Dirac-Gleichung und Spin: nichtrelativistischer Grenzfall: Unterschied zwischen den Versionen
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<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \underline{\alpha }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)+\beta m+e\phi \right)\Psi ,\quad \hbar =c=1</math> | :<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \underline{\alpha }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)+\beta m+e\phi \right)\Psi ,\quad \hbar =c=1</math> | ||
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\end{align} \right){{e}^{\frac{-\mathfrak{i} m{{c}^{2}}t}{\hbar }}}</math>, mit den 2er Spinoren | \end{align} \right){{e}^{\frac{-\mathfrak{i} m{{c}^{2}}t}{\hbar }}}</math>, mit den 2er Spinoren | ||
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Beachte das jetzt überall <math>\varphi =\varphi \left( \underline{x},t \right)</math>gilt | Beachte das jetzt überall <math>\varphi =\varphi \left( \underline{x},t \right)</math>gilt | ||
Jetzt: Näherung/Annahme das kinetische und potentielle Energie viel kleiner als Ruhemasse <math>m{{c}^{2}}</math> ist | Jetzt: Näherung/Annahme das <u>kinetische und potentielle Energie viel kleiner als Ruhemasse</u> <math>m{{c}^{2}}</math> ist | ||
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& mc{{\chi }^{2}}\gg \left| i\hbar {{\partial }_{t}}\chi \right|,\quad mc{{\chi }^{2}}\gg \left| e\phi \varphi \right| \\ | & mc{{\chi }^{2}}\gg \left| i\hbar {{\partial }_{t}}\chi \right|,\quad mc{{\chi }^{2}}\gg \left| e\phi \varphi \right| \\ | ||
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<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
\left( \underline{\sigma }\underline{A} \right)\left( \underline{\sigma }\underline{B} \right)=\underline{A}\underline{B}\underline{\underline{1}}+\mathfrak{i} \underline{\sigma }\left( \underline{A}\times \underline{B} \right) \\ | |||
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mit | |||
:<math>\begin{align} | |||
\underline{A}=\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}} \right),\underline{B}=\left( {{B}_{1}},{{B}_{2}},{{B}_{3}} \right),\underline{A},\underline{B} | |||
\text{ vektorwertiger Operator und} \\ | |||
\ | \underline{\sigma }=\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{1}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{2}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{3}} \right) | ||
\text{Vektor der Pauli-Matrizen} \\ | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
Beweis von (1.41) mittels (Anti) {{FB|Kommutator-Eigenschaften}} | Beweis von (1.41) mittels (Anti) {{FB|Kommutator-Eigenschaften}} | ||
<font color="# | <font color="#3399FF">'''''(AUFGABE)'''''</FONT> | ||
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<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \left\{ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right\}:={{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}+{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\underline{\underline{1}} \\ | & \left\{ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right\}:={{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}+{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\underline{\underline{1}} \\ | ||
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Es gilt weiterhin <font color="# | Es gilt weiterhin <font color="#3399FF">(AUFGABE)</FONT>, beachte <math>\underline{p}=\frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\underline{\nabla }</math> und <math>\underline{A}=\underline{A}\left( \underline{x},t \right)</math> | ||
{{NumBlk|:| <math>\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)\times \left( \underline{p}-e\underline{A} \right)=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{\left( \underline{\nabla }\times \underline{A} \right)}_{\text{Magnetfeld}}=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{{\underline{B}}}_{\text{Magnetfeld}}</math> |(1.43)|RawN=.}} | {{NumBlk|:| <math>\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)\times \left( \underline{p}-e\underline{A} \right)=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{\left( \underline{\nabla }\times \underline{A} \right)}_{\text{Magnetfeld}}=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{{\underline{B}}}_{\text{Magnetfeld}}</math> |(1.43)|RawN=.}} | ||
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==siehe auch== | |||
==Literatur== | [[Der_nichtrelativistische_Grenzfall#Nichtrelativistische_Näherung:]] | ||
<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: GREINER'''</FONT> | <noinclude>==Literatur== | ||
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Aktuelle Version vom 24. September 2010, 14:25 Uhr
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes
Der Artikel Dirac-Gleichung und Spin: nichtrelativistischer Grenzfall basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 5) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes. |
Mit (Vektor) Potential haben wir die Dirac-Gleichung als
(1.37)
Jetzt erfolgt die Zerlegung , mit den 2er Spinoren
Damit folgt dann
(1.38)
Beachte das jetzt überall gilt
Jetzt: Näherung/Annahme das kinetische und potentielle Energie viel kleiner als Ruhemasse ist
(1.39)
einsetzen in die Gleichung (1.38) liefert
(1.40)
Jetzt folgendes „Theorem“ benutzen
(1.41)
mit
Beweis von (1.41) mittels (Anti) Kommutator-Eigenschaften (AUFGABE)
(1.42)
Es gilt weiterhin (AUFGABE), beachte und
(1.43)
Mit (1.43) folgt aus (1.41) die Kopplung von Spin und Magnetfeld
Pauli-Gleichung
(1.44)
mit dem 2-Komponentigen Spinor
siehe auch
Der_nichtrelativistische_Grenzfall#Nichtrelativistische_Näherung:
Literatur
LITERATUR: GREINER