Drehimpulsdichte des Feldes. Sie beschreibt den Drehimpulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen!

Fakten zu ImpulsbilanzRDF-Feed

Abschnitt	5 +
Inhaltstyp	Script +
Kapitel	3 +
Urheber	Prof. Dr. E. Schöll, PhD +

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