Dirac-Gleichung und Spin: nichtrelativistischer Grenzfall: Unterschied zwischen den Versionen
Zur Navigation springen
Zur Suche springen
Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=5|Prof=Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> <FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: GREI…“ |
Keine Bearbeitungszusammenfassung |
||
(6 dazwischenliegende Versionen von 2 Benutzern werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=5|Prof=Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> | <noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=5|Prof=Prof. Dr. T. Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> | ||
Mit (Vektor) Potential haben wir die | |||
Mit (Vektor) Potential haben wir die {{FB|Dirac-Gleichung|Elektromagnetismus}} als | |||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \underline{\alpha }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)+\beta m+e\phi \right)\Psi ,\quad \hbar =c=1</math> | :<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \underline{\alpha }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)+\beta m+e\phi \right)\Psi ,\quad \hbar =c=1</math> | ||
: |(1.37)|RawN=.}} | : |(1.37)|RawN=.}} | ||
Zeile 25: | Zeile 25: | ||
\end{align} \right){{e}^{\frac{-\mathfrak{i} m{{c}^{2}}t}{\hbar }}}</math>, mit den 2er Spinoren | \end{align} \right){{e}^{\frac{-\mathfrak{i} m{{c}^{2}}t}{\hbar }}}</math>, mit den 2er Spinoren | ||
<math>\varphi =\left( \begin{align} | :<math>\varphi =\left( \begin{align} | ||
& {{\varphi }_{1}} \\ | & {{\varphi }_{1}} \\ | ||
Zeile 37: | Zeile 37: | ||
& {{\chi }_{2}} \\ | & {{\chi }_{2}} \\ | ||
\end{align} \right)</math> | \end{align} \right).</math> | ||
Damit folgt dann | Damit folgt dann | ||
Zeile 45: | Zeile 44: | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\left( \begin{align} | :<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\left( \begin{align} | ||
& \varphi \\ | & \varphi \\ | ||
Zeile 75: | Zeile 74: | ||
Beachte das jetzt überall <math>\varphi =\varphi \left( \underline{x},t \right)</math>gilt | Beachte das jetzt überall <math>\varphi =\varphi \left( \underline{x},t \right)</math>gilt | ||
Jetzt: Näherung/Annahme das kinetische und potentielle Energie viel kleiner als Ruhemasse <math>m{{c}^{2}}</math> ist | Jetzt: Näherung/Annahme das <u>kinetische und potentielle Energie viel kleiner als Ruhemasse</u> <math>m{{c}^{2}}</math> ist | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& mc{{\chi }^{2}}\gg \left| i\hbar {{\partial }_{t}}\chi \right|,\quad mc{{\chi }^{2}}\gg \left| e\phi \varphi \right| \\ | & mc{{\chi }^{2}}\gg \left| i\hbar {{\partial }_{t}}\chi \right|,\quad mc{{\chi }^{2}}\gg \left| e\phi \varphi \right| \\ | ||
Zeile 88: | Zeile 87: | ||
: |(1.39)|RawN=.}} | : |(1.39)|RawN=.}} | ||
einsetzen in die Gleichung (1.38) liefert | |||
{{NumBlk|:| <math>i{{\partial }_{t}}\varphi =\frac{1}{2m}\left( \underline{\sigma }{{\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)}^{2}} \right)\varphi +e\phi \varphi </math> | {{NumBlk|:| <math>i{{\partial }_{t}}\varphi =\frac{1}{2m}\left( \underline{\sigma }{{\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)}^{2}} \right)\varphi +e\phi \varphi </math> | ||
Zeile 99: | Zeile 97: | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
\left( \underline{\sigma }\underline{A} \right)\left( \underline{\sigma }\underline{B} \right)=\underline{A}\underline{B}\underline{\underline{1}}+\mathfrak{i} \underline{\sigma }\left( \underline{A}\times \underline{B} \right) \\ | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
: |(1.41)|RawN=.}} | |||
mit | |||
:<math>\begin{align} | |||
\underline{A}=\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}} \right),\underline{B}=\left( {{B}_{1}},{{B}_{2}},{{B}_{3}} \right),\underline{A},\underline{B} | |||
\text{ vektorwertiger Operator und} \\ | |||
\underline{\sigma }=\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{1}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{2}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{3}} \right) | |||
\end{align}</math> | \text{Vektor der Pauli-Matrizen} \\ | ||
\end{align} | |||
</math> | |||
Beweis von (1.41) mittels (Anti) {{FB|Kommutator-Eigenschaften}} | |||
Beweis von (1.41) mittels (Anti) | <font color="#3399FF">'''''(AUFGABE)'''''</FONT> | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \left\{ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right\}:={{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}+{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\underline{\underline{1}} \\ | & \left\{ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right\}:={{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}+{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\underline{\underline{1}} \\ | ||
Zeile 121: | Zeile 125: | ||
& \left[ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right]:={{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}-{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}=2\mathfrak{i} {{\varepsilon }_{ijk}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{k}} \\ | & \left[ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right]:={{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}-{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}=2\mathfrak{i} {{\varepsilon }_{ijk}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{k}} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math>|(1.42)|RawN=.}} | ||
<math>\underline{p}=\frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\underline{\nabla }</math> | Es gilt weiterhin <font color="#3399FF">(AUFGABE)</FONT>, beachte <math>\underline{p}=\frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\underline{\nabla }</math> und <math>\underline{A}=\underline{A}\left( \underline{x},t \right)</math> | ||
und <math>\underline{A}=\underline{A}\left( \underline{x},t \right)</math> | |||
{{NumBlk|:| <math>\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)\times \left( \underline{p}-e\underline{A} \right)=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{\left( \underline{\nabla }\times \underline{A} \right)}_{\text{Magnetfeld}}=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{{\underline{B}}}_{\text{Magnetfeld}}</math> |(1.43)|RawN=.}} | {{NumBlk|:| <math>\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)\times \left( \underline{p}-e\underline{A} \right)=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{\left( \underline{\nabla }\times \underline{A} \right)}_{\text{Magnetfeld}}=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{{\underline{B}}}_{\text{Magnetfeld}}</math> |(1.43)|RawN=.}} | ||
Zeile 137: | Zeile 134: | ||
Mit (1.43) folgt aus (1.41) die Kopplung von Spin und Magnetfeld | Mit (1.43) folgt aus (1.41) die Kopplung von Spin und Magnetfeld | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:|{{FB|Pauli-Gleichung}} <math>i{{\partial }_{t}}\varphi =\left[ \frac{1}{2m}{{\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)}^{2}}-\underbrace{\frac{e\hbar }{2m}\underline{\sigma }.\underline{B}}_{\text{Pauli-Term}}+e\phi \right]\varphi </math> | ||
|(1.44)|RawN=.}} | |(1.44)|RawN=.}} | ||
mit dem 2-Komponentigen Spinor | mit dem 2-Komponentigen Spinor <math>\varphi =\left( \begin{align} | ||
<math>\varphi =\left( \begin{align} | |||
& {{\varphi }_{1}} \\ | & {{\varphi }_{1}} \\ | ||
Zeile 150: | Zeile 145: | ||
\end{align} \right)</math> | \end{align} \right)</math> | ||
==siehe auch== | |||
[[Der_nichtrelativistische_Grenzfall#Nichtrelativistische_Näherung:]] | |||
<noinclude>==Literatur== | |||
<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: GREINER'''</FONT></noinclude> |
Aktuelle Version vom 24. September 2010, 14:25 Uhr
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes
Der Artikel Dirac-Gleichung und Spin: nichtrelativistischer Grenzfall basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 5) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes. |
Mit (Vektor) Potential haben wir die Dirac-Gleichung als
(1.37)
Jetzt erfolgt die Zerlegung , mit den 2er Spinoren
Damit folgt dann
(1.38)
Beachte das jetzt überall gilt
Jetzt: Näherung/Annahme das kinetische und potentielle Energie viel kleiner als Ruhemasse ist
(1.39)
einsetzen in die Gleichung (1.38) liefert
(1.40)
Jetzt folgendes „Theorem“ benutzen
(1.41)
mit
Beweis von (1.41) mittels (Anti) Kommutator-Eigenschaften (AUFGABE)
(1.42)
Es gilt weiterhin (AUFGABE), beachte und
(1.43)
Mit (1.43) folgt aus (1.41) die Kopplung von Spin und Magnetfeld
Pauli-Gleichung
(1.44)
mit dem 2-Komponentigen Spinor
siehe auch
Der_nichtrelativistische_Grenzfall#Nichtrelativistische_Näherung:
Literatur
LITERATUR: GREINER