Magnetisierung

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Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Magnetisierung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 2) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Magnetisierung	Materie in elektrischen und magnetischen Feldern	Elektrodynamik Schöll
	Polarisation Magnetisierung Maxwell- Gleichungen in Materie Grenzbedingungen für Felder Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit Wellenausbreitung in Materie Brechung und Reflexion	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Mirkoskopische Ursache für den Magnetismus der Materie sind mikroskopische Kreisströme bzw. mikroskopische magnetische Dipolmomente

$\bar{m}$

a) Für

$\bar{B}=0$

vorhandene, permanente magnetische Momente

$\bar{m}$

werden zur Minimierung der potenziellen Energie

${{W}_{mag.}}=-\bar{m}\bar{B}$

vorzugsweise (entgegen der thermischen Bewegung) parallel zum äußeren B- Feld orientiert. Beispiel: Spin- Bahn- Momente von Elektronen

paramagnetisches Verhalten

durch B können nach dem Faradayschen Induktionsgesetz Kreisströme freier oder gebundener Ladungen induziert werden. Wegen der Lenzschen Regel ist die induzierte Magnetisierung antiparallel zum äußeren B- Feld.

diamagnetisches Verhalten!

Makroskopisch gemittelte Felder

mikroskopische magnetische Dipoldichte: Wie bei Polarisationsdichte:

$\begin{align} & {{{\bar{M}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{m}}}_{i}}(t)\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right) \\ & {{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{p}}}_{i}}(t)\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right)\quad el.Dipoldichte \\ \end{align}$

Mittelung über ein kleines, makroskopisches Volumen

Δ V

$\bar{M}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\bar{M}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)$

makroskopische magnetische Dipoldichte:= Magnetisierung

Ziel: Zusammenhang zwischen der magnetischen Dipoldichte

$\bar{M}\left( \bar{r},t \right)$

und den effektiven Feldern

$\bar{B}$

in der Materie finden. Hierzu zeige man, dass eine Magnetisierungsstromdichte

${{\bar{j}}_{M}}$

als Quelle der Felder eingeführt werden kann:

$\nabla \times {{\bar{B}}_{M}}={{\mu }_{0}}{{\bar{j}}_{M}}$

bzw.

$\nabla \times \bar{M}={{\bar{j}}_{M}}$

effektive Gesamtinduktion (im stationären Fall):

$\begin{align} & \bar{B}\acute{\ }=\bar{B}+{{{\bar{B}}}_{M}} \\ & \Rightarrow \nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\acute{\ } \right)=\nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B} \right)+{{{\bar{j}}}_{M}}=\bar{j}+{{{\bar{j}}}_{M}} \\ \end{align}$

Also: Erzeugung des B- Feldes (Differenz aus effektiver Gesamtinduktion und Magnetisierung) durch den sogenannte freien Strom j :

$\begin{align} & \bar{B}\acute{\ }=\bar{B}+{{{\bar{B}}}_{M}} \\ & \nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\acute{\ }-\bar{M} \right)=\bar{j} \\ & \bar{H}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\acute{\ }-{{{\bar{B}}}_{M}} \right)=\frac{{\bar{B}}}{{{\mu }_{0}}} \\ \end{align}$

Betrachten wir das Vektorpotenzial der mikroskopischen elektrischen und magnetischen Dipole:

$\begin{align} & {{{\bar{A}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\sum\limits_{i}{{}}\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{{{\dot{\bar{p}}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right)+\nabla \times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{{{\bar{m}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right) \right) \right] \\ & {{{\bar{p}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right)\quad elektrDipolmoment \\ & {{{\bar{m}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right)\quad magnetDipolmoment \\ & \Rightarrow {{{\bar{A}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\dot{\bar{p}}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{M}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right) \right] \\ \end{align}$

mit der mikroskopischen elektrischen Dipoldichte

${{\bar{p}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)$

und der magnetischen Dipoldichte

${{\bar{M}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)$

Als makroskopisch gemitteltes Potenzial:

$\begin{align} & \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{{\bar{A}}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right) \\ & =\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\dot{\bar{p}}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{M}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right) \right] \\ & ==\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\dot{\bar{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right) \right] \\ \end{align}$

Wobei nur die makroskopischen Dichten einzusetzen sind (vergleiche oben)

Umformung liefert:

$\begin{align} & \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\dot{\bar{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right) \right] \\ & \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right)= \\ & =-\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right)+\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \\ & t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \\ & \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right)=0 \\ & \Rightarrow \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\dot{\bar{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \right] \\ \end{align}$

Definition

$\begin{align} & \dot{\bar{P}}={{{\bar{j}}}_{p}} \\ & {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)={{{\bar{j}}}_{M}} \\ \end{align}$

Ersteres: Polarisationsstromdichte Letzteres: Magnetisierungsstromdichte

Also:

$\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\left[ {{{\bar{j}}}_{p}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{{\bar{j}}}_{M}}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \right]$

Das heißt, das makroskopisch gemittelte retardierte Vektorpotenzial wird durch die Polarisations- und Magnetisierungsstromdichten im Medium erzeugt!

es gilt der Erhaltungssatz:

$\begin{align} & \frac{\partial }{\partial t\acute{\ }}{{\rho }_{p}}=-\nabla \cdot \dot{\bar{P}}=-\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{p}} \\ & \Rightarrow {{{\dot{\rho }}}_{p}}+\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{p}}=0 \\ \end{align}$

Kontinuitätsgleichung für die Erhaltung der Polarisationsladung!

Fakten zu MagnetisierungRDF-Feed

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Inhaltstyp	Script +
Kapitel	5 +
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