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| Wir starten von | | Wir starten von |
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| {{NumBlk|:| <math>i{{\partial }_{t}}\Psi =\left( \underline{a}.\underline{\hat{p}}+\beta m \right)\Psi </math> | | {{NumBlk|:|<math>i{{\partial }_{t}}\Psi =\left( \underline{a}.\underline{\hat{p}}+\beta m \right)\Psi </math>|(1.45)|RawN=.}} |
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| |(1.45)|RawN=.}}
| | # Kontinuitätsgleichung mit <math>{{\Psi }^{+}}</math>(1.45) und (1.45)+<math>\Psi </math> |
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| *# Kontinuitätsgleichung mit <math>{{\Psi }^{+}}</math>(1.45) und (1.45)+<math>\Psi </math>
| | :<math>\begin{align} |
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| <math>\begin{align} | |
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| & \mathfrak{i} {{\Psi }^{+}}\dot{\Psi }\quad ={{\Psi }^{+}}\left( \underline{\alpha }.\hat{\underline{p}}+\beta m \right)\Psi \\ | | & \mathfrak{i} {{\Psi }^{+}}\dot{\Psi }\quad ={{\Psi }^{+}}\left( \underline{\alpha }.\hat{\underline{p}}+\beta m \right)\Psi \\ |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| mit der {{FB|Wahrscheinlichkeitsdichte}} ρ und der {{FB|Wahrscheinlichkeitsstromdichte}} j<sub>k.</sub> | | :mit der {{FB|Wahrscheinlichkeitsdichte}} ρ und der {{FB|Wahrscheinlichkeitsstromdichte}} j<sub>k.</sub> |
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| {{NumBlk|:| | | {{NumBlk|:| |
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| : |(1.47)|RawN=.}} | | : |(1.47)|RawN=.}} |
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| Die Wahrscheinlichkeitsdichte setzt sich aus den 4 Komponenten des Spinors <math>\Psi </math> zusammen. | | :Die Wahrscheinlichkeitsdichte setzt sich aus den 4 Komponenten des Spinors <math>\Psi </math> zusammen. |
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| *# Lorentz-Invarianz
| | #<li value="2"> Lorentz-Invarianz</li> |
| Umdefinieren der Matrizen <math>{{\underline{\underline{\alpha }}}_{k}},\underline{\underline{\beta }}</math>als | | Umdefinieren der Matrizen <math>{{\underline{\underline{\alpha }}}_{k}},\underline{\underline{\beta }}</math>als |
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| -{{\sigma }_{k}} & 0 \\ | | -{{\sigma }_{k}} & 0 \\ |
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| \end{matrix} \right)</math> | | \end{matrix} \right)</math> |(1.48)|RawN=.}} |
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| : |(1.48)|RawN=.}}
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| {{NumBlk|:| | | {{NumBlk|:| |
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| (z.B. <math>{{\gamma }^{k}}{{\gamma }^{j}}+{{\gamma }^{j}}{{\gamma }^{k}}=\beta {{\alpha }_{k}}\beta {{\alpha }_{j}}+\beta {{\alpha }_{j}}\beta {{\alpha }_{k}}\underbrace{=}_{1.32}-{{\alpha }_{k}}{{\beta }^{2}}{{\alpha }_{j}}-{{\alpha }_{j}}{{\beta }^{2}}{{\alpha }_{k}}=-2{{\delta }_{jk}}</math>) | | (z.B. <math>{{\gamma }^{k}}{{\gamma }^{j}}+{{\gamma }^{j}}{{\gamma }^{k}}=\beta {{\alpha }_{k}}\beta {{\alpha }_{j}}+\beta {{\alpha }_{j}}\beta {{\alpha }_{k}}\underbrace{=}_{1.32}-{{\alpha }_{k}}{{\beta }^{2}}{{\alpha }_{j}}-{{\alpha }_{j}}{{\beta }^{2}}{{\alpha }_{k}}=-2{{\delta }_{jk}}</math>) |
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| <u>Relativistische Notation:</u>
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| | == Relativistische Notation == |
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| kontravarianter Vierervektor{{FB|Vierervektor}} mit Index oben | | kontravarianter Vierervektor{{FB|Vierervektor}} mit Index oben |
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| \end{matrix} \right)</math>. | | \end{matrix} \right)</math>. |
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| * Invarianz von <math>{{x}_{\mu }}{{x}^{\mu }}</math>unter Lorentz-Transformationen: | | * Invarianz von <math>{{x}_{\mu }}{{x}^{\mu }}</math>unter Lorentz-Transformationen: |
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| (Hier ohne Vektorpotential, mit Vektorpotential A analog, vgl. Rollnik II) | | (Hier ohne Vektorpotential, mit Vektorpotential A analog, vgl. Rollnik II) |
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| <u>''Lorentz''-Transformation</u>
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| | == ''Lorentz''-Transformation == |
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| Koordinaten <math>x{{'}^{\mu }}={{L}^{\mu }}_{\nu }{{x}^{\nu }}</math> | | Koordinaten <math>x{{'}^{\mu }}={{L}^{\mu }}_{\nu }{{x}^{\nu }}</math> |
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| <math>\gamma {{'}^{\nu }}={{\gamma }^{\nu }}</math> | | <math>\gamma {{'}^{\nu }}={{\gamma }^{\nu }}</math> |
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| Also muss gelten | | Also muss gelten |
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| <math>\left( \mathfrak{i} \gamma {{'}^{\nu }}\partial {{'}_{\nu }}-m' \right)\Psi '=0\Rightarrow \left( \mathfrak{i} {{\gamma }^{\nu }}{{\left( {{L}^{-1}} \right)}^{\mu }}_{\nu }{{\partial }_{\mu }}-m \right)S\Psi =0</math> | | <math>\left( \mathfrak{i} \gamma {{'}^{\nu }}\partial {{'}_{\nu }}-m' \right)\Psi '=0\Rightarrow \left( \mathfrak{i} {{\gamma }^{\nu }}{{\left( {{L}^{-1}} \right)}^{\mu }}_{\nu }{{\partial }_{\mu }}-m \right)S\Psi =0</math> |
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| Multiplikation von S<sup>-1</sup> von links | | Multiplikation von S<sup>-1</sup> von links |
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| |(1.60)|RawN=.}} | | |(1.60)|RawN=.}} |
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| Berechnung <font color="#FFFF00">'''''(AUFGABE)''''' </font>ergibt | | Berechnung <font color="#33FF99">'''''(AUFGABE)''''' </font>ergibt |
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| {{NumBlk|:| <math>S\left( \beta \right)=\cosh \frac{\beta }{2}+\sinh \left( \frac{\beta }{2} \right){{\underline{\underline{\gamma }}}^{1}}{{\underline{\underline{\gamma }}}^{0}}</math> | | {{NumBlk|:| <math>S\left( \beta \right)=\cosh \frac{\beta }{2}+\sinh \left( \frac{\beta }{2} \right){{\underline{\underline{\gamma }}}^{1}}{{\underline{\underline{\gamma }}}^{0}}</math> |
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| : |(1.64)|RawN=.}} | | : |(1.64)|RawN=.}} |
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| {{NumBlk|:|Außerdem <font color="#FFFF00">'''''(AUFGABE) | | {{NumBlk|:|Außerdem <font color="#3399FF">'''''(AUFGABE) |
| </font>'''''''''''(Vierstrom transformiert sich wie kontravarianter Vektor)<math>j{{'}^{\mu }}={{L}^{\mu }}_{\nu }{{j}^{\nu }}</math> | | </font>'''''''''''(Vierstrom transformiert sich wie kontravarianter Vektor)<math>j{{'}^{\mu }}={{L}^{\mu }}_{\nu }{{j}^{\nu }}</math> |
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| <math>\partial {{'}_{\mu }}j{{'}^{\mu }}=\underbrace{{{\left( {{L}^{-1}} \right)}^{\nu }}_{\mu }{{\partial }_{\nu }}{{L}^{\mu }}_{\alpha }}_{{{\delta }^{\nu }}_{\alpha }}{{j}^{\alpha }}={{\partial }_{\nu }}{{j}^{\nu }}=0</math> | | <math>\partial {{'}_{\mu }}j{{'}^{\mu }}=\underbrace{{{\left( {{L}^{-1}} \right)}^{\nu }}_{\mu }{{\partial }_{\nu }}{{L}^{\mu }}_{\alpha }}_{{{\delta }^{\nu }}_{\alpha }}{{j}^{\alpha }}={{\partial }_{\nu }}{{j}^{\nu }}=0</math> |
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| Lorentz-Invarianz von
| | → |
| | Lorentz-Invarianz von |
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| <math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}</math> | | <math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}</math> |
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes
Wir starten von
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(1.45)
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- Kontinuitätsgleichung mit (1.45) und (1.45)+
- mit der Wahrscheinlichkeitsdichte ρ und der Wahrscheinlichkeitsstromdichte jk.
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(1.46)
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(Kontinuitätsgleichung)
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(1.47)
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- Die Wahrscheinlichkeitsdichte setzt sich aus den 4 Komponenten des Spinors zusammen.
- Lorentz-Invarianz
Umdefinieren der Matrizen als
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(1.48)
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(1.49)
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(z.B. )
Relativistische Notation
kontravarianter VierervektorVierervektor mit Index oben
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(1.50)
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kovarianter Vierervektor mit Index unten (kow steht below)
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(1.51)
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- Das relativistische Skalarprodukt
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(1.52)
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bleibt invariant unter Lorentz-Transformation.
- Metrischer Tensor
- in der SRT der selbe überall
- Hoch und Runterziehen
- Lorentz-Transformation wie in (1.11) (Bewegung in x-Richtung)
allgemein
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(1.53)
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hier mit .
- Invarianz von unter Lorentz-Transformationen:
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(1.54)
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Für Vierervektoren, die sich wie der Koordinatenvektor bei Lorentz-Transformation transformieren(1.53), ist Lorentz-invariant.
GradientVierergradient (etc)
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(1.55)
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Die Dirac-Gleichung folgt aus
Dirac-Gleichung
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(1.56)
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- Relativistische Invarianz: Gleiche Form der Dirac-Gleichun in zwei System S,S‘ (die sich gleichförmig gegeneinander bewegen) aber nicht Invarianz der Dgl. gegenüber Lorentz-Transformationen
Es muss also gelten
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(1.57)
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(Hier ohne Vektorpotential, mit Vektorpotential A analog, vgl. Rollnik II)
Lorentz-Transformation
Koordinaten
Ableitung
Wellenfunktion (4er Spinor)
Ruhemasse ist dieselbe
Selbe Ableitung der Dirac-Gleichung
Also muss gelten
Multiplikation von S-1 von links
Vergleich mit (1.57)
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(1.58)
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Wenn (1.58) erfüllt ist, folgt relativistische Invarianz.
- Konstriktion der Matrix S: Für kleine
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(1.59)
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Für beliebige ß durch Exponenten (wichtiger Trick, steckt natürlich tiefere Mathematik dahinter: Liegruppen, Lie-Algebra…)
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(1.60)
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Berechnung (AUFGABE) ergibt
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(1.61)
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- Kontinuitätsgleichung, Viererstromdichte (1.37)
(ViererstromdichteViererstromdichte)
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(1.62)
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(KontinuitätsgleichungKontinuitätsgleichung)
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(1.63)
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Lorentz-Invarianz von : zeige wobei
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(1.64)
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→
Lorentz-Invarianz von