Energiebilanz

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Energiebilanz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 4) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Energiebilanz	Die Maxwell-Gleichungen	Elektrodynamik Schöll
	TCP- Invarianz Maxwell- Gleichungen im Vakuum Induktionsgesetz Energiebilanz Impulsbilanz Eichinvarianz	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Die Maxwell- Gleichungen enthalten die Kontinuitätsgleichung für die elektrische Ladung

${\begin{aligned}&{\dot {\rho }}+\nabla \cdot {\bar {j}}=0\\&{\dot {\rho }}+\nabla \cdot {\bar {j}}=\nabla \cdot \left({\dot {\bar {D}}}+{\bar {j}}\right)=\nabla \cdot \left(\nabla \times {\bar {H}}\right)=0\\\end{aligned}}$

Frage:

Enthalten die Maxwell- Gleichungen weitere Erhaltungssätze für extensive physikalische Observablen, wie Energie, Impuls, Drehimpuls. ( Extensiv: Additiv bei Systemzusammensetzung)

Energietransport durch das elektromagnetische Feld:

${\begin{aligned}&{{\nabla }_{r}}\times {\bar {E}}+{\dot {\bar {B}}}=0\left.{}\right|\cdot {\bar {H}}\\&\nabla \times {\bar {H}}-{\dot {\bar {D}}}={\bar {j}}\left.{}\right|\cdot {\bar {E}}\\&\Rightarrow {\bar {H}}\cdot \left(\nabla \times {\bar {E}}\right)-{\bar {E}}\cdot \left(\nabla \times {\bar {H}}\right)+{\bar {H}}\cdot {\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}+{\bar {E}}\cdot {\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}=-{\bar {j}}\cdot {\bar {E}}\\&{\bar {H}}\cdot \left(\nabla \times {\bar {E}}\right)-{\bar {E}}\cdot \left(\nabla \times {\bar {H}}\right)=\nabla \cdot \left({\bar {E}}\times {\bar {H}}\right)\\&{\bar {H}}\cdot {\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}={\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{2{{\mu }_{0}}}}{{\bar {B}}^{2}}\right)\\&{\bar {E}}\cdot {\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}={{\varepsilon }_{0}}{\bar {E}}\cdot {\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {E}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {{\varepsilon }_{0}}{2}}{{\bar {E}}^{2}}\right)\\\end{aligned}}$

Also:

${\frac {\partial }{\partial t}}w+\nabla \cdot {\bar {S}}=-{\bar {j}}\cdot {\bar {E}}$

Als Kontinuitätsgleichung ( Bilanzgleichung) für den Energietransport

mit

$w:={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{2{{\mu }_{0}}}}{{\bar {B}}^{2}}\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {{\varepsilon }_{0}}{2}}{{\bar {E}}^{2}}\right)={\frac {1}{2}}\left({\bar {E}}\cdot {\bar {D}}+{\bar {B}}\cdot {\bar {H}}\right)$

Als Energiedichte des elektromagnetischen Feldes Remember:

Elektrostatik:

${\frac {1}{2}}{\bar {E}}\cdot {\bar {D}}$

Magnetostatik:

${\frac {1}{2}}{\bar {B}}\cdot {\bar {H}}$

${\bar {S}}:={\bar {E}}\times {\bar {H}}$ als Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes ( Poynting- Vektor)

$\sigma =-{\bar {j}}\cdot {\bar {E}}$ als Quelldichte der Feldenergie ( Leistungsdichte)

${\bar {j}}\cdot {\bar {E}}>0$ bedingt die Abnahme der Feldenergie bei $({\bar {r}},t)$

${\bar {j}}\cdot {\bar {E}}<0$ bedingt die Zunahme der Feldenergie bei $({\bar {r}},t)$

Beispiel: Beschleunigung von Teilchen durch die Felder ${\bar {E}},{\bar {B}}$

Kraft auf die Ladung q: ${\bar {F}}=q\left({\bar {E}}+{\bar {v}}\times {\bar {B}}\right)$

Kraftdichte: ${\bar {f}}=\rho \left({\bar {E}}+{\bar {v}}\times {\bar {B}}\right)$

Als Leistungsdichte der Felder auf die Ladungsdichte $\rho$ folgt:

${\begin{aligned}&{\bar {f}}{\bar {v}}=\rho {\bar {v}}\left({\bar {E}}+{\bar {v}}\times {\bar {B}}\right)=\rho {\bar {v}}{\bar {E}}+\rho {\bar {v}}\left({\bar {v}}\times {\bar {B}}\right)\\&\rho {\bar {v}}\left({\bar {v}}\times {\bar {B}}\right)=0\\&\Rightarrow {\bar {f}}{\bar {v}}=\rho {\bar {v}}{\bar {E}}={\bar {j}}{\bar {E}}\\\end{aligned}}$

Das Magnetfeld leistet keine Arbeit, da die Kraft senkrecht auf die Geschwindigkeit steht

Es verbleibt die Kraftdichte, die vom Feld auf Ladungen übertragen wird ( sogenannte Verlustdichte der Feldenergie)

Also ist die Feldenergie keine Erhaltungsgröße !!

Beispiel: Ohmsches Gesetz:

$\sigma \cdot {\bar {E}}={\bar {j}}$ mit der konstanten LEITFÄHIGKEIT $\sigma >0$ ( nicht wie oben Oberflächenladungsdichte)

Das Ohmsche Gesetz ist ein phänomenologisches MATERIALGESETZ. Es gilt in Metallen und Halbleitern für hinreichend kleine Felder ${\bar {E}}$

Die Energiebilanz lautet:

${\frac {\partial }{\partial t}}w+\nabla \cdot {\bar {S}}=-\sigma \cdot {{\bar {E}}^{2}}<0$

Das heißt: Es gibt stets den VERLUST von Feldenergie ! Eine Konsequenz des 2. Hauptsatz der Thermodynamik Im Gegensatz zur Elektrodynamik ist das Ohmsche Gesetz also nicht zeitumkehrinvariant !

Das bedeutet:

${\begin{aligned}&t\to -t\\&{\bar {j}}\to -{\bar {j}}\\&aber\\&{\bar {E}}\to {\bar {E}}\\\end{aligned}}$

$\sigma \cdot {{\bar {E}}^{2}}>0$ wird dann als Joulsche Wärme im Leiter dissipiert

2. Beispiel:

Antennenstrahlung ( offenes System)

${\bar {j}}$ in der metallischen Antenne ist dem Wechselfeld ${\bar {E}}$ außerhalb entgegengesetzt.

$\Rightarrow {\bar {j}}{\bar {E}}<0$

$\Rightarrow$ Energiegewinn des Feldes