Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Mikrozustände:
Klassischer Zustandsraum mit → quantenmechanischer Zustandsraum (Hilbertraum)
Basis (vollständiges ONS): mit
- Orthonormierung und Vollständigkeit
- Entwicklung
- Ortsdarstellung der Wellenfunktion
Mikroobservable
Klassische Phasenraumfunktion M: (Ms kommutieren):
→ quantenmechanische Observablen (Hermitesch):
- kommutieren im Allgemeinen nicht!
Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen!
Maximalmessung: Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen
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Klassische Messwerte:
- als Eigenwerte im Eigenzustand
Spektraldarstellung:
denn:
Projektionsoperator auf den Zustand Alpha:
Observable: Ist das System im Zustand
Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung
reine Zustände
- heißt reiner Zustand (Vektorzustand)
Wahrscheinlichkeit für das Resultat im Zustand (Maximalmessung):
Erwartungswert von im Zustand :
Falls Eigenbasis zu :
Schreibweise mit Projektor auf Zustand :
in einer völlig beliebigen Basis
Satz: Die Spur ist invariant bei Basiswechsel:
Also gleich in Basis Alpha wie Beta!
Quantenmechanisches Gemisch
Gemengezustand: Vergl. Fick: Grundlagen der Quantentheorie, Kapitel 7
- QM- Wahrscheinlichkeitsaussagen (prinzipielle Unschärfe)
Wahrscheinlichkeitsamplitude
- Unvollständige Information über den Mikrozustand des Systems (z.B., nach einer vollständigen Messung im Zustand
- wird vom Messergebnis nicht Kenntnis genommen!
Basis der Mikrozustände :
→ sample set der Zufallsereignisse
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Erwartungswert, qm- Erwartungswert im Zustand
Also:
mit dem statistischen Operator (Dichtematrix)
Überlagerung der Projektoren mit dem statistischen Gewicht!
Summary
Bemerkung:
Reine Zustände → kohärente Überlagerung von Wahrscheinlichkeitsamplituden:
mit den quantenmechanischen Phasen
- es entstehen sogenannte "Interferenzterme", falls
- nicht diagonal in
Gemisch: Inkohärente Überlagerung von reinen Zuständen:
- keine quantenmechanischen Interferenzterme!
- → Die statistischen Operatoren nur der reinen Zustände können als Summe über Projektoren geschrieben werden!
Normierung des statistischen Operators:
Darstellung reiner Zustände
Also: für reine Zustände ist der statistische Operator ein Projektor auf diesen reinen Zustand!
einheitliche Darstellung!!
Nebenbemerkung
Mathematische Formulierung des Zustandsbegriffs (klassisch + quantenmechanisch)
Zustand = normiertes, positives lineares Funktional auf der Algebra
der Observablen:
reiner Zustand = Extremalpunkt der konvexen menge der Zustände!
Informationsmaße
Shannon- Information:
Nebenbemerkung:
ist (wie alle Operatorfunktionen) definiert durch die Spektraldarstellung:
Informationsgewinn:
Eigenschaften wie im klassischen Fall:
Verallgemeinerter kanonischer statistischer Operator
Vorurteilsfreie Schätzung unter Nebenbedingungen
Voraussetzung: Die reinen Zustände haben die gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit ist durch Maximalmessung gegeben!
Nebenbemerkung:
Die müssen nicht miteinander kommutieren, aber damit sie Erhaltungsgrößen sind! (im thermodynamischen Gleichgewicht)
Kanonischer Statistischer Operator:
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Übung:
Berechnung der Fermi / Boseverteilung
Hilbertraum des großkanonischen statistischen Operators:
(Fock- Raum)