Maxwell- Gleichungen in Materie

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Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Maxwell- Gleichungen in Materie basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 3) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Maxwell- Gleichungen in Materie	Materie in elektrischen und magnetischen Feldern	Elektrodynamik Schöll
	Polarisation Magnetisierung Maxwell- Gleichungen in Materie Grenzbedingungen für Felder Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit Brechung und Reflexion Wellenausbreitung in Materie	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Die vollständigen Potenziale enthalten

die freie Ladungs- und Stromdichten
$\rho ,\bar{j}$
die Polarisations- und Magnetisierungsbeiträge
${{\rho }_{p}},{{\bar{j}}_{p}},{{\bar{j}}_{m}}$

Somit folgt für die vollständigen Potenziale:

$\begin{align} & t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \\ & \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\left[ \bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{{\bar{j}}}_{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{{\bar{j}}}_{M}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right] \\ & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\left[ \rho \left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\rho }_{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right] \\ & \\ \end{align}$

Diese Potenziale sind Lösungen der inhomogenen Wellengleichung in Lorentz- Eichung

$\begin{align} & \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{\acute{\ }0}}\left[ \bar{j}+{{{\bar{j}}}_{P}}+{{{\bar{j}}}_{M}} \right] \\ & \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left[ \rho +{{\rho }_{P}} \right] \\ & \\ \end{align}$

Für die Felder in Materie folgt:

$\begin{align} & \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ & \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ \end{align}$

Daraus folgen die Maxwell- Gleichungen:

$\begin{align} & 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\ & 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\ \end{align}$

Wie im Vakuum

$\begin{align} & 3)\nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi \\ & \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \\ & \Rightarrow \nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi =\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi -\Delta \Phi =-\#\Phi \\ \end{align}$

In Lorentz Eichung!

$\nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi =\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi -\Delta \Phi =-\#\Phi =\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left( \rho +{{\rho }_{p}} \right)=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left( \rho -\nabla \cdot \bar{P} \right)$

per Definition von

ρ p

.

$\begin{align} & \Rightarrow 3)\nabla \cdot \left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}\left( \bar{r},t \right) \right)=\rho \left( \bar{r},t \right) \\ & \left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}\left( \bar{r},t \right) \right):=\bar{D}\left( \bar{r},t \right) \\ & \Rightarrow \nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right) \\ \end{align}$

Die Dielektrische Verschiebung

4) Letzte Gleichung:

$\begin{align} & \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ & \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \\ & \Rightarrow \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\nabla \Phi \\ & \nabla \Phi =-\bar{E}-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ & \Rightarrow \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E} \\ & ={{\mu }_{0}}\left( \bar{j}+{{{\bar{j}}}_{P}}+{{{\bar{j}}}_{M}} \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E} \\ & {{{\bar{j}}}_{P}}=\dot{\bar{P}} \\ & {{{\bar{j}}}_{M}}=\nabla \times \bar{M} \\ & \Rightarrow \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)={{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{P}+{{\varepsilon }_{0}}\bar{E} \right)+{{\mu }_{0}}\nabla \times \bar{M}+{{\mu }_{0}}\bar{j} \\ & \Rightarrow 4) \\ & \Rightarrow \nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-\bar{M} \right)=\bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \\ & \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-\bar{M} \right)=H\left( \bar{r},t \right) \\ & \Rightarrow \nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \\ \end{align}$

Mit dem Magnetfeld

$H\left( \bar{r},t \right)$ ,

welches so definiert wurde, dass es nur durch die FREIEN Ströme erzeugt wird:

Zusammenfassung:

$\begin{align} & 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\ & 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\ \end{align}$

$3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right)$

$4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}$

$4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\bar{j}$

Dabei beschreibt

$\begin{align} & 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\ & 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\ \end{align}$

die Wechselwirkung der Felder mit Probeladungen und

$3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right)$

$4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\bar{j}$

die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme

Weiter:

$\begin{align} & \bar{D}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}\left( \bar{r},t \right) \\ & \bar{H}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-\bar{M}\left( \bar{r},t \right) \\ \end{align}$

Im Gauß System (weil so oft in diesem angegeben, vergl. Jackson):

$\begin{align} & 1)\nabla \times \bar{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=0 \\ & 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\ \end{align}$

$3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=4\pi \rho \left( \bar{r},t \right)$

$4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\frac{4\pi }{c}\bar{j}$

die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme

Weiter:

$\begin{align} & 5)\bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+4\pi \bar{P}\left( \bar{r},t \right) \\ & 6)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)=\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-4\pi \bar{M}\left( \bar{r},t \right) \\ \end{align}$

Unsere 6 Feldgleichungen (wenn man so will, also (es kann nicht oft genug gezeigt werden):

$\begin{align} & 1)\nabla \times \bar{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=0 \\ & 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\ \end{align}$

$3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=4\pi \rho \left( \bar{r},t \right)$

$4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\frac{4\pi }{c}\bar{j}$

$\begin{align} & 5)\bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+4\pi \bar{P}\left( \bar{r},t \right) \\ & 6)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)=\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-4\pi \bar{M}\left( \bar{r},t \right) \\ \end{align}$

sind nicht vollständig. Es muss noch der Zusammenhang zwischen Polarisation und E- Feld, bzw. B- Feld und Magnetisierung angegeben werden. Dies sind die sogenannten " Materialgleichungen".

Einfachster Fall:

isotrope Materie:

$\bar{E}\left( \bar{r},t \right)||\bar{P}\left( \bar{r},t \right)$

und für paramagnetische Stoffe

$\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\uparrow \uparrow \bar{M}\left( \bar{r},t \right)$

für diamagnetische Stoffe:

$\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\uparrow \downarrow \bar{M}\left( \bar{r},t \right)$ ,

also ein skalarer Zusammenhang

bei nicht zu hohen Feldern:

$\bar{E}\tilde{\ }\bar{P}$

$\bar{B}\tilde{\ }\bar{M}$

also ein linearer Zusammenhang

ohne Gedächtniseffekte, keine nichtlokale Wechselwirkung (keine Phasenkohärenzen):

$\bar{E}\left( \bar{r},t \right)\tilde{\ }\bar{P}\left( \bar{r},t \right)$

$\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\tilde{\ }\bar{M}\left( \bar{r},t \right)$

neben der Linearität also ein INSTANTANER, LOKALER Zusammenhang!

Dann kann man schreiben:

$\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\chi }_{e}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)$

$\bar{M}\left( \bar{r},t \right)={{\chi }_{M}}\bar{H}\left( \bar{r},t \right)$

Mit den Suszeptibilitäten, der elektrischen Suszeptibilität

χ e

und der magnetischen Suszeptibilität

χ M

(Materialkonstanten). Die Materialkonstanten müssen aus den mikroskopischen Theorien (z.B. Quantentheorie, Festkörperphysik) abgeleitet werden.

$\bar{D}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}={{\varepsilon }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{e}} \right)\bar{E}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\varepsilon \bar{E}\left( \bar{r},t \right)$ mit $\varepsilon =\left( 1+{{\chi }_{e}} \right)$ ,

der relativen Dielektrizitätskonstante (permittivity)

$\bar{B}={{\mu }_{0}}\left( \bar{H}+\bar{M} \right)={{\mu }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)={{\mu }_{0}}\mu \bar{H}$ mit $\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)=\mu$ ,

der relativen Permeabilität

$\Rightarrow \bar{M}={{\chi }_{M}}\bar{H}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{M}}}{\mu }\bar{B}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}\bar{B}$

Man sagt: Ein Stoff ist paramagnetisch für

$\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}>0$

diamagnetisch für

$\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}<0$

paramagnetisch:

${{\chi }_{M}}>0\Rightarrow \mu >1$ diamagnetisch $0>{{\chi }_{M}}>-1\Rightarrow 0<\mu <1$

Bemerkungen

$\bar{E}\left( \bar{r},t \right)=0\Rightarrow \bar{P}=0$

beschreibt kein Ferroelektrikum

$\bar{B}=0\Rightarrow \bar{M}=0$

kein Ferromagnet

Es gilt stets

χ e > 0

(Dielektrischer Effekt, Polarisierbarkeit → es existiert keine negative Polarisierbarkeit)

${{\chi }_{M}}\begin{matrix} > \\ < \\ \end{matrix}0$

Para- ODER Diamagnet

Ein Term

$\tilde{\ }\bar{B}$ in $\bar{P}$ oder $\tilde{\ }\bar{E}$ in $\bar{M}$

kann gar nicht auftreten, schon wegen des falschen Raumspiegelverhaltens!

$\bar{E}$

ist polarer Vektor,

$\bar{B}$

ist axialer Vektor!

${{\rho }_{P}}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \cdot \bar{P}\left( \bar{r},t \right)$

ist ein Skalar

${{\bar{j}}_{M}}=rot\bar{M}$

ist ein polarer Vektor.

Abweichungen

1)Für anisotrope Kristalle :

$\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\bar{\bar{\chi }}}_{e}}\bar{E}$

drückt den anisotropen Charakter aus mit einem symmetrischen Tensor

${{\bar{\bar{\chi }}}_{e}}$ .

2) für starke Felder gibt es nichtlineare Effekte, die ebenfalls tensoriellen Charakter der Suszeptibilität bedingen:

$\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\left( {{{\bar{\bar{\chi }}}}_{e}}^{(1)}\bar{E}+{{{\bar{\bar{\chi }}}}_{e}}^{(2)}{{{\bar{E}}}^{2}}+{{{\bar{\bar{\chi }}}}_{e}}^{(3)}{{{\bar{E}}}^{3}}+... \right)$

Anwendung: optische Nichtlinearität, Beispiel: optische Bistabilität, optische Schalter:

Für hochfrequente Felder folgt:

$\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }dt\acute{\ }{{\chi }_{e}}\left( \bar{r},\bar{r}\acute{\ },t,t\acute{\ } \right)\bar{E}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)$

(räumliche bzw. zeitliche Dispersion):

$\hat{\bar{P}}\left( \bar{k},\omega \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\hat{\chi }}_{e}}\left( \bar{k},\omega \right)\hat{\bar{E}}\left( \bar{k},\omega \right)$

Fakten zu Maxwell- Gleichungen in MaterieRDF-Feed

Abschnitt	3 +
Inhaltstyp	Script +
Kapitel	5 +
Urheber	Prof. Dr. E. Schöll, PhD +

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