Eichinvarianz

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Eichinvarianz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 6) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Eichinvarianz	Die Maxwell-Gleichungen	Elektrodynamik Schöll
	TCP- Invarianz Maxwell- Gleichungen im Vakuum Induktionsgesetz Energiebilanz Impulsbilanz Eichinvarianz	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Die Felder ${\bar {E}},{\bar {B}}$ werden durch die Potenziale $\Phi \left({\bar {r}},t\right),{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)$ dargestellt.:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}=-\nabla \Phi \left({\bar {r}},t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\\&{\bar {B}}=\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\\\end{aligned}}$

Dabei drängt sich die Frage auf, welche die allgemeinste Transformation

${\begin{aligned}&\Phi \left({\bar {r}},t\right)\to \Phi {\acute {\ }}\left({\bar {r}},t\right)\\&{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\to {\bar {A}}{\acute {\ }}\left({\bar {r}},t\right)\\\end{aligned}}$

ist, welche die Felder E und B unverändert läßt.

Also:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}=-\nabla \Phi \left({\bar {r}},t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-\nabla \Phi {\acute {\ }}\left({\bar {r}},t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}{\acute {\ }}\left({\bar {r}},t\right)\\&{\bar {B}}=\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=\nabla \times {\bar {A}}{\acute {\ }}\left({\bar {r}},t\right)\\&\Rightarrow {\bar {A}}{\acute {\ }}\left({\bar {r}},t\right)={\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)+\nabla G\left({\bar {r}},t\right)\\&\Rightarrow -\nabla \Phi \left({\bar {r}},t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-\nabla \Phi {\acute {\ }}\left({\bar {r}},t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)+\nabla G\left({\bar {r}},t\right)\right)\\&\Rightarrow \nabla \left(\Phi {\acute {\ }}\left({\bar {r}},t\right)-\Phi \left({\bar {r}},t\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}G\left({\bar {r}},t\right)\right)=0\\&\Rightarrow \left(\Phi {\acute {\ }}\left({\bar {r}},t\right)-\Phi \left({\bar {r}},t\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}G\left({\bar {r}},t\right)\right)=g(t)(r-unabh{\ddot {a}}ngig)\\\end{aligned}}$

Mit

${\begin{aligned}&F\left({\bar {r}},t\right):=G\left({\bar {r}},t\right)-\int _{to}^{t}{dt{\acute {\ }}g(t{\acute {\ }})}\\&\Rightarrow {\bar {A}}{\acute {\ }}\left({\bar {r}},t\right)={\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)+\nabla F\left({\bar {r}},t\right)\\&\Phi {\acute {\ }}\left({\bar {r}},t\right)=\Phi \left({\bar {r}},t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}F\left({\bar {r}},t\right)\\\end{aligned}}$

mit eine völlig beliebigen Eichfunktion $F\left({\bar {r}},t\right)$ . Alle physikalischen Aussagen müssen invariant sein ! Aber nicht nur ${\bar {E}},{\bar {B}}$ sondern auch $\Phi \left({\bar {r}},t\right),{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)$ sind physikalisch relevant. So muss auch $\oint \limits _{\partial F}{d{\bar {s}}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=\int _{F}^{}{d{\bar {f}}{\bar {B}}\left({\bar {r}},t\right)=\Phi \left({\bar {r}},t\right)}$ erfüllt sein.

Dies ist gewährleistet, wenn die Maxwellgleichungen erfüllt sind. Durch

${\begin{aligned}&{\bar {E}}=-\nabla \Phi \left({\bar {r}},t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\\&{\bar {B}}=\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\\\end{aligned}}$

sind die homogenen Maxwellgleichungen bereits erfüllt:

${\begin{aligned}&\nabla \times {\bar {E}}=-\nabla \times \nabla \Phi \left({\bar {r}},t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}\\&\nabla \cdot {\bar {B}}=\nabla \cdot \left(\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\right)=0\\\end{aligned}}$

Auch die Umkehrung gilt:

${\begin{aligned}&\nabla \cdot {\bar {B}}=0\\&\Rightarrow \exists {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\Rightarrow \nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)={\bar {B}}\\&\nabla \times {\bar {E}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}=-\nabla \times {\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\Rightarrow \nabla \times \left({\bar {E}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\right)=0\\&\Rightarrow \exists \Phi \left({\bar {r}},t\right)\Rightarrow {\bar {E}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-\nabla \Phi \left({\bar {r}},t\right)\\\end{aligned}}$

Wähle nun eine Eichung derart, dass die inhomogenen Maxwellgleichungen besonders einfach werden

Ziel: Entkopplung der DGLs für ${\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right),\Phi \left({\bar {r}},t\right)$

1. Lorentz- Eichung:

$\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}\Phi \left({\bar {r}},t\right)=0$

Genau dadurch werden die Feldgleichungen entkoppelt: 1) ${\begin{aligned}&-\nabla \cdot {\bar {E}}=\nabla \cdot \left(\nabla \Phi \left({\bar {r}},t\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\right)=-{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}\\&\Delta \Phi \left({\bar {r}},t\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}\\\end{aligned}}$

Was mit Hilfe der Lorentzeichung wird zu

$\Delta \Phi \left({\bar {r}},t\right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}\Phi \left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}$

Für A: 2) ${\begin{aligned}&{\frac {1}{{\mu }_{0}}}\nabla \times {\bar {B}}-{{\varepsilon }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {E}}={\bar {j}}\\&\Rightarrow \nabla \times \left(\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \Phi \left({\bar {r}},t\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\right)={{\mu }_{0}}{\bar {j}}\\&\nabla \times \left(\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\right)=+\nabla \left(\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\right)-\Delta {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\\&\Rightarrow \Delta {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)-\nabla \left(\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}\Phi \left({\bar {r}},t\right)\right)=-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}\\\end{aligned}}$

Was mit der Lorentz- Eichung

$\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}\Phi \left({\bar {r}},t\right)=0$

wird zu

$\Delta {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}$

Dies kann in Viererschreibweise mit dem dÁlembertschen Operator # mit

$\#:=\Delta -{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}$

zusammengefasst werden:

${\begin{aligned}&\#\Phi \left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}\\&\#{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}\\\end{aligned}}$

Dies sind die inhomogenen Wellengleichungen für die Potenziale ( entkoppelt mittels Lorentz- Eichung) Es ergibt sich im SI- System:

${\frac {1}{\sqrt {{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}}}:=c=2,994\cdot {{10}^{8}}{\frac {m}{s}}$ als Lichtgeschwindigkeit

Dies ist einfach die ermittelte Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen im Vakuum !

Coulomb- Eichung

( sogenannte Strahlungseichung):

$\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=0$

Vergleiche Kapitel 2.3 ( Magnetostatik): Für

${\begin{aligned}&{\dot {\bar {D}}}=0\\&\Rightarrow \nabla \times {\bar {B}}=\nabla \left(\nabla \cdot {\bar {A}}\right)-\Delta {\bar {A}}={{\mu }_{0}}{\bar {j}}\\\end{aligned}}$

(Poissongleichung der Magnetostatik)

Zerlegung in longitudinale und transversale Anteile :

Allgemein kann man

${\bar {E}}=-\nabla \Phi \left({\bar {r}},t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)$

in ein wirbelfreies Longitudinalfeld:

${{\bar {E}}_{l}}:=-\nabla \Phi \left({\bar {r}},t\right)$

und ein quellenfreies Transversalfeld

${{\bar {E}}_{t}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)$

zerlegen.

Tatsächlich gilt:

$\nabla \times {{\bar {E}}_{l}}:=-\nabla \times \left(\nabla \Phi \left({\bar {r}},t\right)\right)=0$

$\nabla \cdot {{\bar {E}}_{t}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=0$

Da ${\bar {B}}$ quellenfrei ist, ist B auch immer transversal:

$\nabla \cdot {\bar {B}}:=\nabla \cdot \left(\nabla \times {\bar {A}}\right)=0$

Also:

$\Phi \left({\bar {r}},t\right)$ ergibt die longitudinalen Felder und

${\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)$ die transversalen Felder.

Merke: Felder , die Rotation eines Vektorfeldes sind ( Vektorpotenzials) sind grundsätzlich transversaler Natur. (Divergenz verschwindet). Divergenzfelder ( als Gradienten eines Skalars) sind immer longitudinal ! ( Rotation verschwindet).

Zerlegung der Stromdichte:

${\bar {j}}={{\bar {j}}_{l}}+{{\bar {j}}_{t}}$

mit

$\nabla \times {{\bar {j}}_{l}}=0$

$\nabla \cdot {{\bar {j}}_{t}}=0$

Mit

${\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}\rho +\nabla \cdot {{\bar {j}}_{l}}+\nabla \cdot {{\bar {j}}_{t}}=0\\&\rho ={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {{\bar {E}}_{l}}\\&\nabla \cdot {{\bar {j}}_{t}}=0\\&\Rightarrow \nabla \cdot \left({{\bar {j}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {E}}_{l}}\right)=0\\\end{aligned}}$

Außerdem gilt nach der Definition von longitudinal:

$\nabla \times \left({{\bar {j}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {E}}_{l}}\right)=0$

Also:

$\left({{\bar {j}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {E}}_{l}}\right)=const$

Da beide Felder aber für r-> 0 verschwinden folgt:

$\left({{\bar {j}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {E}}_{l}}\right)=0$

Also:

${{\bar {j}}_{l}}={{\varepsilon }_{0}}\nabla {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}$

Also: Die Feldgleichungen

${\begin{aligned}&\Delta \Phi +{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot {\bar {A}}=-{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}\\&\nabla \cdot {\bar {A}}=0\\&\Rightarrow \Delta \Phi =-{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}\\\end{aligned}}$

und

${\begin{aligned}&\Delta {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)-\nabla \left(\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}\Phi \left({\bar {r}},t\right)\right)=-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}\\&\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=0\\&\nabla {{\varepsilon }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}\Phi \left({\bar {r}},t\right)={{\bar {j}}_{l}}\\\end{aligned}}$

erhalten dann die Form:

$\Delta \Phi =-{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}$

und

${\begin{aligned}&\#{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{{\mu }_{0}}{{\bar {j}}_{t}}\\&\\\end{aligned}}$

In der Coulomb- Eichung ! Also.

$\Delta \Phi =-{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}$

longitudinale Felder entsprechend der Elektrostatik

$\#{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{{\mu }_{0}}{{\bar {j}}_{t}}$ als transversale Felder entsprechend elektromagnetischen Wellen.

Das bedeutet : Die Coulombeichung ist zweckmäßig bei Strahlungsproblemen !

Sie liefert eine Poissongleichung für $\Phi$ und eine Wellengleichung für ${\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)$ .