Maxwell- Gleichungen im Vakuum

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Maxwell- Gleichungen im Vakuum basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 2) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Maxwell- Gleichungen im Vakuum	Die Maxwell-Gleichungen	Elektrodynamik Schöll
	TCP- Invarianz Maxwell- Gleichungen im Vakuum Induktionsgesetz Energiebilanz Impulsbilanz Eichinvarianz	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Die Forderungen an dynamische Gleichungen für zeitartige Felder

${\bar {E}}({\bar {r}},t),{\bar {B}}({\bar {r}},t)$

lauten: 1) im quasistatischen Grenzfall sollen die statischen MWGl herauskommen:

${\begin{aligned}&{{\nabla }_{r}}\times {\bar {E}}=0\\&{{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {E}}-\rho =0\\&{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {B}}=0\\&\nabla \times {\bar {B}}-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}=0\\\end{aligned}}$

2) die Gleichungen sollen linear in

${\bar {E}}({\bar {r}},t),{\bar {B}}({\bar {r}},t)$

sein, um das Superpositionsprinzip zu erfüllen ! Die Gleichungen sollen 1. Ordnung in t sein ( um das Kausalitätsprinzip zu erfüllen !)

Die linke Seite der Maxwellgleichungen ( oben) soll zur Zeit t=0 den Zustand für t> 0 vollständig festlegen !!

Somit sind

${\begin{aligned}&{{\nabla }_{r}}\times {\bar {E}}={{a}_{1}}{\dot {\bar {E}}}+{{b}_{1}}{\dot {\bar {B}}}\\&\nabla \times {\bar {B}}-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}={{a}_{2}}{\dot {\bar {E}}}+{{b}_{2}}{\dot {\bar {B}}}\\&{{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {E}}-\rho =0\\&{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {B}}=0\\\end{aligned}}$

Dies sind 6 Vektorgleichungen, die

${\bar {E}}({\bar {r}},t),{\bar {B}}({\bar {r}},t)$

für t> 0 festlegen und 2 skalare Gleichungen

3) Wir fordern TCP- Invarianz:

${\begin{aligned}&{{T}_{g}}oder\ {{P}_{g}}\Rightarrow {{a}_{1}}=0\\&{{T}_{u}}oder\ {{P}_{u}}\Rightarrow {{b}_{2}}=0\\\end{aligned}}$

Also bleibt:

${\begin{aligned}&{{\nabla }_{r}}\times {\bar {E}}={{b}_{1}}{\dot {\bar {B}}}\\&\nabla \times {\bar {B}}-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}={{a}_{2}}{\dot {\bar {E}}}\\&{{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {E}}-\rho =0\\&{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {B}}=0\\\end{aligned}}$

4) Ladungserhaltung:

${\begin{aligned}&0={\frac {\partial }{\partial t}}\left({{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {E}}-\rho \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot {\dot {\bar {E}}}-{\dot {\rho }}={\frac {{\varepsilon }_{0}}{{a}_{2}}}\nabla \cdot \left(\nabla \times {\bar {B}}-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}\right)-{\dot {\rho }}\\&{\frac {{\varepsilon }_{0}}{{a}_{2}}}\nabla \cdot \nabla \times {\bar {B}}=0\\&\Rightarrow {\frac {{\varepsilon }_{0}}{{a}_{2}}}\nabla \cdot \left({{\mu }_{0}}{\bar {j}}\right)-{\dot {\rho }}=0\\&\Rightarrow {{a}_{2}}={{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\\\end{aligned}}$

Unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung ! Somit ( vergl. S. 32, §2.3 folgt die Verschiebungsstromdichte

${{\varepsilon }_{0}}{\dot {\bar {E}}}$

5) Lorentzkraft

${\bar {F}}=q{\bar {v}}\times {\bar {B}}$

soll aus einem Extremalprinzip, ergo dem Hamiltonschen Prinzip ableitbar sein. Suche also eine Lagrange- Funktion

$L({\bar {r}},{\bar {v}},t)$

so dass die Lagrangegleichung

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L({\bar {r}},{\bar {v}},t)}{\partial {{v}_{k}}}}\right)-{\frac {\partial L({\bar {r}},{\bar {v}},t)}{\partial {{x}_{k}}}}=0$

die nichtrelativistische Bewegungsgleichung

$m{\ddot {\bar {r}}}=q\left[{\bar {E}}({\bar {r}},t)+{\bar {v}}\times {\bar {B}}({\bar {r}},t)\right]$

ergibt !

Lösung:

$L={\frac {m}{2}}{{v}^{2}}+q\left[{\bar {v}}{\bar {A}}({\bar {r}},t)-\Phi ({\bar {r}},t)\right]$

Tatsächlich gilt

${{p}_{k}}={\frac {\partial L({\bar {r}},{\bar {v}},t)}{\partial {{v}_{k}}}}=m{{v}_{k}}+q{{A}_{k}}({\bar {r}},t)$

= kanonischer Impuls

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L({\bar {r}},{\bar {v}},t)}{\partial {{v}_{k}}}}=m{{\ddot {x}}_{k}}+q{\frac {d}{dt}}{{A}_{k}}({\bar {r}},t)$

Dabei ist die Zeitableitung von A als totales Differenzial entlang einer Bahn

${\bar {r}}$

zu sehen !

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L({\bar {r}},{\bar {v}},t)}{\partial {{v}_{k}}}}=m{{\ddot {x}}_{k}}+q\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{A}_{k}}({\bar {r}},t)+{\frac {\partial {{A}_{k}}({\bar {r}},t)}{\partial {{x}_{l}}}}{\frac {\partial {{x}_{l}}}{\partial t}}\right)=m{{\ddot {x}}_{k}}+q\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\bar {v}}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}({\bar {r}},t)\\&{\frac {\partial L({\bar {r}},{\bar {v}},t)}{\partial {{x}_{k}}}}=q\left[{\frac {\partial }{\partial {{x}_{k}}}}\left({\bar {v}}{\bar {A}}\right)-{\frac {\partial }{\partial {{x}_{k}}}}\Phi \right]\\&\Rightarrow 0={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L({\bar {r}},{\bar {v}},t)}{\partial {{v}_{k}}}}-{\frac {\partial L({\bar {r}},{\bar {v}},t)}{\partial {{x}_{k}}}}=m{{\ddot {x}}_{k}}+q\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\bar {v}}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}({\bar {r}},t)-q\left[{\frac {\partial }{\partial {{x}_{k}}}}\left({\bar {v}}{\bar {A}}\right)-{\frac {\partial }{\partial {{x}_{k}}}}\Phi \right]\\&=m{{\ddot {x}}_{k}}+q{\frac {\partial }{\partial t}}{{A}_{k}}({\bar {r}},t)+q\left[\left({\bar {v}}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}({\bar {r}},t)-{\frac {\partial }{\partial {{x}_{k}}}}\left({\bar {v}}{\bar {A}}\right)\right]+q{\frac {\partial }{\partial {{x}_{k}}}}\Phi \\&\left[\left({\bar {v}}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}({\bar {r}},t)-{\frac {\partial }{\partial {{x}_{k}}}}\left({\bar {v}}{\bar {A}}\right)\right]=-{{\left[{\bar {v}}\times \left(\nabla \times {\bar {A}}\right)\right]}_{k}}\\&\Rightarrow 0=m{\ddot {\bar {r}}}+q{\frac {\partial }{\partial t}}A({\bar {r}},t)-q\left[{\bar {v}}\times \left(\nabla \times {\bar {A}}\right)\right]+q\nabla \Phi =m{\ddot {\bar {r}}}+q\left[{\frac {\partial }{\partial t}}A({\bar {r}},t)+\nabla \Phi -\left[{\bar {v}}\times \left(\nabla \times {\bar {A}}\right)\right]\right]\\\end{aligned}}$

Vergleich mit der Lorentzkraft liefert:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}({\bar {r}},t)=-{\frac {\partial }{\partial t}}A({\bar {r}},t)-\nabla \Phi \\&{\bar {B}}({\bar {r}},t)=\nabla \times A({\bar {r}},t)\\\end{aligned}}$

und:

${\begin{aligned}&\nabla \times {\bar {E}}({\bar {r}},t)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times A({\bar {r}},t)-\nabla \times \nabla \Phi \\&\nabla \times A({\bar {r}},t)={\bar {B}}({\bar {r}},t)\\&\nabla \times \nabla \Phi =0\\&\Rightarrow {{b}_{1}}=-1\\\end{aligned}}$

Vollständige ( zeitabhängige) Maxwellgleichungen im Vakuum

mit den neuen Feldgrößen

${\bar {D}}({\bar {r}},t):={{\varepsilon }_{0}}{\bar {E}}({\bar {r}},t)$

dielektrische Verschiebung und

${\bar {H}}({\bar {r}},t):={\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}({\bar {r}},t)$

, Magnetfeld ergibt sich:

${\begin{aligned}&{{\nabla }_{r}}\times {\bar {E}}+{\dot {\bar {B}}}=0\\&{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {B}}=0\\&{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {D}}=\rho \\&{{\nabla }_{r}}\times {\bar {H}}-{\dot {\bar {D}}}={\bar {j}}\\\end{aligned}}$

Dabei sind

${\begin{aligned}&{{\nabla }_{r}}\times {\bar {E}}+{\dot {\bar {B}}}=0\\&{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {B}}=0\\\end{aligned}}$

die homogenen Gleichungen, die die Wechselwirkung einer Punktladung mit gegebenen Feldern

${\bar {E}},{\bar {B}}$

beschreiben und

${\begin{aligned}&{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {D}}=\rho \\&{{\nabla }_{r}}\times {\bar {H}}-{\dot {\bar {D}}}={\bar {j}}\\\end{aligned}}$

die inhomogenen Gleichungen, die Erzeugung der Felder

${\bar {D}},{\bar {H}}$

durch gegebene Ladungen und Ströme

Im Gauß- System:

${\begin{aligned}&{{\nabla }_{r}}\times {\bar {E}}+{\frac {1}{c}}{\dot {\bar {B}}}=0\\&{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {B}}=0\\&{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {E}}=4\pi \rho \\&{{\nabla }_{r}}\times {\bar {B}}-{\dot {\bar {E}}}={\frac {4\pi }{c}}{\bar {j}}\\\end{aligned}}$

Mit

${\begin{aligned}&{\bar {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}-\nabla \Phi \\&{\bar {B}}=\nabla \times {\bar {A}}\\&{\bar {D}}={\bar {E}}\\&{\bar {H}}={\bar {B}}\\\end{aligned}}$

im Vakuum !