Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen: Unterschied zwischen den Versionen
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& \left\langle \alpha \acute{\ } | & \left\langle \alpha \acute{\ } | \alpha \right\rangle ={{\delta }_{\alpha \acute{\ }\alpha }} \\ | ||
& \sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right|=1 \\ | & \sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right|=1 \\ | ||
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\end{align}</math> Orthonormierung und Vollständigkeit | \end{align}</math> Orthonormierung und Vollständigkeit | ||
<math>\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | <math>\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle </math> Entwicklung | ||
<math>\left\langle {\bar{r}} | <math>\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle =\Psi \left( {\bar{r}} \right)</math> Ortsdarstellung der Wellenfunktion | ||
====Mikroobservable:==== | ====Mikroobservable:==== | ||
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( Maximalmessung): | ( Maximalmessung): | ||
<math>{{\left| \left\langle \alpha | <math>{{\left| \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}=\left\langle \Psi | \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|{{\hat{P}}_{\alpha }}\left| \Psi \right\rangle ={{P}_{\alpha }}</math> | ||
Erwartungswert von <math>\hat{M}</math> | Erwartungswert von <math>\hat{M}</math> | ||
im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> | im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> | ||
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<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | <math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\alpha \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle \Psi | \alpha \acute{\ } \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle \left\langle \alpha \acute{\ } \right|\hat{M}\left| \alpha \right\rangle </math> | ||
Falls <math>\left| \alpha \right\rangle </math> | Falls <math>\left| \alpha \right\rangle </math> | ||
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& \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \Psi | & \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \Psi | \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle {{M}_{\alpha }}= \\ | ||
& =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{M}_{\alpha }} \\ | & =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{M}_{\alpha }} \\ | ||
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& \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha | & \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha | \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \right|{{{\hat{P}}}_{\Psi }}\hat{M}\left| \alpha \right\rangle :=tr\left( {{{\hat{P}}}_{\Psi }}\hat{M} \right)=tr\left( \hat{M}{{{\hat{P}}}_{\Psi }} \right) \\ | ||
& tr\hat{X}:=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \right|\hat{X}\left| \alpha \right\rangle \\ | & tr\hat{X}:=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \right|\hat{X}\left| \alpha \right\rangle \\ | ||
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'''Satz: '''Die Spur ist invariant bei Basiswechsel: | '''Satz: '''Die Spur ist invariant bei Basiswechsel: | ||
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& tr\hat{X}:=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \right|\hat{X}\left| \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\beta ,\beta \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle \alpha | & tr\hat{X}:=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \right|\hat{X}\left| \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\beta ,\beta \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle \alpha | \beta \right\rangle \left\langle \beta \right|\hat{X}\left| \beta \acute{\ } \right\rangle \left\langle \beta \acute{\ } | \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\beta ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta \right|\hat{X}\left| \beta \acute{\ } \right\rangle \sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \beta \acute{\ } | \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \beta \right\rangle \\ | ||
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# <u>'''QM- Wahrscheinlichkeitsaussagen '''</u>( prinzipielle Unschärfe) | # <u>'''QM- Wahrscheinlichkeitsaussagen '''</u>( prinzipielle Unschärfe) | ||
Wahrscheinlichkeitsamplitude <math>\left\langle \alpha | Wahrscheinlichkeitsamplitude <math>\left\langle \alpha | \Psi \right\rangle </math> | ||
* Zusätzliche Statistik | * Zusätzliche Statistik | ||
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Erwartungswert, qm- Erwartungswert im Zustand <math>\left| \alpha \right\rangle </math> | Erwartungswert, qm- Erwartungswert im Zustand <math>\left| \alpha \right\rangle </math> | ||
<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right|\hat{M}\left| \beta \right\rangle \left\langle \beta | <math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right|\hat{M}\left| \beta \right\rangle \left\langle \beta | \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \beta | \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right|\hat{M}\left| \beta \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta \right|\hat{\rho }\hat{M}\left| \beta \right\rangle </math> | ||
Also: | Also: | ||
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'''Reine Zustände '''-> kohärente Überlagerung von Wahrscheinlichkeitsamplituden: | '''Reine Zustände '''-> kohärente Überlagerung von Wahrscheinlichkeitsamplituden: | ||
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& \left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | & \left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle \\ | ||
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mit den quantenmechanischen Phasen | mit den quantenmechanischen Phasen | ||
<math>\left\langle \Psi | <math>\left\langle \Psi | \alpha \right\rangle ,\left\langle \alpha \acute{\ } | \Psi \right\rangle </math> | ||
* es entstehen sogenannte "Interferenzterme", falls <math>\hat{M}</math> | * es entstehen sogenannte "Interferenzterme", falls <math>\hat{M}</math> | ||
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<math>\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right|=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{\hat{P}}_{\alpha }}</math> | <math>\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right|=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{\hat{P}}_{\alpha }}</math> | ||
<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =tr\left( \hat{M}\hat{\rho } \right)=\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta \right|\hat{M}\left| \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha | <math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =tr\left( \hat{M}\hat{\rho } \right)=\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta \right|\hat{M}\left| \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha | \beta \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}{{P}_{\beta }}\left\langle \beta \right|\hat{M}\left| \beta \right\rangle </math> | ||
* keine quantenmechanischen Interferenzterme ! | * keine quantenmechanischen Interferenzterme ! | ||
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& tr\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta | & tr\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta | \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha | \beta \right\rangle \\ | ||
& \left\langle \alpha | & \left\langle \alpha | \beta \right\rangle ={{\delta }_{\alpha \beta }} \\ | ||
& tr\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}=1 \\ | & tr\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}=1 \\ | ||
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Version vom 11. September 2010, 17:08 Uhr
Der Artikel Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 3) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen | Statistische Begründung der Gleichgewichtsthermodynamik | Thermodynamik und Statistik |
---|---|---|
Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen
Mikrozustände:
Klassischer Zustandsraum mit -> quantenmechanischer Zustandsraum ( Hilbertraum)
Basis (vollständiges ONS): mit
- Orthonormierung und Vollständigkeit
Entwicklung
Ortsdarstellung der Wellenfunktion
Mikroobservable:
Klassische Phasenraumfunktion M:
( Ms kommutieren):
- quantenmechanische Observablen ( Hermitesch):
kommutieren im Allgemeinen nicht !
Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen !
Maximalmessung: Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen
Klassische Messwerte:
- als Eigenwerte im Eigenzustand
Spektraldarstellung:
denn:
Projektionsoperator auf den Zustand Alpha: Observable: Ist das System im Zustand ?
- Projektionsoperator auf
Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung
- heißt reiner Zustand ( Vektorzustand)
Wahrscheinlichkeit für das Resultat im Zustand ( Maximalmessung):
Erwartungswert von im Zustand
Falls Eigenbasis zu
Schreibweise mit Projektor auf Zustand
in einer völlig beliebigen Basis
Satz: Die Spur ist invariant bei Basiswechsel:
Also gleich in Basis Alpha wie Beta !
- Quantenmechanisches Gemisch
Gemengezustand: Vergl. Fick: Grundlagen der Quantentheorie, Kapitel 7
- QM- Wahrscheinlichkeitsaussagen ( prinzipielle Unschärfe)
Wahrscheinlichkeitsamplitude
- Zusätzliche Statistik
- Unvollständige Information über den Mikrozustand des Systems ( z.B., nach einer vollständigen Messung im Zustand
- wird vom Messergebnis nicht Kenntnis genommen !
Basis der Mikrozustände : -> sample set der Zufallsereignisse Wahrscheinlichkeitsverteilung
Erwartungswert, qm- Erwartungswert im Zustand
Also:
mit dem statistischen Operator ( Dichtematrix ):
Überlagerung der Projektoren mit dem statistischen Gewicht !
Summary
Bemerkung:
Reine Zustände -> kohärente Überlagerung von Wahrscheinlichkeitsamplituden:
mit den quantenmechanischen Phasen
- es entstehen sogenannte "Interferenzterme", falls
- nicht diagonal in
Gemisch: Inkohärente Überlagerung von reinen Zuständen:
- keine quantenmechanischen Interferenzterme !
- -> Die statistischen Operatoren nur der reinen Zustände können als Summe über Projektoren geschrieben werden !
Normierung des statistischen Operators:
Darstellung reiner Zustände
Also: für reine Zustände ist der statistische Operator ein Projektor auf diesen reinen Zustand !
einheitliche Darstellung !! Nebenbemerkung
Mathematische Formulierung des Zustandsbegriffs ( klassisch + quantenmechanisch)
Zustand = normiertes, positives lineares Funktional auf der Algebra der Observablen:
reiner Zustand = Extremalpunkt der konvexen menge der Zustände !
Informationsmaße
Shannon- Information:
Nebenbemerkung: ist ( wie alle Operatorfunktionen) definiert durch die Spektraldarstellung:
Informationsgewinn:
Eigenschaften wie im klassischen Fall:
Verallgemeinerter kanonischer statistischer Operator
Vorurteilsfreie Schätzung unter Nebenbedingungen
Voraussetzung: Die reinen Zustände haben die gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit ist durch Maximalmessung gegeben !
Nebenbemerkung: Die müssen nicht miteinander kommutieren,
aber
damit sie Erhaltungsgrößen sind ! ( im thermodynamischen Gleichgewicht)
Kanonischer Statistischer Operator:
Übung: Berechnung der Fermi / Boseverteilung
Hilbertraum des großkanonischen statistischen Operators: ( Fock- Raum)