Polarisation

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Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Polarisation basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 1) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Polarisation	Materie in elektrischen und magnetischen Feldern	Elektrodynamik Schöll
	Polarisation Magnetisierung Maxwell- Gleichungen in Materie Grenzbedingungen für Felder Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit Wellenausbreitung in Materie Brechung und Reflexion	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Materie enthält mikroskopische elektrisch geladene Bausteine

freie Ladungsträger

Elektronen in Metallen, Elektronen + Löcher in Halbleitern

Beschleunigung in äußeren Feldern, E- Felder, B- Felder über Ohmsches Gesetz und Lorentz-kraft

$\bar{K}=q\left[ \bar{E}+\left( \bar{v}\times \bar{B} \right) \right]$

elektrische Ströme → Beschreibung der Materialeigenschaften durch die elektrische Leitfähigkeit
$σ$

gebundene Ladungen (In Isolatoren)

Polarisierung im E- Feld

Für E =0 vorhandene mikroskopische Dipole p werden zur Minimierung der potenziellen Energie

Wel.=-p E vorzugsweise (entgegen der zufälligen thermischen Bewegung) parallel zu E orientiert (z.B. bei polarisierten Molekülen, Wasser etc... gut zu beobachten!)

Nicht- polare Atome oder Moleküle werden dann durch E durch Verschiebung der Ladungswolken polarisiert. Es entstehen induzierte elektrische Dipole, die zu E parallel ausgerichtet sind:

$\bar{p}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\rho \left( {\bar{r}} \right)\bar{r}\ne 0$

nach Einschalten des Feldes. Es werden in den Atomen/ Molekülen positive und negative Ladungen getrennt!

Makroskopische räumliche Mittelung

Netto- Ladungen entstehen dadurch an den Grenzflächen

Dies erzeugt im Inneren ein Polarisationsgegenfeld

$\begin{align} & \bar{E}\acute{\ }=\bar{E}+{{{\bar{E}}}_{p}} \\ & {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\acute{\ }={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}+{{\rho }_{P}} \\ \end{align}$

gemäß

${{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {{\bar{E}}_{p}}={{\rho }_{P}}$

Das resultierende Gesamtfeld lautet:

$\begin{align} & \bar{E}\acute{\ }=\bar{E}+{{{\bar{E}}}_{p}} \\ & {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\acute{\ }={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}+{{\rho }_{P}} \\ \end{align}$

Mit der freien Ladungsdichte

${{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}=\rho$

Also:

${{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\acute{\ }=\rho +{{\rho }_{P}}$

Die Polarisation selbst bestimmt sich nach

$\bar{P}\left( \bar{r},t \right):=-{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}_{p}}\left( \bar{r},t \right)$

ein makroskopisches lokales Feld, dessen Quelle Polarisationsladungen sind.

Somit:

$\begin{align} & \nabla \cdot \left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\acute{\ }+\bar{P} \right)=\rho \\ & \nabla \cdot \bar{P}=-{{\rho }_{P}} \\ \end{align}$

Als Dielektrische Verschiebung bezeichnen wir

$\bar{D}(\bar{r},t)=\left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\acute{\ }+\bar{P} \right)$

Dies ist die effektive makroskopische Feldgröße, als dessen Quellen nur noch die freien Ladungen (ohne Polarisationsladungen) auftreten:

$\nabla \cdot \bar{D}=\rho$

Wir bezeichnen mit

$\bar{P}\left( \bar{r},t \right)d\bar{f}=d{{Q}_{P}}$

die Polarisationsladung, die beim Übergang vom unpolarisierten zum polarisierten Zustand durch die Fläche df verschoben wird:

Denn (bei Betrachtung eines Volumens V, das durch df begrenzt ist):

$\oint_{\partial V}{{}}\bar{P}\left( \bar{r},t \right)d\bar{f}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=-\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r}{{\rho }_{P}}$

= Polarisationsladung, die V verläßt!

Zusammenhang mikroskopische elektrische Dipole / makroskopische Größen:

${{\rho }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}(t) \right)$

(mikroskopische Ladungsdichte)

${{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{\bar{p}}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}(t) \right)$

(mikroskopische Dipoldichte) mit:

$\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{p}}}_{i}}}$

Mittelung über ein kleines makroskopisches Volumen

Δ V :

${{\left( \Delta V \right)}^{\frac{1}{3}}}<<$

Längenskala der makroskopischen Dichtevariation

Somit:

$\rho \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)$

(makroskopische Ladungsdichte)

$\bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)$

Also: Die makroskopische Dipoldichte ist GLEICH DER POLARISATION!!

Beweis:

Betrachten wir das mikroskopische retardierte Potenzial:

${{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}$

wobei unter dem Integral die mikroskopische Ladungsdichte einzusetzen ist!

Das makroskopisch gemittelte Potenzial folgt dann gemäß

$\begin{align} & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\ & \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }:=\bar{r}\acute{\ }-\bar{s} \\ & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|} \\ & =\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \\ \end{align}$

Wobei

$\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)=\rho \left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)$

Die makroskopische Ladungsdichte ist!

$\begin{align} & \Rightarrow \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \\ & =\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\rho \left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \\ \end{align}$

Analog:

Das mikroskopische Potenzial der elektrischen Dipole

${{\bar{p}}_{i}}$

${{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}{{\nabla }_{r}}\left\{ \sum\limits_{i}{{}}\frac{1}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{{{\bar{p}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right) \right\}$

mit dem mikroskopischen Dipolmoment

${{\bar{p}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right)$

Analog:

${{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}$

mit der mikroskopischen Dipoldichte

${{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)$

Somit ergibt sich für das makroskopisch gemittelte elektrische Potenzial:

$\begin{align} & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right) \\ & =-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\} \\ & =-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\} \\ \end{align}$

Umformung:

${{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}+Korrektur$

Dabei haben wir das Problem, dass beim Übergang zur gestrichenen Ableitung hier auch nach dem Argument r´ von P abgeleitet wird. Also müssen wir dies wieder abziehen:

$\begin{align} & {{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}+\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \\ & t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \\ & {{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}+\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \\ \end{align}$

Also folgt für das Potenzial:

Dies ist das makroskopische Potenzial einer Polarisationsladungsdichte

${{\rho }_{p}}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)=\left( -{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \right)$